Инструкция

Для в двоичную систему счисления необходимо каждую его цифру представить в виде тетрады двоичных цифр. Например, шестнадцатиричное число 967 раскладывается на тетрады следующим образом: 9 = 1001, 6 = 0110, 7 = 0111. В итоге получается двоичное число 100101100111.

Чтобы десятичное число перевести в двоичную систему счисления, необходимо последовательно делить его на два, каждый раз записывая результат в виде целого числа и остатка. Деление нужно продолжать до тех пор, пока не останется число равное единице. Итоговое число получается путём последовательной записи результата последнего деления и остатков всех делений в обратном порядке. В качестве примера на рисунке показана процедура перевода десятичного числа 25 в двоичную систему счисления. Последовательное деление на два даёт следующую последовательность остатков: 10011. Развернув её наоборот, получим искомое число.

Обратите внимание

Поэтому, получив в результате серии умножений на 2 справа от вертикали одни нули, мы заканчиваем процесс перевода десятичного дробного числа меньше единицы в двоичную систему счисления и записываем ответ: Понятно, что гораздо чаще мы встретим такую исходную десятичную дробь, когда умножение на 2 чисел, стоящих справа от вертикали, не приведет к появлению там одних лишь нулей.

Полезный совет

Мы уже знаем, как переводить числа в различные системы счисления. Посмотрим, как это происходит с двоичной системой счисления. Переведём число из двоичной системы счисления в десятичную. Поэтому были придуманы восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений. Они удобны как и десятичные числа тем, что для представления числа требуется меньшее количество разрядов. А по сравнению с десятичными числами, перевод в двоичное представление очень простой.

Источники:

• двоичная система счисления перевод

У компонентов электронных машин, к которым относятся и компьютеры, есть только два различимых состояния: есть ток и нет тока. Их обозначают "1" и "0" соответственно. Поскольку таких состояний только два, многие процессы и операции в электронике можно описать с помощью двоичных чисел.

Инструкция

Делим десятичное число на два до тех пор, пока не получим неделимый на два остаток. На шаге получим остаток 1 (если делимое число было нечетным) или 0 (если делимое делится на два без остатка). Все эти остатки обязательно должны быть учтены. Последнее частное, полученное в результате такого пошагового деления, всегда будет единицей.
Записываем последнюю единицу в старший разряд искомого двоичного числа, а полученные в процессе остатки записываем за этой единицей в обратном порядке. Здесь надо быть внимательным и не пропускать нули.
Таким образом, числу 235 в двоичном коде будет соответствовать число 11101011.

Теперь переведем в двоичную систему счисления дробную часть десятичного числа. Для этого последовательно умножаем дробную часть числа на 2 и фиксируем целые части полученных чисел. Эти целые части дописываем к полученному в предыдущем шаге числу после двоичной точки в прямом порядке.
Тогда десятичному дробному числу 235.62 соответствует двоичное дробное 11101011.100111.

Видео по теме

Обратите внимание

Двоичная дробная часть числа будет конечной, только если дробная часть исходного числа конечна и заканчивается на 5. Простейший случай: 0.5 х 2 = 1, следовательно 0.5 в десятичной системе - это 0.1 в двоичной.

Источники:

• Перевод десятичных чисел в двоичную систему счисления

Существует несколько систем счисления чисел. Так, привычное десятичное число можно представить, например, в виде перебора двоичных символов – это будет двоичная кодировка числа. В восьмеричной системе с основанием 8 число записывается набором цифр от 0 до 7. Но наибольшее распространение имеет шестнадцатеричная система счисления, или система с основанием 16. Для записи числа здесь берутся цифры от 0 до 9 и буквы латиницы от A до F. Перевести десятичное число в его шестнадцатеричную форму можно с помощью таблицы соответствия. А число больше 15 переводится простым разложением по степеням, повтором операции деления на основание 16.

Инструкция

Запишите исходное десятичное число. Если число меньше или 15, то для его записи в шестнадцатеричной форме воспользуйтесь таблицей соответствия. Цифры старше 9 заменяются буквенным обозначением, так 10 букве A с основанием 16, а 15 – букве F.

Проверьте полученное частное, не меньше ли оно 16. Если частное больше или равно 16, поделите частное также на 16. Выделите остаток деления. Делите получаемые результаты на 16 столько раз, это будет необходимо для частного меньше 16. Если частное получилось меньше 16, выделите его тоже, как остаток.

Запишите полученные остатки, начиная с последнего числа. Остаток с числом свыше 9 замените по таблице соответствия на букву шестнадцатеричной системы. Полученная запись является шестнадцатеричным представлением исходного десятичного числа.

Полезный совет

Аналогичным образом с помощью деления на основание 8 или 2 можно любое число в десятичном представлении записать в восьмеричной и двоичной системе счисления.

Двоичная система счисления чисел была изобретена еще до нашей эры. Однако в наши дни, благодаря повсеместному распространению компьютеров и программного двоичного кода, эта система получила второе возрождение. Бинарное представление чисел с помощью всего двух цифр 0 и 1 изучают школьники на уроке информатики. Именно двоичное представление числа «понимают» все компьютеры. Перевод в двоичную систему из любой другой подробно расписан с помощью разных методов. Самым простым считается способ разложения по степеням на основание 2.

Инструкция

Если исходное число представлено , для его перевода воспользуйтесь методом деления на основание 2. Для этого поделите число на 2 и запишите образовавшийся остаток при нацело. Если деления полученное оказалось больше двух, снова поделите его на 2 и также сохраните полученный остаток.

Продолжайте итерации деления до тех пор, пока частное окажется меньше 2. После этого запишите ряд полученных в остатках цифр и заключительное частное, начиная с последней итерации. Данная запись из 0 и 1 и будет являться двоичным представлением исходного числа.

Если заданное число представлено в шестнадцатеричной системе, для его перевода в бинарный вид воспользуйтесь таблицей переходов. В ней каждому числу от 0 до F шестнадцатеричной системы противопоставляется четырехзначный набор цифр в бинарном коде.

Так, если вы имеете запись вида: 4ВЕ2, то для ее перевода следует каждый символ заменить на соответствующий набор цифр из таблицы перехода. Порядок записи числа при этом строго сохраняется. Таким образом, цифра 4 из шестнадцатеричной системы заменится на 0100, В – 1011, Е – 1110 и 2 – 0010. И исходное число 4ВЕ2 в бинарной записи будет иметь вид: 0100101111100010.

Видео по теме

Источники:

• Как число 1000 в троичной системе перевести в двоичную

Перевод числа вручную из десятичной системы в двоичную требует наличия навыка деления столбиком. Обратный перевод - из двоичной системы в десятичную - требует использования лишь умножения сложения, и то на калькуляторе.

Инструкция

Рядом с младшим разрядом двоичного числа напишите десятичное число 1, рядом со следующим по старшинству - десятичное число 2.

Нажмите на калькуляторе клавишу со знаком равенства еще раз - получится 4. Это число напишите рядом с третьим по старшинству разрядом. Еще раз нажмите клавишу со знаком равенства - получится 8. Напишите восьмерку рядом с четвертым по старшинству разрядом двоичного числа. Повторяйте операцию до тех пор, пока не будут написаны рядом со всеми разрядами двоичного.

Попробуйте запомнить эти числа хотя бы до 131072. Поверьте выучить наизусть степени числа 2 в этом объеме значительно проще, чем, например, таблицу умножения. В этом случае, при переводе систему небольших чисел вы сможете обходиться на этом этапе без калькулятора.

А вот на следующем этапе калькулятор все равно понадобится. Впрочем, при желании (или если того требует преподаватель основ информатики) это вычисление можно осуществить и столбиком. Сложите между собой только те десятичные числа, которые написаны рядом с разрядами двоичного числа, значение которых . Результатом такого сложения будет искомое десятичное число.

Для закрепления навыков ручного перевода чисел из двоичной системы в десятичную сыграйте в предлагаемую дидактическую игру. Для нее вам понадобится научный калькулятор, который можно переключать в двоичную систему. Подойдет и виртуальный калькулятор, который есть как в Linux, так и в Windows, если переключить его в инженерный режим. Пусть один игрок загадает и наберет на калькуляторе десятичное число, запишет его, а затем переключит калькулятор в двоичный режим. Второй игрок, пользуясь только обычным (не инженерным) калькулятором, или же вообще считая только столбиком, должен перевести это число в десятичную систему. Если он осуществил перевод правильно, игроки меняются ролями. Если же он ошибся, то пусть попробует еще раз.

Видео по теме

В той системе счета, которой мы пользуемся каждый день, десять цифр - от нуля до девяти. Поэтому она называется десятичной. Однако в технических расчетах, особенно тех, которые имеют отношение к компьютерам, используются и другие системы, в частности, двоичная и шестнадцатеричная. Поэтому нужно уметь переводить числа из одной системы счисления в другую.

Вам понадобится

• - листок бумаги;
• - карандаш или ручка;
• - калькулятор.

Инструкция

Двоичная система - самая простая. В ней всего две цифры - ноль и единица. Каждая цифра двоичного числа, начиная с конца, соответствует степени двойки. Два в равняется одному, в первой - двум, во второй - четырем, в третьей - восьми, и так далее.

Предположим, что вам дано двоичное число 1010110. Единицы в нем стоят на втором, третьем, пятом и седьмом с конца местах. Поэтому в десятичной системе это число равно 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.

Обратная задача - десятичного числа систему. Предположим, у вас есть число 57. Чтобы получить его запись, вы должны последовательно делить это число на 2 и записывать остаток от деления. Двоичное число будет строиться от конца к началу.
Первый шаг даст вам последнюю цифру: 57/2 = 28 (остаток 1).
Затем вы получаете вторую с конца: 28/2 = 14 (остаток 0).
Дальнейшие шаги: 14/2 = 7 (остаток 0);
7/2 = 3 (остаток 1);
3/2 = 1 (остаток 1);
1/2 = 0 (остаток 1).
Это последний шаг, потому что результат деления равен нулю. В итоге вы получили двоичное число 111001.
Проверьте правильность ответа: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

Вторая , используемая в компьютерных вопросах - шестнадцатеричная. В ней не десять, а шестнадцать цифр. Чтобы не создавать новых условных обозначений, первые десять цифр шестнадцатеричной системы обозначаются обычными цифрами, а остальные шесть - латинскими буквами: A, B, C, D, E, F. десятичной записи они соответствуют числам от 10 до 15. Во избежание путаницы перед числом, записанным по шестнадцатеричной системе, ставят знак # или символы 0x.

Тема 2: Представление информации в ПК.

1. Единый способ представления информации в ПК

2. Единицы измерения информации.

3. Знакомство с различными системами счисления.

4. Двоичная система счисления.

1. Всё многообразие обрабатываемой на ПК информации оцифровывается, т.е. кодируется. Цифры представляются электрическими сигналами двух уровней: состоянию «ложь, низкое напряжение, ненамагниченность » соответствует цифра 0 , а состоянию « истина, высокое напряжение, намагни-ченность » - соответствует цифра 1. Цифры 0 и 1 называются двоичными. Двоичное кодирование-binary digit- представление информации в виде последовательностей из фиксированных 0 и 1.

2. Единицы измерения информации:

1 бит – 0 или 1 – наименьшее количество информации, элементарная ед.измерения информации

1 байт = 8 бит

Из восьми нулей и единиц можно составить 2 8 =256 различных последовательностей, т.е. можно закодировать 256 различных символов (буквы: кириллица, латинские; цифры, знаки пунктуации, математические символы, спецсимволы и т.д.).

1 килобайт (kb) =2 10 байт=1024 байта

1 мегабайт (Mb) = 2 20 байт=1048576 байтов

1 гигабайт (Gb) = 2 30 байт – около 1 млрд.байтов

Одна страница машинописного текста занимает в памяти ПК примерно 4 Кбайта

Ёмкость компакт-диска позволяет записать информацию, содержащуюся на 60 000 печ.стр.

3. Система счисления – способ представления чисел с помощью определённого набора цифр.

Существует два вида систем счисления - римская и позиционная. В римской с/с значение цифры не зависит от её позиции в числе (ХХХ – число 30 состоит из трех равнозначных цифр Х).

В позиционной с/с значение каждой из цифр зав. от её позиции в числе (456=4 ·10 2 +5 · 10 1 +6 ·10 0)

В 10 с/с – десять цифр –0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – основание системы число10, т.к. любое целое неотрицательное число можно представить в виде суммы убывающих степеней числа 10: 4607=4 ·10 3 +6 · 10 2 +0·10 1 +7·10 0 . Цифры 4, 6, 0, 7 являются коэффициентами данного разложения. Запись числа представляет определённую последовательность коэффициентов.

В 8 с/с – восемь цифр – 0,1,2,3,4,5,6,7 – основание системы число 8

В16 с/с – шестнадцать цифр - от 0 до 9 и буквенные обозначения A, B, C, D, E, F

4. Двоичная система счисления – это система, в которой для записи чисел используется две цифры 0 и 1. Основанием двоичной системы является число 2.

Двоичная система удобна в техническом смысле, неудобна – небольшие числа записываются большим количеством цифр (комбинациями 0 и 1)

Для получения записи числа в 2 с/с нужно обычное число (из 10 с/с) представить в виде суммы убывающих степеней числа 2.

Таблица значений степеней числа 2

n

2 n

При этом коэффициентами такого разложения могут быть лишь 0 и 1.

76 = 1·2 6 + 0·2 5 + 0·2 4 + 1·2 3 + 1·2 2 + 0·2 1 + 0·2 0

Двоичным кодом числа – записью этого числа в двоичной системе счисления - является последовательность коэффициентов из разложения данного числа по степеням 2.

Т.о. 76 10 = 1 0 0 1 1 0 0 2

Арифметические действия в 2 с/с:

• Сложение: 0 + 0=0, 0 + 1=1 + 0=1, 1 + 1=10
• Умножение: 0 · 0=0, 0 · 1= 1 · 0=0, 1 · 1= 1

Примеры: 111+11=1010

Алгоритм перевода числа из 10 с/с в 2 с/с:

Заключается в последовательном делении в столбик на 2 самого числа и всех результатов от деления так, чтобы в остатках оставались 0 или 1. Появление в частном (очередном результате)

цифры 0 означает конец процесса. Остатки, начиная с последнего, выписанные снизу вверх дают запись искомого числа.

Алгоритм перевода числа из 2 с/с в 10 с/с:

Любое двоичное число можно представить в виде суммы степеней числа 2, расположенных в порядке убывания

5 4 3 2 1 0 степень 2

1 1 1 01 1 2 = 1· 2 5 + 1· 2 4 + 1· 2 3 + 0· 2 2 + 1· 2 1 + 1· 2 0 =32 + 16 + 8+ 2 + 1=59 10

Домашнее задание: 1)закодировать числа (представить в двоичной системе) 15, 47,128

2) сравнить числа 1101, 1110,1011 найти их сумму, произведение первых двух

выучить §2,3 учебник - Гаевский «Информатика»

Основные темы параграфа:

♦ десятичная и двоичная системы счисления;
♦ развернутая форма записи числа;
♦ перевод двоичных чисел в десятичную систему;
♦ перевод десятичных чисел в двоичную систему;
♦ арифметика двоичных чисел.

В данной главе речь пойдет об организации вычислений на компьютере. Вычисления связаны с хранением и обработкой чисел.

Компьютер работает с числами в двоичной системе счисления.

Эта идея принадлежит Джону фон Нейману, сформулировавшему в 1946 году принципы устройства и работы ЭВМ. Выясним, что такое система счисления.

Десятичная и двоичная системы счисления

Системой счисления называют определенные правила записи чисел и связанные с ними способы выполнения вычислений.

нас будут интересовать двоичная и десятичная системы счисления.

Система счисления, к которой мы все привыкли, называется десятичной. Объясняется это название тем, что в ней используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число цифр определяет основание системы счисления. Если число цифр - десять, то основание системы счисления равно десяти. В двоичной же системе существует всего две цифры: 0 и 1. Основание равно двум. Возникает вопрос, можно ли с помощью всего двух цифр представить любую величину. Оказывается, можно!

Развернутая форма записи числа

Вспомним принцип записи чисел в десятичной системе счисления. Значение цифры в записи числа зависит не только от самой цифры, но и от места расположения этой цифры в числе (говорят: от позиции цифры). Например, в числе 333 первая справа цифра обозначает: три единицы, следующая - три десятка, следующая - три сотни. Этот факт можно выразить равенством:

333 10 = 3 · 10 2 + 3 · 10 1 + 3 · 10 0 = 300 + 30 + 3.

В данном равенстве выражение, стоящее справа от знака «равно», называется развернутой формой записи многозначного числа. Вот еще пример развернутой формы записи многозначного десятичного числа:

8257 10 = 8 · 10 3 + 2 · 10 2 + 5 · 10 1 + 7 · 10 0 = 8000 + 200 + 50 + 7.

Таким образом, с продвижением от цифры к цифре справа налево «вес» каждой цифры увеличивается в 10 раз. Это связано с тем, что основание системы счисления равно десяти.

Перевод двоичных чисел в десятичную систему

А вот пример многозначного двоичного числа:

Двойка внизу справа указывает на основание системы счисления. Это нужно для того, чтобы не перепутать двоичное число с десятичным. Ведь существует же десятичное число 110101! Вес каждой следующей цифры в двоичном числе при продвижении справа налево возрастает в 2 раза. Развернутая форма записи данного двоичного числа выглядит так:

110101 2 = 1 · 2 5 + 1 · 2 4 + 0 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 = 53 10 .

Таким способом мы перевели двоичное число в десятичную систему.

Переведем в десятичную систему еще несколько двоичных чисел.

10 2 = 2 1 = 2; 100 2 = 2 2 = 4; 1000 2 = 2 3 = 8;
10000 2 = 2 4 = 16; 100000 2 = 2 5 = 32 и т. д.

Таким образом, получилось, что двузначному десятичному числу соответствует шестизначное двоичное! И это характерно для двоичной системы: быстрый рост количества цифр с увеличением значения числа.

Вот как выглядит начало натурального ряда чисел в десятичной (А 10) и двоичной (А 2) системах счисления:

A 10	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A 2	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010

A 10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
A 2	1011	1100	1101	1110	1111	10000	10001	10010	10011	10100

Перевод десятичных чисел в двоичную систему

Как перевести двоичное число в равное ему десятичное, вам должно быть понятно из рассмотренных выше примеров. А как осуществить обратный перевод: из десятичной системы в двоичную? Для этого нужно суметь разложить десятичное число на слагаемые, представляющие собой степени двойки. Например:

15 10 = 8 + 4 + 2 + 1 = 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 1 · 2 1 + 1 · 2 0 = 1111 2 .

Это сложно. Есть другой способ, с которым мы сейчас и познакомимся.

Существует процедура, позволяющая легко выполнить перевод десятичного числа в двоичную систему. Она состоит в том, что данное десятичное число делится на 2. Полученный остаток - это младший разряд искомого числа. Полученное частное снова делится на 2, полученный при этом остаток - это следующий разряд искомого числа. Так продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше двойки (основания системы). Это частное - старшая цифра искомого числа.

Существуют два способа записи деления на 2. Продемонстрируем это на примере перевода числа 37 в двоичную систему.

Здесь а 5 , а 4 , а 3 , а 2 , а 1 , а 0 - обозначения цифр в записи двоичного числа по порядку слева направо. В результате перевода получим: 37 10 = 100101 2 .

Арифметика двоичных чисел

Правила двоичной арифметики гораздо проще правил десятичной арифметики. Вот все возможные варианты сложения и умножения однозначных двоичных чисел.

0 + 0 = 0 0 x 0 = 0
0 + 1 = 1 0 x 1 = 0
1 + 0 = 1 1 x 0 = 0
1 + 1 = 10 1 x 1 = 1

Своей простотой и согласованностью с битовой структурой компьютерной памяти двоичная система счисления и привлекла изобретателей компьютера. Ее гораздо проще реализовать техническими средствами, чем десятичную систему.

Вот пример сложения столбиком двух многозначных двоичных чисел:

1011011101
+111010110
10010110011

А теперь посмотрите внимательно на следующий пример умножения многозначных двоичных чисел:

1101101
x 101
1101101
1101101
1000100001

После небольшой тренировки любой из вас такие вычисления будет выполнять автоматически.

Коротко о главном

Система счисления - определенные правила записи чисел и связанные с этими правилами способы выполнения вычислений.

Основание системы счисления равно количеству используемых в ней цифр.

Двоичные числа - числа в двоичной системе счисления. В их записи используются две цифры: 0 и 1.

Развернутая форма записи двоичного числа - это его представление в виде суммы степеней двойки, умноженных на 0 или на 1.

Использование двоичных чисел в компьютере связано с битовой структурой компьютерной памяти и простотой двоичной арифметики.

Вопросы и задания

1. Назовите преимущества и недостатки двоичной системы счисления по сравнению с десятичной.
2. Какие двоичные числа соответствуют следующим десятичным числам:
128; 256; 512; 1024?
3. Чему в десятичной системе равны следующие двоичные числа:
1000001; 10000001; 100000001; 1000000001?
4. Переведите в десятичную систему следующие двоичные числа:
101; 11101; 101010; 100011; 10110111011.
5. Переведите в двоичную систему счисления следующие десятичные числа:
2; 7; 17; 68; 315; 765; 2047.
6. Выполните сложение в двоичной системе счисления:
11 + 1; 111 + 1; 1111 + 1; 11111 + 1.
7. Выполните умножение в двоичной системе счисления:
111 · 10; 111 · 11; 1101 · 101; 1101 · 1000.

Редактировалось Дата: Суббота, 20 Июль 2019

С двоичной системой счисления мы сталкиваемся при изучении компьютерных дисциплин. Ведь именно на базе этой системы построена работа процессора и некоторые виды шифрования. Существуют специальные алгоритмы для записи десятичного числа в двоичной системе и наоборот. Если знать принцип построения системы, оперировать в ней будет несложно.

Принцип построения системы из нулей и единиц

Двоичная система счисления построена с использованием двух цифр: ноль и один. Почему именно эти цифры? Это связано с принципом построения сигналов, которые используются в работе процессора. На самом низком уровне сигнал принимает только два значения: «ложь» и «истина». Поэтому было принято отсутствие сигнала, «ложь», обозначать нулем, а наличие его, «истину», единицей. Такое сочетание легко реализовать технически. Числа в двоичной системе формируются так же, как и в десятичной. Когда разряд достигает своей верхней границы, он обнуляется, и добавляется новый разряд. По такому принципу осуществляется переход через десяток в десятичной системе. Таким образом, числа состоят из сочетаний нулей и единиц, и это сочетание называется "двоичная система счисления".

Запись числа в системе
В десятичной	В двоичной	В десятичной	В двоичной

Как двоичное число записать в виде десятичного?

Существуют онлайн-сервисы, которые осуществляют перевод числа в двоичную систему и наоборот, но лучше уметь делать это самостоятельно. Двоичная система при переводе обозначается нижним индексом 2, например, 101 2 . Каждое число в любой системе можно представить в виде суммы чисел, например: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 - в десятичной системе. Так же представляется число в двоичной. Возьмем произвольное число 101 и рассмотрим его. В нем 3 разряда, поэтому раскладываем число по порядку таким способом: 101 2 =1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 =4+1=5 10, где индекс 10 обозначает десятичную систему.

Как записать простое число в двоичной системе?

Очень легко осуществить перевод в двоичную систему счисления с помощью деления числа на два. Делить необходимо до тех пор, пока это будет возможно выполнить нацело. Например, возьмем число 871. Начинаем делить, обязательно записывая остаток:

871:2=435 (остаток 1)

435:2=217 (остаток 1)

217:2=108 (остаток 1)

Ответ записывается по полученным остаткам по направлению от конца к началу: 871 10 =101100111 2 . Проверить правильность вычислений можно с помощью обратного перевода, описанного ранее.

Для чего нужно знать правила перевода?

Двоичная система счисления применяется в большинстве дисциплин, связанных с микропроцессорной электроникой, кодированием, передачей и шифрованием данных, в различных направлениях программирования. Знания основ перевода из любой системы в двоичную помогут программисту разрабатывать различные микросхемы и осуществлять управление работой процессора и других подобных систем программным способом. Двоичная система счисления также необходима для реализации способов передачи пакетов данных по зашифрованным каналам и создания на их основе программных проектов типа «Клиент-сервер». В школьном курсе информатики основы перевода в двоичную систему и наоборот являются базовым материалом для изучения программирования в будущем и создания простейших программ.

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления - это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов (1 и 0). Компьютер может различить только нулевое и единичное состояние бита, и работает компьютер в системе исчисления с основанием 2 или в двоичной системе.

Бит получил свое название от английского Binary digit (двоичная цифра).

Сочетанием двоичных цифр (битов) можно представить любое значение. Значение двоичного числа определяется относительной позицией каждого бита и наличием единичных битов. Ниже показано восьмибитовое число, содержащее все единичные биты:

Значения: 128 64 32 16 8 4 2 1 биты: 1 1 1 1 1 1 1 1

Самая правая цифра имеет весовое значение 1, следующая цифра влево - 2, следующая - 4 и т.д. Общая сумма для восьми единичных битов в данном случае составит 255:

(1+2+4+8+16+32+64+128=255)

Преобразование чисел

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два.

Первый вариант: Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 17 в двоичное. Согласно таблице степеней оснований (см. выше) 17=16+1. Значит на место значимых цифр 16 и 1 ставим 1 - остальные нули. Получаем 17=10001

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

Второй вариант: Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой:

19 /2 = 9 с остатком 1 9 /2 = 4 c остатком 1 4 /2 = 2 с остатком 0 2 /2 = 1 с остатком 0 1 /2 = 0 с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в начало двоичной записи. Продолжаем делить на 2 частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным 0. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

Первый вариант: Преобразование двоичных чисел в десятичные

В обратную сторону нужно десятичные сложить, основываясь на таблице степеней основания 2.

Арифметические действия в двоичном формате

Компьютер выполняет арифметические действия только в двоичном формате. Поэтому, необходимо знать правила сложения в двоичной системе исчисления. Напомним их:

0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10

Давайте рассмотрим использование этих правил на конкретном примере.

Пример: сложить числа 65 и 42, представленные в двоичной системе исчисления.

В десятичной системе исчисления все осуществляется достаточно просто: 65+42=107. Для сложения этих чисел в двоичной системе исчисления нужно сначала перевести их в эту систему, например, как показано на рисунке: Таким образом, получаем: 65 в 10-ой системе = 01000001 в 2-ой системе. Обратите внимание на то, что ведущий ноль в двоичном представлении числа добавлен для дополнения двоичного представления до восьми бит. Аналогично: 42 в 10 = 00101010 в 2. Выполним сложение этих чисел:

01000001 + 00101010 -------- 01101011

Можете перепроверить и убедиться, что 01101011 в 2=107 в 10:

0*27+1*26+1*25+0*24+1*23+0*22+1*21+1*20 = 64+32+8+2+1 = 107

Вычитание

Для выполнения операции вычитания последнее заменяется сложением, а в качестве второго слагаемого берется противоположное число. Например, пусть надо выполнить вычитание: 65 - 42. Заменим его сложением: 65 + (-42).

Двоичные числа имеют положительные значения, что обозначается нулевым значением самого левого, старшего разряда. Отрицательные двоичные числа содержат единичный бит в старшем разряде.

Преобразование десятичных чисел в 16- систему

27 /16 = 1 с остатком 11 11 /16 = 0 c остатком 1

И того получим 1B .

Остаток от деления на 16 всегда меньше 16. Это относится ко всем системам счисления.

Рассмотрим несколько простых примеров шестнадцатеричной арифметики. Следует помнить, что после шестнадцатеричного числа F следует шестнадцатеричное 10, что равно десятичному числу 16:

6+4=A 5+8=D F+1=10 F+F=1E 10+10=20 FF+1=100