Numărul lui Graham și alte numere. Cel mai mare număr sau „numărul graham” de pe degete Numere mai mari decât numărul graham

Care este cel mai mare număr din lume care înseamnă ceva? În acest articol voi încerca să vorbesc despre un monstru digital numit numărul lui Graham,

De către sly2m.livejournal.com

O sursă:

Dacă privești îndelung abisul, te poți distra bine.
Inginer mecanic de duș

Numărul lui Graham pe degete ™

De îndată ce copilul (și acest lucru se întâmplă undeva la vârsta de trei sau patru ani) își dă seama că toate numerele sunt împărțite în trei grupuri „unul, doi și mulți”, el încearcă imediat să afle: cât este mult, cum mult diferă de mult și poate fi atât de mult încât să nu se mai repete niciodată. Cu siguranță ai jucat cu părinții tăi un joc interesant (pentru acea vârstă), care va numi cel mai mare număr și, dacă strămoșul nu era mai prost decât un elev de clasa a cincea, atunci el câștiga întotdeauna, răspunzând la „două milioane” pentru fiecare „milion” și „miliarde” „Două miliarde” sau „miliarde plus unu”.

Până în clasa întâi a școlii, toată lumea știe că există un număr infinit de numere, nu se termină niciodată și cel mai mare număr nu există. Pentru orice milion de miliarde de miliarde, puteți spune întotdeauna „plus unul” și puteți fi câștigătorul. Și puțin mai târziu vine înțelegerea (ar trebui să vină!) Că șirurile lungi de numere nu înseamnă nimic în sine. Toate aceste trilioane de miliarde au sens doar atunci când servesc ca reprezentare a unui anumit număr de obiecte sau descriu un anumit fenomen. Nu există nicio dificultate în inventarea unui număr lung, care nu este altceva decât un set de numere cu sunete lungi, există un număr infinit din ele. Știința, într-un fel figurat, este angajată în căutarea unor combinații foarte specifice de numere în acest abis fără margini, adăugând la un anumit fenomen fizic, de exemplu, viteza luminii, numărul lui Avogadro sau constanta lui Planck.

Și imediat apare întrebarea, care este cel mai mare număr din lume care înseamnă ceva? În acest articol, voi încerca să vorbesc despre un monstru digital numit numărul lui Graham, deși strict vorbind, știința știe și mai multe numere. Numărul lui Graham este cel mai popular, se poate spune „auzind” în rândul publicului larg, deoarece este destul de simplu în explicații și totuși suficient de mare pentru a întoarce capul. În general, aici ar trebui să se declare o mică responsabilitate. Lasă să sune ca o glumă, dar nu glumesc. Vorbesc destul de serios - bătaia minuțioasă în astfel de profunzimi matematice, împreună cu extinderea neîngrădită a limitelor percepției, pot avea (și vor) avea un impact serios asupra perspectivelor, asupra poziționării individului în societate și, în cele din urmă, , despre starea psihologică generală a culegătorului, sau, vom numi lucrurile în numele lor proprii - deschide calea către schiza. Nu este necesar să citiți prea atent textul următor, nu este necesar să vă imaginați lucrurile descrise în el prea viu și viu. Și nu spune mai târziu că nu ai fost avertizat!

Înainte de a trece la numerele monstru, să ne antrenăm pe pisici. Permiteți-mi să vă reamintesc că pentru a descrie numere mari (nu monștri, ci doar numere mari) este convenabil să folosiți științific sau așa-numitele. notă exponențială.

Când vorbesc, să zicem, despre numărul de stele din Univers (în Universul Observabil), nici un idiot nu încearcă să calculeze câte sunt acolo literalmente, până la ultima stea. Se crede că este de aproximativ 10²¹ bucăți. Și aceasta este o estimare de mai jos. Aceasta înseamnă că numărul total de stele poate fi exprimat printr-un număr care are 21 zero după una, adică „1.000.000.000.000.000.000.000”.

Așa arată o mică parte din ele (aproximativ 100.000) în grupul globular Omega Centauri.

Bineînțeles, când vine vorba de astfel de scale, numerele reale nu joacă un rol semnificativ în număr, la urma urmei, totul este foarte condiționat și aproximativ. Poate, de fapt, numărul de stele din Univers este „1 564 861 615 140 168 357 973” sau poate „9 384 684 643 798 468 483 745”. Și apoi „3 333 333 333 333 333 333 333”, de ce nu, deși este puțin probabil, desigur. În cosmologie, știința proprietăților Universului în ansamblu, astfel de fleacuri nu sunt păcălite. Principalul lucru este să ne imaginăm că aproximativ acest număr este format din 22 de cifre, ceea ce face mai convenabil să-l considerăm ca o unitate cu 21 de zerouri și să-l notăm ca 10²¹. Regula este generală și foarte simplă. Ce cifră sau număr se află în locul diplomei (tipărit cu litere mici peste 10), atât de multe zerouri după unul vor fi în acest număr, dacă îl scrieți într-un mod simplu, în semne consecutive și nu într-un științific cale. Unele numere au „nume umane”, de exemplu, 10³ numim „mii”, 10⁶ - „milioane” și 10⁹ - „miliarde”, iar altele nu. Să presupunem că 10⁵⁹ nu are un nume comun. Și 10²¹, apropo, are - acesta este „sextillion”.

Tot ce ajunge până la un milion este ușor de înțeles de aproape oricine, pentru că cine nu vrea să devină milionar? Apoi, unii oameni încep să aibă probleme. Deși un miliard (10⁹) este, de asemenea, cunoscut de aproape toată lumea. Puteți număra chiar și până la un miliard. Dacă numai după ce te-ai născut, literalmente în momentul nașterii, începi să numeri o dată pe secundă „unul, doi, trei, patru ...” și nu dormi, nu bei, nu mănânci, ci doar numărătoarea zi și noapte neobosit, atunci când ai 32 de ani poți număra până la un miliard, deoarece 32 de rotații ale Pământului în jurul Soarelui durează aproximativ un miliard de secunde.

7 miliarde este numărul de oameni de pe planetă. Pe baza celor de mai sus, este absolut imposibil să le numeri pe toate în ordine în timpul vieții umane, va trebui să trăiești mai mult de două sute de ani.

100 miliarde (10¹¹) - tot atâtea persoane au trăit pe planetă în întreaga sa istorie. McDonald's a vândut 100 de miliarde de hamburgeri până în 1998 în cei 50 de ani de existență. 100 de miliarde de stele (ei bine, puțin mai multe) se află în galaxia noastră Calea Lactee, iar Soarele este una dintre ele. Același număr de galaxii este conținut în Universul observabil. 100 de miliarde de neuroni se găsesc în creierul uman. Și același număr de bacterii anaerobe trăiește în toată lumea care citește aceste linii în cecum.

Trillion (10¹²) este un număr rar folosit. Este imposibil să se numere până la un trilion, va dura 32 de mii de ani. Cu un trilion de secunde în urmă, oamenii trăiau în peșteri și vânau mamuți cu sulițe. Da, acum un trilion de secunde, mamuții trăiau pe Pământ. Există aproximativ un trilion de pești în oceanele planetei. În galaxia vecină Andromeda, există aproximativ un trilion de stele. O persoană este formată din 10 trilioane de celule. PIB-ul Rusiei în 2013 s-a ridicat la 66 trilioane de ruble (în 2013 ruble). De la Pământ la Saturn, 100 de trilioane de centimetri și același număr de litere au fost tipărite în fiecare carte publicată vreodată.

Un cvadrilion (10¹⁵, milion de miliarde) este numărul de furnici de pe planetă. Oamenii normali nu spun acest cuvânt cu voce tare, ei bine, recunoașteți-l, când ați auzit ultima oară „un patrilion de ceva” într-o conversație?

Quintillion (10¹⁸, miliarde de miliarde) - există atât de multe configurații posibile atunci când rezolvați un cub Rubik de 3x3x3. Același lucru este și numărul de metri cubi de apă din oceanele lumii.

Sextillion (10²¹) - acest număr l-am întâlnit deja. Numărul de stele din Universul observabil. Numărul de boabe de nisip din toate deșerturile Pământului. Numărul de tranzistoare din toate dispozitivele electronice existente ale omenirii, dacă Intel nu ne-a mințit.

10 sextillion (10²²) este numărul de molecule dintr-un gram de apă.

10²⁴ este masa Pământului în kilograme.

10²⁶ este diametrul Universului observabil în metri, dar nu este foarte convenabil să se numere în metri, limitele general acceptate ale Universului observabil sunt de 93 miliarde de ani lumină.

Pentru vizualizarea scalelor cosmice, este util să studiați această imagine, extinzându-o pe ecran complet.

Cu toate acestea, chiar și în Universul observabil, puteți înghesui mult mai mult altceva decât metri.

10⁵¹ atomi alcătuiesc planeta Pământ.

10⁸⁰ numărul aproximativ de particule elementare din Universul observabil.

10⁹⁰ numărul aproximativ de fotoni din Universul observabil. Există aproape 10 miliarde de ori mai mult decât particulele elementare, electronii și protonii.

10¹⁰⁰ - googol. Acest număr nu înseamnă fizic nimic, ci doar rotund și frumos. Compania care și-a stabilit obiectivul de indexare a googol-ului de legături (glumă, desigur, este mai mult decât numărul de particule elementare din univers!) A luat numele Google în 1998.

10¹²² de protoni vor fi necesari pentru a umple Universul observabil până la globii oculari, strânși, de la proton la proton, cap la cap.

10¹⁸⁵ din volumul Planck este ocupat de Universul observabil. Cantități mai mici decât volumul Planck (un cub cu o lungime Planck de 10⁻³⁵ metri), știința noastră nu știe. Cu siguranță, ca și în cazul Universului, există ceva și mai mic, dar oamenii de știință nu au venit încă cu formule sănătoase pentru astfel de fleacuri, ci doar speculații solide.

Se pare că aproximativ 10¹⁸⁵ este cel mai mare număr care, în principiu, poate însemna ceva în știința modernă. Într-o știință care poate atinge și măsura. Aceasta este ceea ce există sau ar putea exista dacă s-a întâmplat că am învățat tot ce trebuie să știm despre Univers. Numărul are 186 de cifre, iată-l:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Sau ați auzit despre teoria corzilor, conform căreia pot exista aproximativ 10⁵⁰⁰ configurații ale vibrațiilor corzii, ceea ce înseamnă același număr de universuri potențiale, fiecare cu propriile legi.

Voi menționa doar binecunoscutul googolplex. Număr cu cifre googol, zece la puterea googol sau zece la puterea a zece la puterea de o sută

Nu o voi scrie în cifre. Googolplex nu înseamnă absolut nimic. O persoană nu își poate imagina un googolplex de nimic, este imposibil din punct de vedere fizic. Pentru a scrie un astfel de număr, va fi necesar întregul Univers observabil, dacă scrieți cu un „nano-pen” direct în vid, de fapt, în celulele Planck ale spațiului. Să traducem toată materia în cerneală și să umplem Universul cu numere solide, apoi obținem un googolplex. Dar matematicienii (oameni înfricoșători!) Se încălzesc doar cu googolprex, aceasta este cea mai mică bară de la care pornesc nishtyak-uri adevărate pentru ei. Și dacă credeți că googolplex la gradul de googolplex este ceea ce vom vorbi, nici nu vă puteți imagina CÂT de greșit.

În spatele googolplexului există numeroase numere interesante care au unul sau alt rol în demonstrațiile matematice, cât timp este scurt, să mergem direct la numărul Graham, numit după (bine, în mod natural) matematicianul Ronald Graham. Mai întâi, vă voi spune pentru ce este și la ce servește, după care voi descrie figurativ și pe degetele mele ce dimensiune are, apoi voi scrie numărul în sine. Mai exact, voi încerca să explic ce am scris.

Numărul lui Graham a apărut într-o lucrare dedicată rezolvării uneia dintre problemele teoriei Ramsey, iar „Ramsey” aici nu este un participiu imperfect, ci numele de familie al unui alt matematician, Frank Ramsey. Sarcina, desigur, este destul de îndelungată din punct de vedere filistin, deși nu este foarte confuză, chiar ușor de înțeles.

Imaginați-vă un cub, al cărui vârf este conectat prin segmente de linie de două culori, roșu sau albastru. Conectat și colorat în ordine aleatorie. Unii au ghicit deja că vom vorbi despre o ramură a matematicii numită combinatorică.

Vom reuși să inventăm și să alegem configurația culorilor (și există doar două dintre ele - roșu și albastru), astfel încât atunci când colorăm aceste segmente să nu funcționeze pentru noi că toate segmentele de aceeași culoare care leagă cele patru vârfuri zace în același plan? În acest caz, ele NU reprezintă o astfel de figură:

Ce se întâmplă dacă avem mai multe dimensiuni? Ce se întâmplă dacă nu luăm un cub, ci un cub în patru dimensiuni, adică teseract? Putem face același truc ca și cu 3D?

În a cincea dimensiune? Și în cele cinci dimensiuni, unde cubul este numit penteract sau pentacub, este, de asemenea, posibil.
Și în șase dimensiuni.

Și apoi sunt dificultăți. Graham nu a putut demonstra matematic că un hipercub cu șapte dimensiuni ar putea face o astfel de operație. Și opt-dimensional și nouă-dimensional și așa mai departe. Dar acest „și așa mai departe”, s-a dovedit, nu merge la infinit, ci se încheie cu un număr foarte mare, care a fost numit „numărul lui Graham”.

Adică, există o dimensiune minimă a hipercubului, la care condiția este încălcată și este deja imposibil să se evite combinația de colorare a segmentelor, astfel încât patru puncte de aceeași culoare să se afle în același plan. Și această dimensiune minimă este exact mai mare de șase și exact mai mică decât numărul lui Graham și aceasta este dovada matematică a savantului.

Luați în considerare un hipercub n-dimensional și conectați toate perechile de vârfuri pentru a obține un grafic complet cu 2n vârfuri. Să colorăm fiecare margine a acestui grafic fie roșu, fie albastru. Pentru care este cea mai mică valoare a lui n, fiecare astfel de colorare conține în mod necesar un subgraf complet colorat într-o singură culoare cu patru vârfuri, toate situate în același plan?

Au trecut mulți ani de la anii 70, s-au găsit probleme matematice în care se manifestă numere și mai multe Graham, dar acest prim număr de monștri a uimit atât de contemporani, care au înțeles despre ce scară vorbea, încât în \u200b\u200b1980 a fost inclus în Cartea Guinness of Records, ca „cel mai mare număr implicat vreodată în dovezi matematice riguroase” la acel moment.

Să încercăm să ne dăm seama cât de mare este. Cel mai mare număr care ar putea avea o anumită semnificație fizică este 10¹⁸⁵ și, dacă întregul Univers observabil este umplut cu un set aparent nesfârșit de numere slabe, vom obține ceva comparabil cu un googolplex.

Vă puteți imagina acest volum? Înainte, înapoi, în sus, în jos, în măsura în care ochiul poate vedea și în măsura în care este telescopul Hubble și chiar în măsura în care lipsește, către cele mai îndepărtate galaxii și privind în spatele lor - numere, numere, numere mult mai mici decât un proton. Un astfel de Univers, desigur, nu va putea exista mult timp, se va prăbuși imediat într-o gaură neagră. Vă amintiți cât de multe informații se pot încadra teoretic în univers?

Numărul este cu adevărat imens, rupe creierul. Nu este exact egal cu googolplex și nu are nume, așa că îl voi numi „dohulion”. Mi-am dat seama de ce nu. Numărul de celule Planck din Universul observabil și un număr este scris în fiecare celulă. Numărul conține 10¹⁸⁵ cifre, poate fi reprezentat ca

Să deschidem ușile percepției un pic mai larg. Vă amintiți teoria inflaționistă? Că universul nostru este doar una dintre multele bule din Multivers. Și dacă vă imaginați un dohulion de astfel de bule? Luați un număr, lungimea a tot ceea ce există și imaginați-vă un Multivers cu un număr similar de universuri, fiecare dintre ele fiind umplut cu numere până la globii oculari - obținem un dohulion de dokhulions. Vă puteți imagina acest lucru? Cum plutești în uitarea unui câmp scalar și în jurul universurilor, universurilor și numerelor-numere-numere din ele ... Sper că un astfel de coșmar (deși, de ce un coșmar?) Nu va chinui (și de ce să chinui?) Un cititor prea impresionabil noaptea.

Pentru comoditate, vom numi o astfel de operație „flip”. O astfel de interjecție frivolă, de parcă ar fi luat Universul și l-au transformat din interior în afară, atunci era în interior în număr, iar acum, dimpotrivă, avem la fel de multe universuri în afară de câte numere erau, și fiecare cutie este plină, plină de numere. Pe măsură ce curățați o rodie, îndoiți coaja înapoi, boabele se întorc în afară și în boabe există din nou rodii. Tot în mișcare, am venit cu de ce nu, până la urmă, a funcționat cu dokhulion.

La ce mă aflu? Ar trebui să încetinesc? Haide hoba și încă un flip! Așadar, avem atâtea universuri pe cât erau numere în universuri, al căror număr era egal cu numerele de dinainte de iulie care ne umpleau Universul. Și imediat, fără oprire, răstoarnă din nou. Și al patrulea și al cincilea. Zecea, a mia. Ții pasul cu gândul, îți mai imaginezi poza?

Să nu pierdem timpul pe fleacuri, să răspândim aripile imaginației, să accelerăm la viteză maximă și să flip flip flip. Întoarcem fiecare univers din afară de atâtea ori, câte universuri dohulion au fost în flip-ul anterior, care s-a răsturnat de la cel dinainte de ultima, pe care ... uh ... ei bine, îl urmezi? Undeva așa. Acum, numărul nostru să devină, să spunem, „doholiard”.

Dohliard \u003d flip flips

Nu ne oprim și continuăm să răsfoim dohulions de doholiards, atâta timp cât există forță. Până când se întunecă în ochi, până când vrei să țipi. Aici fiecare este propriul său curajos Buratina, cuvântul de oprire va fi „brânză”.

Deci asta este. Despre ce este vorba? Do-hulions uriașe și nesfârșite de flip-uri și do-hulliards de universuri cu numere complete nu pot fi comparate cu numărul lui Graham. Nici măcar nu zgârie suprafața. Dacă ne imaginăm numărul lui Graham sub forma unui băț, întins în mod tradițional pe întregul Univers observabil, atunci ceea ce am răsturnat aici se va dovedi a fi o crestătură de grosime ... ei bine ... cum ar putea fi, spune-o ușor ... nedemn de menționat. Aici, l-am înmuiat cât de bine am putut.

Acum hai să divagăm puțin, să luăm o pauză. Citim, ne-am gândit, ochii noștri obosiți. Uitați de numărul lui Graham, trebuie totuși să ne târâm și să ne târâm spre el, să ne focalizăm privirea, să ne relaxăm, să medităm la un număr în miniatură mult mai mic, de-a dreptul, pe care îl vom numi g₁ și să-l notăm cu doar șase caractere:
g₁ \u003d 33

Numărul g₁ este egal cu „trei, patru săgeți, trei”. Ce înseamnă? Acesta este un mod de notare numit notația săgeată a lui Knuth.

O săgeată înseamnă exponențierea obișnuită.

44 \u003d 4⁴ \u003d 256

1010 \u003d 10¹⁰ \u003d 10.000.000.000

Două săgeți indică, înțeles, exponențierea.

Pe scurt, „săgeata numerică un alt număr” arată ce înălțime de grade (matematicienii spun „turn”) construiește din primul număr. De exemplu, 58 înseamnă un turn de opt cinci și este atât de mare încât nu poate fi calculat pe niciun supercomputer, chiar și pe toate computerele planetei în același timp.

Trecem la cele trei săgeți. Dacă săgeata dublă arăta înălțimea turnului de grade, atunci săgeata triplă ar părea să indice „înălțimea turnului înălțimii turnului”? Ce este acolo! În cazul a trei, avem înălțimea turnului, înălțimea turnului, înălțimea turnului (în matematică, nu există un astfel de concept, am decis să-l numesc „nesăbuit”). Ceva de genul:

Adică, 33 formează un turn nesăbuit de triplete, înalt de 7 trilioane de piese. Care sunt cele 7 trilioane de triplete stivuite una peste alta numite „nesăbuite”? Dacă ați citit cu atenție acest text și nu ați adormit încă de la început, probabil că vă amintiți că de la Pământ la Saturn sunt 100 de miliarde de centimetri. Trei, afișate pe ecran în al doisprezecelea tip, acesta - înalt de 3 - cinci milimetri. Acest lucru înseamnă că nesăbuința tripletelor se va întinde de pe ecranul dvs. ... bine, nu la Saturn, desigur. Nici măcar nu va ajunge la Soare, doar un sfert de unitate astronomică, cam la fel ca de la Pământ la Marte pe vreme bună. Vă atrag atenția (să nu dormiți!) Această nesăbuință nu este un număr de la Pământ la Marte, este un turn cu grade de o astfel de înălțime. Ne amintim că cinci triplete din acest turn acoperă googolplexul, calculând primul decimetru de triplete arde toate siguranțele computerelor planetei, iar restul de milioane de kilometri de grade nu mai sunt inutile, doar batjocoresc în mod deschis cititorul, este inutil. să le ia în considerare.

Acum este clar că 34 \u003d 3333 \u003d 337 625 597 484 987 \u003d 3 nesăbuință, (nu 3 în gradul nesăbuinței, ci „nesăbuința săgeții cu trei săgeți” (!)), Nu se va potrivi nici în lungime, nici în înălțime în Universul observabil și nici măcar nu se va încadra în presupusul Multivers.

Cuvintele se termină la 35 \u003d 33333, iar interjecțiile se termină la 36 \u003d 333333, dar puteți practica dacă există interes.

Este inutil să-l calculăm și nu va funcționa. Numărul de grade de aici nu se pretează la o contabilitate semnificativă. Acest număr este imposibil de imaginat, este imposibil să-l descrie. Nu sunt aplicabile analogii pe degetele ™, pur și simplu nu este nimic cu care să comparați numărul. Putem spune că este imens, că este grandios, că este monumental și privește dincolo de orizontul evenimentelor. Adică pentru a-i oferi un fel de epitete verbale. Dar vizualizarea, chiar liberă și imaginativă, este imposibilă. Dacă cu trei săgeți încă s-ar putea spune cel puțin ceva, pentru a atrage o nesăbuință de pe Pământ pe Marte, cumva să se compare cu ceva, atunci pur și simplu nu pot exista analogii. Încercați să vă imaginați un turn subțire de triplete de la Pământ la Marte, lângă altul, aproape la fel, și altul și altul ... Câmpul nesfârșit al turnurilor merge în depărtare, în infinit, turnurile sunt peste tot, turnurile sunt peste tot. Și, ceea ce este cel mai jignitor, aceste turnuri nici măcar nu au o relație cu numărul, ele determină doar înălțimea altor turnuri care trebuie construite pentru a obține înălțimea turnurilor, pentru a obține înălțimea turnurilor. .. pentru a obține numărul în sine după o perioadă de timp și iterații inimaginabile.

Asta este g₁, asta este 33.

Ia o pauză? Acum, din g₁ cu vigoare reînnoită, ne întoarcem la asaltul numărului lui Graham. Observați cum crește escaladarea de la săgeată la săgeată?

33 = 7 625 597 484 987

33 \u003d turn, de la Pământ la Marte.

33 \u003d un număr care nu poate fi imaginat sau descris.

Imaginați-vă coșmarul digital care se întâmplă atunci când sunt cinci trăgători? Când sunt șase? Vă puteți imagina numărul când mâna va fi de o sută? Dacă puteți, permiteți-mi să vă aduc la cunoștință numărul g₂, în care numărul acestor săgeți este egal cu g₁. Amintiți-vă ce este g₁, nu?

Nu mă voi ascunde, există și g₃, care conține săgeți g₂. Apropo, este încă clar că g₃ nu este g₂ "la puterea lui" g₂, ci numărul de nesăbuite, determinând înălțimea nesăbuitei, determinând înălțimea ... și așa de-a lungul întregului lanț până la moartea termică a Universului? Aici puteți începe să plângeți.

De ce plangi? Pentru că este absolut adevărat. Există, de asemenea, un număr g₄, care conține săgeți g₃ între triple. Există și g₅, există g₆ și g₇ și g₁₇ și g₄₃ ...

Pe scurt, există 64 din aceste g. Fiecare precedentă este numerică egală cu numărul de săgeți din următoarea. Ultimul g₆₄ este numărul Graham, de la care totul părea să înceapă inocent. Acesta este numărul de dimensiuni ale hipercubului, care va fi cu siguranță suficient pentru a colora corect segmentele cu culori roșii și albastre. Poate mai puțin, aceasta este, ca să spunem așa, limita superioară. Este scris astfel:

dar pictează așa.

Pentru a ne imagina măcar cumva scara numărului, să analizăm mai detaliat înregistrarea acestuia.

1 ... Deci, în matematică există conceptul de „hiperoperator” pentru determinarea nivelului operațiilor aritmetice. Deci, adunarea este un hiperoperator de primul nivel, iar un hiperoperator de al doilea nivel este multiplicarea, care este adunarea repetată. Adică, un multiplicator este un număr care ne spune de câte ori să adăugăm valoarea înmulțită. De exemplu: 3 · 3 \u003d 3 + 3 + 3 \u003d 9. Următorul hiperoperator este exponențierea, x n = x^n, care este în esență o multiplicare repetitivă. Exemplu: 3 3 \u003d 3 · 3 · 3 \u003d 27. Notația 3 3 din notația Knuth va arăta ca 33. Aici, pentru claritate, ar trebui spus că prima cifră din expresia 33 este valoarea cu care efectuăm acțiunea, iar numărul săgeților dintre numere este o operație aritmetică; în acest caz, o săgeată înseamnă exponențiere. A doua cifră înseamnă gradul în care ar trebui ridicată prima cifră (de câte ori să se înmulțească singură). În consecință, expresia 74 înseamnă șapte până la a patra putere. Cu alte cuvinte, 7 trebuie multiplicate cu 7 de patru ori.

2 ... Hiperoperatorul de nivelul patru este tetrarea, exponențierea repetată. Intrarea lui Knuth are două săgeți între numere. Exemplu: 33 \u003d 3 3 \u003d 3 3 3 \u003d 3 27 \u003d 7 625 597 484 987. Adică, a doua cifră în prezența a două săgeți înseamnă că de atâtea ori trebuie să ridici primul număr la puterea ta. Cu alte cuvinte, ne arată înălțimea turnului de putere de la prima cifră. De exemplu, 58 înseamnă un turn de opt fives îngrămădite unul peste altul ca niște cuburi.

Cei al căror creier este complet umflat de grăsime sau este ocupat doar cu gânduri despre cum să găsească chan, să-și pompeze elful sau să scape de acnee, ar trebui să vă amintiți că expresiile sunt calculate în tetrare de sus în jos, sau de la dreapta la stânga... Pur și simplu, 3 3 3 nu este nenorocit 27 3, ci la fel 3 27 ... Acum vedeți, micul meu prieten blănos, că tetrarea este deja un mod destul de puternic de notație, permițând într-o expresie scurtă să scrie numere de 100.500 de ori mai mari decât 100.500 în sine. Dar asta nu este tot, pentru că nu este un hiperoperator suficient de puternic pentru a calcula numărul Graham.

3 ... Mergând mai departe: al cincilea nivel hiperoperator - pentație (tetrare repetată). Trei săgeți între numere. De aici începe dracul, de la care oamenii care nu sunt matematicieni profesioniști scuipă pe toată această porcărie și nu mai încearcă să o înțeleagă. Dar nu ești ca ei? Dacă ați crezut că pentația numărului 3 se extinde în 3 la puterea de 7 625 597 484 987, atunci vă înșelați. Nu ai idee cât de mult te înșeli. Căci 3 până la puterea 7 625 597 484 987 este doar 34. Și pentația este 33 \u003d 3 (33) \u003d 3 (7 625 597 484 987) \u003d 33 ... ( numărul de exponențieri - 7 625 597 484 987 de ori) ... 3. Adică, turnul de putere al tripletelor are o înălțime de peste șapte trilioane de etaje! Cu alte cuvinte, a doua cifră în prezența a trei săgeți înseamnă cât de înalt va fi turnul de tetrare al primei cifre... Pentru claritate: 34 pot fi scrise ca 3 3 3 3 sau 3 (3 (3 3)). Și principalul lucru aici este să înțelegem că acest turn de tetrare nu este un turn de grade, aici escaladarea este mult mai rapidă. 34 \u003d 3 3 3 3 \u003d 7 625 597 484 987 3 3.
Ai în sfârșit cățea?! 34 este egal cu 3 în tetrarea numărului care se obține calculând turnul de putere din numărul 3 cu o înălțime de 7 625 597 484 987 etaje. În consecință, dacă 34 este scris ca un turn de putere al tripletelor, atunci numărul de etaje din acest turn va fi egal cu numărul care va fi obținut atunci când se calculează un turn de putere cu o înălțime de 7 625 597 484 987 etaje. Introdus? Nu am prezentat, desigur, nu puteam înțelege astfel de valori.

Dacă tot ai început să nu înțelegi ce naiba se întâmplă aici, atunci citește din nou punctul 2.

4 ... Și ultimul hiperoperator de care avem nevoie este hexarea. După cum probabil ați ghicit, există patru săgeți între cele trei. Aceasta este, în consecință, o pentație repetitivă. Al doilea număr în prezența a patru săgeți înseamnă cât de înalt va fi turnul de "pentație"... 33 \u003d 3 (33) \u003d 333 ... 33, unde numărul de tetrare este rezultatul calculării pentației 33. Dacă nu înțelegeți nimic din nou, atunci citiți din nou punctele 3 și 2.
Dacă ne deplasăm până la capătul acestui lanț de tetrare de neimaginat și începem să-l calculăm, atunci al doilea triplet de la sfârșit va fi egal cu 7 625 597 484 987 în tetrare. Și rezultatul tetrării celui de-al treilea triplu de la sfârșit va fi numărul obținut prin pentarea triplului din paragraful anterior. Și în fața noastră - există și googolplexuri și googolplexuri de repetare a tetrării numărului 3. Este deja inutil să încerci să înțelegi ceva, să surprinzi cumva rezultatul ... Și atunci te-ai putea întreba: „Este acesta numărul lui Graham? Uau, ce uriaș! " Dar nu, acesta nu este numărul lui Graham. A fost doar un proverb matematic și este nesemnificativ, nemăsurat de mic în comparație cu numărul lui Graham.

Prin urmare, hexarea este doar adăugarea unei săgeți pissing la pentație, dar rezultatul este mai mult într-un număr inimaginabil de ordine. Și acum, de fapt, calculul numărului Graham. Numărul trei din exemple a fost folosit dintr-un motiv, deoarece numărul Graham este în esență numărul trei înmulțit. Deci, să numim rezultatul hexazei noastre (33) G1. Acesta va fi primul pas în calcul. Doar primul. Iar pasul următor accelerează progresia, astfel încât adăugarea unuia, zece, MILIOANE de săgeți între numere reprezintă timpul. Pasul doi este calcularea G2. Acum luăm rezultatul hexazării noastre a tripletului și scriem o expresie în care numărul de săgeți al supergradului va fi egal cu acest rezultat. G2 \u003d 3 ... (număr de săgeți peste grad - G1) ... 3. Mă întreb care este numele hiperoperatorului ACEST nivel? ..

Scrierea nu numai a rezultatului, dar chiar și a acestui hiperoperator nu mai este posibilă fără reducere. Și numărul obținut prin calcularea acestuia (dacă, bineînțeles, ar putea fi calculat), ar umple Universul și lumile paralele și subspațiul și orice alt plan astral cu numerele sale. Și nu uitați că în G1 numărul de săgeți a fost egal cu patru - și acesta este deja un număr care nu poate fi calculat și scris în mod obișnuit! Și în G2 acest număr este doar numărul de supergraduri. Asta este. Progresia este incredibil de rapidă. Și acesta este doar începutul. Următorul pas este să calculați numărul G3, unde numărul săgeților superdegree va fi egal cu G2! La fel, după aceasta, urmează încă 62 de pași de calcul, unde rezultatul fiecărui pas va fi doar numărul de săgeți ale superdegradului pasului următor, iar numărul Graham este G64!

Vaistenu, matanul pune uneori mai rău decât orice droguri.

Era un bătrân, timid ca un băiat,
Patriarh neîndemânatic, timid ...
Cine este spadasinul pentru onoarea naturii?
Ei bine, desigur, înflăcăratul Lamarck.
Osip Mandelstam

Pe lângă descrierea numărului Graham și a multor alte numere interesante, vă propun să discutăm încă câteva numere. Acum ei decriptează în grabă genomul uman. În opinia mea, acest lucru va fi de puțin folos, din orice date experimentale la care există cel puțin o anumită teorie (nu este clar ce se măsoară de fapt), dar cel puțin s-a știut că genomul uman este format din 3,1 miliarde de baze ( din punct de vedere al teoriei evoluției lui Darwin, fiecare creatură vie este considerată un test pentru supraviețuirea acestei combinații de temeiuri, iar principala ciocnire a religiei cu teoria lui Darwin are loc atunci când teoria lui Darwin , sau mai bine zis interpretarea sa modernă, declară că această enumerare are loc la întâmplare ... În afara acestei afirmații, nu există nicio contradicție între teoria evoluționistă și imaginea descrisă, de exemplu, în Geneza iudeo-creștină, indiferent de ceea ce susțin creaționiștii.

De exemplu, dacă presupunem că prima creatură vie din primul ADN a fost programată cu toată evoluția de la această primă creatură la omul modern, atunci această imagine, care poate fi considerată o interpretare modernă a evoluției lui Lamarck, nu este diferită de Geneza și chiar prima creatură care a trăit în acest experiment de gândire nu ar trebui să se numească Adam Brodsky, ci arhetipul Lamarck. Pur și simplu cuvintele „Dumnezeu a creat” din Geneza în acest context înseamnă că Dumnezeu a scris arhetipul Lamarck în program. Apropo, El a inventat și acest program și modul de programare în sine.

Să presupunem că combinația perechilor de baze ale acestei prime creaturi vii este unică, atunci putem estima de sub rata evoluției lui Darwin. Să începem cu faptul că cea mai mică creatură vie a fost găsită recent (virușii, în teorie, sunt chiar mai mici, dar nu pot fi considerați ființe pe deplin vii, deoarece au nevoie de un mecanism celular străin pentru reproducere - tot felul de mitocondrii etc., etc.) Imaginați-vă că întregul univers (10 până la puterea de 26 de metri) este umplut până la refuz cu aceste ființe vii de 0,009 microni cubi, care testează continuu combinații de ADN și fiecare are propria sa sarcină de testare unică, care exclude duplicarea a testării ADN-ului de către diferite ființe vii și, dacă apare ceva de succes, atunci toate ființele vii din univers află instantaneu despre acest lucru și își schimbă sarcina de testare, astfel încât toate combinațiile bazate pe un test eșuat să fie eliminate de la testarea ulterioară. Să numim numărul Darwin numărul total de genomi care trebuie astfel testați și dacă înmulțim numărul Darwin cu durata de viață minimă a creaturii testate - timpul Planck, care este cuantumul minim de timp - și împărțim la numărul total a unor astfel de creaturi, atunci putem determina un anumit timp caracteristic unei astfel de evoluții, pe care îl propun să-l numim timpul lui Darwin. Și dacă împărțiți timpul lui Darwin la vârsta maximă a universului nostru, atunci puteți obține un număr, pe care îl propun să-l numesc numărul lui William de Ockham, deoarece el a fost primul care a demonstrat că metodele științifice nu pot dovedi existența lui Dumnezeu, dar nici nu poate dovedi absența lui. Într-adevăr, numărul lui Occam arată, în cadrul teoriei lui Darwin, numărul maxim de intrări în evoluția darwiniană în Universul nostru, adică separă acele combinații de ADN care pot fi genomul unei ființe vii de cele despre care se știe că sunt fatale. . Adică, acest număr arată diferența dintre viață și moarte în universul nostru.

Bineînțeles, raportul dintre numărul Occam și numărul Graham, propun să apelez numărul Brodsky și propun să numim întreaga procedură paradoxul lui Brodsky.

Postat inițial de lyubimica_mira la Numărul lui Graham ™

Original preluat din sly2m în Numărul lui Graham ™

epigraf
Dacă privești mult timp în abis,
te poți distra bine.
Inginer mecanic de duș

De îndată ce un copil (și acest lucru se întâmplă undeva în jurul valorii de trei sau patru ani) își dă seama că toate numerele sunt împărțite în trei grupuri „unul, doi și mulți”, el încearcă imediat să afle: cati sunt multidecât mulți difera de multe, și poate exista atât de multe încât nu se mai întâmplă niciodată... Sigur ai jucat cu părinții tăi un joc interesant (pentru acea vârstă), care va apela cel mai mare număr și dacă strămoșul a fost nu mai prost decât un elev de clasa a cincea, apoi a câștigat mereu, răspunzând la „două milioane” pentru fiecare „milion” și „două miliarde” sau „miliarde plus unu” pentru „miliarde”.

Până în clasa întâi a școlii, toată lumea știe că există un număr infinit de numere, nu se termină niciodată și cel mai mare număr nu există. Orice milioane de miliarde de miliarde poți oricând să spui „plus unu” și să câștigi. Și puțin mai târziu vine înțelegerea (ar trebui să vină!) Că șirurile lungi de numere nu înseamnă nimic în sine. Toate acestea miliarde de miliarde numai atunci au sens atunci când servesc ca reprezentare a unui anumit număr de obiecte sau descriu un anumit fenomen. Nu există nicio dificultate în a inventa un număr lung care nu este altceva decât un set de numere cu sunete lungi, deci sumă nesfârșită... Știința, într-un fel figurat, este angajată în căutarea unor combinații foarte specifice de numere în acest abis fără margini, adăugând la un anumit fenomen fizic, de exemplu, viteza luminii, numărul lui Avogadro sau constanta lui Planck.

Și imediat apare întrebarea, care este cel mai mare număr din lume care înseamnă ceva? În acest articol, voi încerca să vorbesc despre un monstru digital numit numărul lui Graham, deși strict vorbind, știința știe cifre și multe altele. Numărul lui Graham este cel mai popular, se poate spune „după ureche” în rândul publicului larg, deoarece este destul de simplu ca explicație și totuși suficient de mare pentru a întoarce capul. În general, o mică responsabilitate ( rusă avertizare). Lasă să sune ca o glumă, dar nu glumesc. Vorbesc destul de serios - bătaia minuțioasă în astfel de profunzimi matematice, combinată cu o extindere neîngrădită a limitelor percepției, poate avea (și va avea) un impact serios asupra viziunii lumii, asupra poziționării unei persoane în societate și, în cele din urmă, , pe stare psihologică generală culegerea sau, să numim o pică pică - deschide calea către shiza. Nu este necesar să citiți prea atent textul următor, nu este necesar să vă imaginați lucrurile descrise în acesta prea viu și viu. Și nu spune mai târziu că nu ai fost avertizat!
Degete:
Înainte de a trece la numerele monstru, să exersăm mai întâi. pe pisici... Permiteți-mi să vă reamintesc că pentru a descrie numere mari (nu monștri, ci doar numere mari) este convenabil să folosiți științific sau așa-numitele. exponențială metoda de înregistrare.

Când vorbesc, să zicem, despre numărul de stele din Univers (în Universul observabil), nici un idiot nu încearcă să calculeze câte sunt acolo literalmente, până la ultima stea. Se estimează că există aproximativ 10 21 de piese. Și aceasta este o estimare de mai jos. Aceasta înseamnă că numărul total de stele poate fi exprimat printr-un număr care are 21 zero după una, adică „1.000.000.000.000.000.000.000.000”.

Așa arată o mică parte din ele (aproximativ 100.000) în grupul globular Omega Centauri.

Bineînțeles, când vine vorba de astfel de scale, numerele reale nu joacă un rol semnificativ în număr, la urma urmei, totul este foarte condiționat și aproximativ. Pot fi de fapt numărul de stele din Univers este „1 564 861 615 140 168 357 973”, sau poate „9 384 684 643 798 468 483 745”. Și chiar „3 333 333 333 333 333 333 333”, de ce nu, deși este puțin probabil, desigur. În cosmologie, știința proprietăților Universului în ansamblu, astfel de fleacuri nu sunt păcălite. Principalul lucru este să ne imaginăm asta despre acest număr este format din 22 de cifre, din care este mai convenabil să-l considerăm ca o unitate cu 21 de zerouri și să-l notăm ca 10 21. Regula este generală și foarte simplă. Ce cifră sau număr se află în locul gradului (tipărit cu litere mici peste 10 aici), atât de multe zerouri după unul vor fi în acest număr, dacă îl scrieți într-un mod simplu, în semne consecutive și nu într-un mod științific. Unele numere au „nume umane”, de exemplu 10 3 le numim „mii”, 10 6 - „milioane” și 10 9 - „miliarde”, iar altele nu. Să presupunem că 10 59 nu are un nume comun. Și 10 21, apropo, are - acesta este „sextillion”.

Tot ceea ce urcă până la un milion este ușor de înțeles de aproape oricine, pentru că care nu vrea să fie milionar? Apoi, unii oameni încep să aibă probleme. Deși un miliard (10 9) îi cunoaște și pe aproape toată lumea. Puteți număra chiar și până la un miliard. Dacă numai după ce s-a născut, literalmente în momentul nașterii, unul începe să numere o dată pe secundă „unul, doi, trei, patru ...” și nu doarme, nu bea, nu mănâncă, ci doar contează-numără-te neobosit ziua iar noaptea, atunci când ai 32 de ani poți număra până la un miliard, deoarece 32 de rotații ale Pământului în jurul Soarelui durează aproximativ un miliard de secunde.

7 miliarde este numărul de oameni de pe planetă. Pe baza celor de mai sus, este absolut imposibil să le numărați pe toate în ordine pe parcursul vieții umane, va trebui să trăiți mai mult de două sute de ani.

100 miliarde (10 11) - numărul de oameni care au trăit pe planetă în întreaga sa istorie. McDonald's a vândut 100 de miliarde de hamburgeri până în 1998 în cei 50 de ani de existență. 100 de miliarde de stele (ei bine, puțin mai mult) se află în galaxia noastră Calea Lactee, iar Soarele este una dintre ele. Același număr de galaxii este conținut în Universul observabil. 100 de miliarde de neuroni se găsesc în creierul uman. Și același număr de bacterii anaerobe trăiește în toată lumea care citește aceste linii în cecum.

Trilionul (10 12) este un număr rar folosit. Este imposibil să se numere până la un trilion, va dura 32 de mii de ani. Cu un trilion de secunde în urmă, oamenii trăiau în peșteri și vânau mamuți cu sulițe. Da, acum un trilion de secunde, mamuții trăiau pe Pământ. Există aproximativ un trilion de pești în oceanele planetei. În galaxia vecină Andromeda, există aproximativ un trilion de stele. O persoană este formată din 10 trilioane de celule. PIB-ul Rusiei în 2013 s-a ridicat la 66 trilioane de ruble (în 2013 ruble). De la Pământ la Saturn, 100 de trilioane de centimetri și același număr de litere au fost tipărite în fiecare carte publicată vreodată.
Un patrilion (10 15, milioane de miliarde) este numărul de furnici de pe planetă. Oamenii normali nu spun acest cuvânt cu voce tare, ei bine, mărturisește-te, când ai auzit ultima oară „un pătrilion de ceva” într-o conversație?
Quintillion (10 18, miliarde miliarde) - există atât de multe configurații posibile atunci când rezolvați un cub Rubik de 3x3x3. Același lucru este și numărul de metri cubi de apă din oceanele lumii.
Sextillion (10 21) - am întâlnit deja acest număr. Numărul de stele din Universul observabil. Numărul de boabe de nisip din toate deșerturile Pământului. Numărul de tranzistoare din toate dispozitivele electronice existente ale omenirii, dacă Intel nu ne-a mințit.
10 sextillion (10 22) este numărul de molecule dintr-un gram de apă.
10 24 este masa Pământului în kilograme.
10 26 - diametrul Universului observabil în metri, dar nu este foarte convenabil să se numere în metri, limitele general acceptate ale Universului observabil sunt de 93 miliarde de ani lumină.

Știința nu funcționează cu dimensiuni mai mari decât Universul observabil. Știm cu siguranță că Universul observabil nu este întregul - întregul - întregul Univers. Aceasta este partea pe care noi, cel puțin teoretic, o putem vedea și observa. Sau poate că au văzut în trecut. Sau îl putem vedea cândva în viitorul îndepărtat, rămânând în același timp în cadrul științei moderne. Din restul Universului, chiar și cu viteza luminii, semnalele nu vor putea ajunge la noi, din care aceste locuri, din punctul nostru de vedere, nu par să existe. Cât de mare este acel univers mare de fapt nimeni nu stie. Poate de un milion de ori mai mult decât Observable. Poate un miliard. Și poate chiar fără sfârșit. Spun, aceasta nu mai este știință, ci preziceri pe zăpada cafelei. Oamenii de știință au unele presupuneri, dar aceasta este mai mult fantezie decât realitate.
Pentru vizualizarea scalelor cosmice, este util să studiați această imagine, extinzându-o pe ecran complet.

Cu toate acestea, chiar și în Universul observabil, puteți înghesui mult mai mult altceva decât metri.
10 51 de atomi alcătuiesc planeta Pământ.
10 80 numărul aproximativ de particule elementare din Universul observabil.
10 90 numărul aproximativ de fotoni din Universul observabil. Există aproape 10 miliarde de ori mai mult decât particulele elementare, electronii și protonii.
10 100 - googol. Acest număr nu înseamnă fizic nimic, ci doar rotund și frumos. Compania care și-a stabilit obiectivul de indexare a googol-ului de legături (glumă, desigur, este mai mult decât numărul de particule elementare din univers!) În 1998 a luat numele Google.
10 122 de protoni vor fi necesari pentru a umple Universul observabil până la globii oculari, atât de strânși, de la proton la proton, aproape unul de celălalt.
10.185 de volume Planck sunt ocupate de Universul observabil. Cantități mai mici decât volumul Planck (un cub cu o lungime Planck de 10 -35 metri), știința noastră nu știe. Cu siguranță, ca și în cazul Universului, există ceva și mai mic, dar oamenii de știință nu au venit încă cu formule sănătoase pentru astfel de fleacuri, ci doar speculații solide.

Se pare că aproximativ 10.185 este cel mai mare număr care, în principiu, poate însemna ceva în știința modernă. Într-o știință care poate atinge și măsura. Aceasta este ceea ce există sau ar putea exista dacă s-ar întâmpla că am învățat tot ce se putea învăța despre Univers. Numărul are 186 de cifre, iată-l:
100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Știința aici, desigur, nu se termină aici, dar apoi există teorii gratuite, presupuneri sau chiar pur și simplu pseudo-științifice. De exemplu, probabil ați auzit despre teoria inflaționistă, potrivit căreia, probabil, Universul nostru face parte doar dintr-un Multivers mai general, în care aceste universuri sunt ca niște bule într-un ocean de șampanie.

Sau ați auzit despre teoria corzilor, conform căreia pot exista aproximativ 10500 de configurații ale vibrațiilor corzilor, ceea ce înseamnă același număr de universuri potențiale, fiecare cu propriile legi.

Cu cât este mai departe în pădure, cu atât fizica mai puțin teoretică și, în general, știința rămân în număr care câștigă volum, iar în spatele coloanelor de zerouri, o regină a științelor mereu mai curată și neclară începe să se uite. Matematica nu este fizică, nu există restricții și nu este nimic de care să-ți fie rușine, umblă-ți sufletul, scrie zerouri în formule până când scapi.
Voi menționa doar cunoscut de mulți googolplex... Un număr care are numere googol, zece la puterea googol (10 googol), sau zece la puterea a zece la puterea de o sută (10 10 100).
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Nu o voi scrie în cifre. Googolplex nu înseamnă absolut nimic. O persoană nu își poate imagina un googolplex de nimic, este imposibil din punct de vedere fizic. Pentru a scrie un astfel de număr, va fi necesar întregul Univers observabil, dacă scrieți cu un „nano-stilou” direct în vid, de fapt, în celulele Planck ale spațiului. Să traducem toată materia în cerneală și să umplem Universul cu numere solide, apoi obținem un googolplex. Dar matematicienii (oameni înfricoșători!) Se încălzesc doar cu googolprex, acesta este cel mai jos bar din care pornesc prostii reale pentru ei. Și dacă credeți că googolplex la gradul de googolplex este ceea ce vom vorbi, nici nu vă puteți imagina CÂT de greșit.

În spatele googolplexului există numeroase numere interesante care au unul sau alt rol în demonstrațiile matematice, cât timp este scurt, să mergem direct la numărul Graham, numit după (bine, în mod natural) matematicianul Ronald Graham. În primul rând, vă voi spune ce este și de ce aveți nevoie de ea, după care figurativ și pe degetele tale ™ Voi descrie ce dimensiune are, apoi voi scrie numărul în sine. Mai exact, voi încerca să explic ce am scris.

Numărul Graham a apărut într-o lucrare dedicată rezolvării uneia dintre problemele teoriei Ramsey, iar „Ramsey” aici nu este un participiu imperfect, ci numele de familie al unui alt matematician, Frank Ramsey. Sarcina, desigur, este destul de îndelungată din punct de vedere filistin, deși nu este foarte confuză, chiar ușor de înțeles.
Imaginați-vă un cub, al cărui vârf este conectat prin segmente de linie de două culori, roșu sau albastru. Conectat și colorat în ordine aleatorie. Unii au ghicit deja că vom vorbi despre o ramură a matematicii numită combinatorică.

Vom reuși să inventăm și să alegem configurația culorilor (și există doar două dintre ele - roșu și albastru), astfel încât atunci când colorăm aceste segmente să nu funcționeze pentru noi că toate segmentele de aceeași culoare care leagă cele patru vârfuri zace în același plan? În acest caz, ele NU reprezintă o astfel de figură:

Puteți gândi singur, învârti cubul în imaginația ta în fața ochilor, nu este atât de dificil să faci asta. Există două culori, cubul are 8 vârfuri (colțuri), ceea ce înseamnă că segmentele care le leagă sunt 28. Puteți alege configurația colorării astfel încât să nu obținem figura de mai sus nicăieri, în toate planurile posibile vor fi linii multicolore.
Ce se întâmplă dacă avem mai multe dimensiuni? Ce se întâmplă dacă nu luăm un cub, ci un cub în patru dimensiuni, adică teseract? Putem face același truc ca și cu 3D?

Nici măcar nu voi începe să explic ce este un cub cu patru dimensiuni, toată lumea știe? Un cub în patru dimensiuni are 16 vârfuri. Și nu trebuie să vă umflați creierul și să încercați să vă imaginați un cub în patru dimensiuni. Aceasta este matematică pură. M-am uitat la numărul de măsurători, l-am înlocuit în formulă, am obținut numărul de vârfuri, margini, fețe și așa mai departe. Ei bine, sau te-ai uitat la Wikipedia, dacă nu-ți amintești formulele. Deci, un cub cu patru dimensiuni are 16 vârfuri și 120 de segmente care le conectează. Numărul combinațiilor de colorare în cazul patru-dimensional este mult mai mare decât în \u200b\u200bcel tridimensional, dar chiar și aici nu este foarte dificil să numărăm, să împărțim, să reducem și altele asemenea. Pe scurt, aflați că, în spațiul cu patru dimensiuni, puteți înșela și colorarea segmentelor hipercubului, astfel încât toate liniile de aceeași culoare care leagă cele 4 vârfuri să nu se afle în același plan.
În a cincea dimensiune? Și în cele cinci dimensiuni, unde cubul este numit penteract sau pentacub, este, de asemenea, posibil.
Și în șase dimensiuni.
Și apoi există dificultăți. Graham nu a putut demonstra matematic că un hipercub cu șapte dimensiuni ar putea face o astfel de operație. Și opt-dimensional și nouă-dimensional și așa mai departe. Dar „și așa mai departe” dat, s-a dovedit, nu merge la infinit, ci se termină cu un număr foarte mare, care a fost numit „numărul Graham”.
Adică există unele dimensiune minimă un hipercub, în \u200b\u200bcare condiția este încălcată și este deja imposibil să se evite o combinație de colorare a segmentelor, astfel încât patru puncte de aceeași culoare să se afle în același plan. Și această dimensiune minimă este exact mai mare de șase și exact mai mică decât numărul lui Graham și aceasta este dovada matematică a omului de știință.

Și acum definiția a ceea ce am descris mai sus în mai multe paragrafe, limbaj uscat și plictisitor (dar încăpător) al matematicii. Nu este necesar să înțelegem, dar nu pot decât să o citez.
Luați în considerare un hipercub n-dimensional și conectați toate perechile de vârfuri pentru a obține un grafic complet cu 2 n vârfuri. Să colorăm fiecare margine a acestui grafic fie roșu, fie albastru. Pentru care este cea mai mică valoare a lui n, fiecare astfel de colorare conține în mod necesar un subgraf complet colorat într-o singură culoare cu patru vârfuri, toate situate în același plan?

În 1971, Graham a demonstrat că problema indicată are o soluție și că această soluție (cantitatea de dimensiune) se află între numărul 6 și un anumit număr mare, care a fost numit mai târziu (nu de către autorul însuși) în cinstea sa. În 2008, dovada a fost îmbunătățită, limita inferioară a fost ridicată, acum numărul necesar de dimensiuni se situează între 13 și numărul lui Graham. Matematicienii sunt treji, munca se desfășoară, domeniul de aplicare se restrânge.
Au trecut mulți ani de la anii 70, s-au găsit probleme matematice în care se manifestă numere și mai multe Graham, dar acest prim număr de monstru a uimit atât de contemporani, care au înțeles amploarea discursului, încât în \u200b\u200b1980 a fost inclus în Cartea Guinness a Records, ca „cel mai mare număr implicat vreodată în dovezi matematice riguroase” la acea vreme.

Să încercăm să ne dăm seama cât de mare este. Cel mai mare număr care poate avea o anumită semnificație fizică este 10 185 și, dacă întregul Univers observabil este umplut cu un set aparent infinit de numere rare, obținem ceva comparabil cu googolplex.

Vă puteți imagina acest volum? Înainte, înapoi, în sus, în jos, în măsura în care ochiul poate vedea și în măsura în care este telescopul Hubble și chiar în măsura în care lipsește, către cele mai îndepărtate galaxii și privind în spatele lor - numere, numere, numere mult mai mici decât un proton. Un astfel de Univers, desigur, nu va putea exista mult timp, se va prăbuși imediat într-o gaură neagră. Vă amintiți cât de multe informații se pot încadra teoretic în univers? Ti-am spus.

Numărul este cu adevărat imens, rupe creierul. Nu este exact egal cu googolplex și nu are nume, așa că îl voi numi " dohulion". Tocmai am aflat de ce nu. Numărul de celule Planck din Universul observabil și fiecare celulă conține o cifră. Numărul conține 10 185 de cifre, poate fi reprezentat ca 10 10 185.
dohulion \u003d 10 10 185
Să deschidem ușile percepției un pic mai larg. Vă amintiți teoria inflaționistă? Că universul nostru este doar una dintre multele bule din Multivers. Și dacă vă imaginați dohulion asemenea bule? Luăm un număr, lungimea a tot ceea ce există și ne imaginăm un Multivers cu un număr similar de universuri, fiecare dintre ele fiind umplut cu numere cu globii oculari - obținem dohulion dohulion... Vă puteți imagina acest lucru? Cum plutești în inexistența unui câmp scalar și în jurul universurilor, universurilor și numerelor-numere-numere din ele ... Sper că un astfel de coșmar (deși, de ce un coșmar?) Nu va chinui (și de ce să chinui?) cititor prea impresionabil noaptea.

Pentru comoditate, să apelăm la o astfel de operație " flipO interjecție atât de frivolă, de parcă ar fi luat Universul și l-ar întoarce pe dinăuntru, atunci era în interior în cifre, iar acum, dimpotrivă, avem atâtea universuri în afară, câte numere erau, și fiecare cutie este plină, plin de cifre. Ca o rodie pe care o curăți, îndoiești coaja așa, boabele se întorc în afară, iar boabele sunt din nou rodii. De asemenea, pe drum, am venit cu de ce nu, cu dochulion pentru că s-a rostogolit.
La ce mă aflu? Ar trebui să încetinesc? Haide, hoba și încă unul flip! Și acum avem la fel de multe universuri pe cât erau numere în universuri, al căror număr era egal cu numerele de dinainte de iulie care ne umpleau Universul. Și imediat, fără oprire, răstoarnă din nou. Și al patrulea și al cincilea. Zecea, a mia. Ții pasul cu gândul, îți mai imaginezi poza?

Să nu pierdem timpul pe fleacuri, să întindem aripile imaginației, să accelerăm la maxim și să răsturnăm flip flips... Întoarcem fiecare univers din afară de atâtea ori, câte universuri de dohulion erau în flip-ul anterior, care a răsturnat de la cel de dinainte de ultima, pe care ... uh ... ei bine, îl urmezi? Undeva așa. Acum, numărul nostru să devină, să presupunem, " doholiard".
dohliard \u003d flip flips
Nu ne oprim și continuăm să răsfoim dohulions de doholiards, atâta timp cât există forță. Până când se întunecă în ochi, până când vrei să țipi. Aici fiecare este propriul său curajos Buratina, stop-word va fi „brânză”.
Deci asta este. Despre ce este vorba? Dohulions uriașe și nesfârșite de flip și dohouliards de universuri cu numere întregi nu pot fi comparate cu numărul lui Graham. Nici măcar nu zgârie suprafața. Dacă ne imaginăm numărul lui Graham sub forma unui băț, întins conform tradiției în întregul Univers observabil, atunci suntem aici cu voi răsturnat se dovedește a fi o crestătură de grosime ... ei bine ... cum ar fi, să o spun ușor ... nedemn de menționat... Aici, s-a înmuiat cât a putut.

Acum hai să divagăm puțin, să luăm o pauză. Citim, ne-am gândit, ochii noștri obosiți. Uitați de numărul lui Graham, trebuie totuși să ne târâm și să ne târâm către el, să ne focalizăm privirea, să ne relaxăm, să medităm la un număr miniatural mult mai mic, de-a dreptul, pe care îl vom numi g 1 și să-l notăm cu doar șase cifre:
g 1 \u003d 33
Numărul g 1 este egal cu „trei, patru săgeți, trei”. Ce înseamnă? Acesta este un mod de notare numit notația săgeată a lui Knuth.
Pentru detalii și detalii, puteți citi articolul de pe Wikipedia, dar există formule, îl voi relata pe scurt în cuvinte simple. O săgeată înseamnă exponențierea obișnuită.
22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000

Două săgeți indică, înțeles, exponențierea.
23 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16
33 \u003d 333 \u003d 3 3 3 \u003d 3 27 \u003d 7625 597 484 987 (mai mult de 7 trilioane)
34 \u003d 3333 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 7 625 597 484 987 \u003d un număr cu aproximativ 3 trilioane de cifre

Pe scurt, „săgeata numerică săgeată un alt număr” arată cât de ridicate sunt gradele (matematicienii spun „ turn") este construit din primul număr. De exemplu, 58 înseamnă un turn de opt cinci și este atât de mare încât nu poate fi calculat pe niciun supercomputer, nici măcar pe toate computerele planetei simultan.
5 5 5 5 5 5 5 5
Trecem la cele trei săgeți. Dacă săgeata dublă arăta înălțimea turnului de grade, atunci săgeata triplă pare să indice „înălțimea turnului înălțimii turnului”? Ce este acolo! În cazul unui trei, avem înălțimea înălțimii turnului înălțimea turnului (în matematică nu există un astfel de concept, am decis să-l numesc " nesăbuit"). Ceva de genul:

Adică, 33 formează un turn nesăbuit de triplete, înalt de 7 trilioane de piese. Ce sunt 7 trilioane de triplete stivuite una peste alta numite „nesăbuite”? Dacă ați citit cu atenție acest text și nu ați adormit încă de la început, probabil că vă amintiți că de la Pământ la Saturn sunt 100 de miliarde de centimetri. Trei, afișate pe ecran în al doisprezecelea tip, acesta - înalt de 3 - cinci milimetri. Acest lucru înseamnă că nesăbuința tripletelor se va întinde de pe ecranul dvs. ... bine, nu la Saturn, desigur. Nici măcar nu va ajunge la Soare, doar un sfert de unitate astronomică, cam la fel ca de la Pământ la Marte pe vreme bună. Vă atrag atenția (nu dormiți!) Această nesăbuință nu este un număr de la Pământ la Marte, este un turn de grade de această înălțime... Ne amintim că cinci triplete din acest turn acoperă googolplexul, calculând primul decimetru de triplete arde toate siguranțele computerelor planetei, iar restul de milioane de kilometri de grade nu mai sunt inutile, doar batjocoresc în mod deschis cititorul, este inutil. să le ia în considerare.

Acum este clar că 34 \u003d 3333 \u003d 337 625 597 484 987 \u003d 3 fără turret, (nu 3 în gradul de turretlessness, ci „săgeți cu trei săgeți fără turret” (!)), Este nesăbuință nesăbuită nu se va potrivi nici în lungime, nici în înălțime în Universul observabil și nici măcar nu se va potrivi în presupusul Multivers.
Cuvintele se termină la 35 \u003d 33333, iar interjecțiile se termină la 36 \u003d 333333, dar puteți practica dacă există interes.

Trecem la cele patru săgeți. Așa cum ați fi ghicit, aici nesăbuința stă pe nesăbuință, conduce cu nesăbuință și chiar cu un turn sau fără un turn - la fel. Voi oferi în tăcere o imagine dezvăluind schema de calcul a celor patru săgeți, când fiecare număr ulterior al turnului de grade determină înălțimea turnului de grade, care determină înălțimea turnului de grade, care determină înălțimea turnului de grade. .. și așa mai departe până la uitarea de sine.

Este inutil să-l calculăm și nu va funcționa. Numărul de grade de aici nu se pretează la o contabilitate semnificativă. Acest număr este imposibil de imaginat, este imposibil să-l descrie. Fără analogii pe degetele tale ™ nu sunt aplicabile, pur și simplu nu există nimic cu care să comparați numărul. Putem spune că este imens, că este grandios, că este monumental și privește dincolo de orizontul evenimentelor. Adică pentru a-i oferi un fel de epitete verbale. Dar vizualizarea, chiar liberă și imaginativă, este imposibilă. Dacă cu trei săgeți încă s-ar putea spune cel puțin ceva, pentru a atrage o nesăbuință de pe Pământ pe Marte, cumva să se compare cu ceva, atunci pur și simplu nu pot exista analogii.
Acum, din g 1 cu o vigoare reînnoită, ne întoarcem la asaltul numărului lui Graham. Observați cum crește escaladarea de la săgeată la săgeată?
33 = 27
33 = 7 625 597 484 987
33 \u003d turn, de la Pământ la Marte.
33 \u003d un număr care nu poate fi imaginat sau descris.

Imaginați-vă coșmarul digital care se întâmplă atunci când sunt cinci trăgători? Când sunt șase? Vă puteți imagina numărul când mâna va fi de o sută? Dacă puteți, permiteți-mi să vă aduc la cunoștință numărul g 2, în care numărul acestor săgeți este egal cu g 1. Amintiți-vă ce este g 1, nu?

Tot ce s-a scris până acum, toate aceste calcule, grade și turnuri care nu se încadrează în multiversul multiversului au fost necesare doar pentru unul. Pentru a afișa NUMĂRUL DE SĂGEȚI în g 2. Nu este nevoie să numărați nimic, puteți râde și fluturați mâna.
Nu mă voi ascunde, există și g 3, care conține g 2 săgeți. Apropo, este încă clar că g 3 nu este g 2 "la puterea" lui g 2, ci numărul de nesăbuite, determinând înălțimea nesăbuitei, determinând înălțimea ... și așa de-a lungul întregului lanț până la moartea termică a Universului? Aici puteți începe să plângeți.

De ce plangi? Pentru că este absolut adevărat. Există, de asemenea, un număr g 4, care conține g 3 săgeți între triple. Există, de asemenea, g 5, există g 6 și g 7 și g 17 și g 43 ...
Pe scurt, există 64 din aceste g. Fiecare precedentă este numerică egală cu numărul de săgeți din următoarea. Ultimul g 64 este numărul Graham, cu care totul părea să înceapă inocent. Acesta este numărul de dimensiuni ale hipercubului, care va fi cu siguranță suficient pentru a colora corect segmentele cu culori roșii și albastre. Poate mai puțin, aceasta este, ca să spunem așa, limita superioară. Este scris astfel:
și o pictează astfel:

Totul, acum te poți relaxa sincer. Nu mai este nevoie să ne imaginăm și să calculăm nimic. Dacă ați citit până aici, totul ar trebui să cadă. Sau nu te ridici. Sau nu a ta.

Știți, există o astfel de teorie, care este, de asemenea, foarte efemeră și filosofică, poate că ați auzit - tot ceea ce o persoană și-ar putea imagina sau imagina se va împlini cu siguranță cândva. Deoarece dezvoltarea civilizației este determinată de cât de mult a reușit să transpună în realitate fanteziile trecutului.

Nimeni nu știe ce ne rezervă viitorul. Civilizația umană are mii de modalități de a se termina: războaie nucleare, dezastre ecologice, pandemii mortale, orice asteroid care poate zbura, dinozaurii nu vă vor lăsa să minți. Dar natura are o lege de nezdruncinat care ne-a fost cunoscută din cele mai vechi timpuri. Orice s-ar întâmpla, orice s-ar întâmpla, orice ne gândim la noi înșine, dar timpul nu va merge nicăieri, va trece. Indiferent dacă vrem sau nu, cu sau fără noi, vor trece o mie și zece mii de ani.

Și dacă trece un milion de ani? Dar va merge acolo unde va merge. Numărul lui Graham și, în general, tot ceea ce o persoană este capabilă să se gândească, să-și imagineze, să scoată din uitare și să facă o entitate, deși nu este tangibilă, dar cel puțin având o anumită semnificație, va fi cu siguranță mai devreme sau mai târziu. Pur și simplu pentru că astăzi am avut puterea de a ne dezvolta până la capacitatea de a realiza acest lucru.

Astăzi, mâine, când există o oportunitate, aruncă-ți capul înapoi în cerul nopții. Îți amintești acest moment al simțirii propriei tale nesemnificări? Simți ce fel de persoană este mică? Un fir de praf, un atom, în comparație cu Universul nemărginit, care este plin de stele, din care nu există numere, ei bine, și abisul, în consecință, nu este nici mic.

Data viitoare, încearcă să simți ce bob de nisip este Universul în comparație cu ceea ce se întâmplă în capul tău. Ce abis se deschide, ce concepte incomensurabile se nasc, ce lumi sunt construite, cum se răstoarnă Universul cu o singură mișcare de gândire, cât și cât de multă materie vie, inteligentă diferă de moartă și nerezonabilă.

Cred că după ceva timp o persoană va ajunge la numărul lui Graham, îl va atinge cu mâna sau că până atunci va avea o mână. Aceasta nu este o idee dovedită științific, este într-adevăr doar speranță, ceva care mă inspiră. Nu credință cu o literă mare, nu extaz religios, nu învățătură și nu practică spirituală. La asta mă aștept de la umanitate. În ceea ce mă străduiesc, în măsura capacității mele, să ajut. Deși continuu să mă clasific ca un agnostic din prudență.

Cea mai mare constantă matematică
Este dificil să ne imaginăm corect Infinity fără a introduce un număr foarte mare la început. Nu vorbesc despre numere minuscule care diferă puțin de zero, cum ar fi numărul de atomi din univers sau numărul de ani care vor dura pentru ca o maimuță să copieze complet creațiile lui Shakespeare. Vă invit să luați în considerare care a fost, în jurul anului 1977, cel mai mare număr folosit vreodată într-o dovadă matematică serioasă. Această dovadă, realizată de Ronald Graham, oferă o limită superioară pentru răspunsuri la o întrebare specifică din teoria lui Ramsey. Pentru a înțelege dovada, este necesar să se introducă un nou concept din lucrarea lui Donald Knuth „studiul numerelor finite”. Acest concept este de obicei notat printr-o mică săgeată orientată în sus, la care ne referim aici ca ^

3 ^ 3 \u003d 3 * 3 * 3 \u003d 27. Acest număr este suficient de mic pentru a vă imagina.

3 ^^ 3 \u003d 3 ^ (3 ^ 3) \u003d 3 ^ 27 \u003d 7.625.597.484.987. Mai mult de 27, dar suficient de mici pentru ca eu să pot tipări. Nimeni nu își poate imagina șapte trilioane, dar putem înțelege cu ușurință acest număr, care corespunde aproximativ pentru volumul PIB.

3 ^^^ 3 \u003d 3 ^^ (3 ^^ 3) \u003d 3 ^ (3 ^ (3 ^ (3 ^ ... ^ (3 ^ 3) ...))). Intervalul „...” este format din 7.625.597.484.987 de triplete. Cu alte cuvinte, 3 ^^^ 3 sau săgeata (3, 3, 3) reprezintă un turn exponențial de triplete de 7.625.597.484.987 de niveluri înalte. Acest număr depășește înțelegerea umană, dar procedura de creare a acestuia poate fi vizualizată. Luați x \u003d 1. Setați x la 3 ^ x. Repetați acest lucru de șapte trilioane de ori. Deși primele etape ale acestui număr sunt prea mari pentru a fi cuprinse într-un întreg univers, turnul exponențial în sine, scris ca „3 ^ 3 ^ 3 ^ 3 ... ^ 3” este suficient de mic pentru a fi cuprins într-un supercomputer modern.

3 ^^^^ 3 \u003d 3 ^^^ (3 ^^^ 3) \u003d 3 ^^ (3 ^^ (3 ^^ ... ^^ (3 ^^ 3) ...)). Acum, atât numărul, cât și procedura de creare a acestuia depășesc capacitatea imaginativă umană, deși procedura poate fi înțeleasă. Luați x \u003d 1. Setați x la un turn exponențial de lungime x. Repetați acest 3 ^^^ de 3 ori, ceea ce este egal cu un turn exponențial de șapte trilioane de triplete.

Și, ca rezultat, în cuvintele lui Martin Gardner, "3 ^^^^ 3 este inimaginabil mai mare decât 3 ^^^ 3, dar este încă mic, deoarece majoritatea numerelor finite sunt mai mari".

Și apoi numărul lui Graham. Fie x 3 ^^^^ 3, numărul nereprezentabil de mare descris mai sus. Apoi atribuiți x valoarea 3 ^^^^^^^ (săgeata x) ^^^^^^^^ 3. Faceți același lucru din nou, dar înlocuiți (3 ^^^^^^^^ (x săgeată) ^^^^^^^ 3 pentru x) Repetați acest lucru de 63 de ori sau de 64 de ori cu secvența inițială 3 ^^^^ 3.

Numărul lui Graham depășește cu mult capacitatea mea de a înțelege. O pot descrie, dar nu o pot percepe corect. (Poate că Graham o poate percepe, deoarece a scris o dovadă matematică folosind-o.) Acest număr este mult mai mare decât conceptul infinitului celor mai mulți oameni. Știu că a fost mai mult decât ideea mea.

Răspunsul real la problema lui Ramsey care a dat naștere acestui număr ca limită superioară a fost probabil 6.

În plus față de groaza superstițioasă, acest număr a dat naștere unei mici glume: Onotole Wasserman pătrat cu ușurință numărul lui Graham în câteva secunde.

Există numere care sunt atât de incredibil, incredibil de mari încât chiar și pentru a le scrie ar lua întregul univers. Dar iată ce te înnebunește cu adevărat ... unele dintre aceste numere de neconceput de mari sunt extrem de importante pentru înțelegerea lumii.

Când spun „cel mai mare număr din univers”, mă refer cu adevărat la cel mai mare plin de înțeles număr, numărul maxim posibil care este util într-un fel. Există mulți concurenți pentru acest titlu, dar vă avertizez imediat: există într-adevăr riscul ca încercarea de a înțelege toate acestea să vă sufle mintea. Și în plus, cu prea multe matematici, te distrezi puțin.

Googol și googolplex

Edward Kasner

Am putea începe cu două, probabil cele mai mari numere despre care ați auzit vreodată, și acestea sunt într-adevăr cele mai mari două numere care au acceptat în general definiții în limba engleză. (Există o nomenclatură destul de precisă utilizată pentru a desemna numere atât de mari pe cât doriți, dar aceste două numere nu se găsesc în prezent în dicționare.) Googol, de când a devenit faimos în lume (deși cu erori, rețineți. De fapt, este googol) sub forma Google, s-a născut în 1920 ca o modalitate de a atrage copiii interesați de un număr mare.

În acest scop, Edward Kasner (în imagine) și-a luat cei doi nepoți, Milton și Edwin Sirotte, la o plimbare prin Palisadele din New Jersey. El i-a invitat să prezinte orice idee, apoi Milton, în vârstă de nouă ani, a sugerat „googol”. De unde a primit acest cuvânt nu se știe, dar Kasner a decis asta sau un număr în care există o sută de zerouri în spatele unității va fi denumit de acum înainte googol.

Dar tânărul Milton nu s-a oprit aici, a propus un număr și mai mare, un googolplex. Acesta este un număr, potrivit lui Milton, în care este 1 în primul rând, și apoi câte zerouri ai putea scrie înainte de a obosi. Deși această idee este fascinantă, Kasner a decis că este nevoie de o definiție mai formală. Așa cum a explicat în cartea sa din 1940 Matematica și imaginația, definiția lui Milton lasă deschisă posibilitatea riscantă ca bufonul casual să devină un matematician superior lui Albert Einstein pur și simplu pentru că are mai multă rezistență.

Așa că Kasner a decis că googolplexul va fi egal sau 1 și apoi googolul zerourilor. În caz contrar, și în notație similară cu cele cu care ne vom ocupa de alte numere, vom spune că un googolplex este. Pentru a arăta cât de fascinant este acest lucru, Carl Sagan a remarcat odată că este imposibil din punct de vedere fizic să noteze toate zerourile unui googolplex, deoarece pur și simplu nu există suficient spațiu în univers. Dacă umpleți întregul volum al Universului observabil cu particule fine de praf de aproximativ 1,5 microni, atunci numărul diferitelor moduri de aranjare a acestor particule va fi aproximativ egal cu un googolplex.

Din punct de vedere lingvistic, googol și googolplex sunt probabil cele două mari numere semnificative (cel puțin în engleză), dar, așa cum vom stabili acum, există infinit de multe moduri de a defini „semnificația”.

Lumea reala

Dacă vorbim despre cel mai mare număr semnificativ, există un argument rezonabil că acest lucru înseamnă într-adevăr că trebuie să găsim cel mai mare număr cu o valoare reală din lume. Putem începe cu populația umană actuală, care este în prezent de aproximativ 6.920 milioane. PIB-ul mondial în 2010 a fost estimat la aproximativ 61,96 miliarde de dolari, dar ambele cifre sunt nesemnificative în comparație cu aproximativ 100 de trilioane de celule care alcătuiesc corpul uman. Desigur, niciunul dintre aceste numere nu se poate compara cu numărul total de particule din Univers, care, de regulă, este considerat a fi aproximativ egal, iar acest număr este atât de mare încât limba noastră nu are un cuvânt corespunzător.

Ne putem juca puțin cu sistemele de măsuri, făcând numerele din ce în ce mai mari. Astfel, masa Soarelui în tone va fi mai mică decât în \u200b\u200bkilograme. O modalitate excelentă de a face acest lucru este utilizarea sistemului de unități Planck, care sunt cele mai mici unități posibile pentru care legile fizicii rămân valabile. De exemplu, epoca universului în timpul lui Planck este de aproximativ. Dacă ne întoarcem la prima unitate a timpului Planck după Big Bang, vom vedea care era densitatea universului atunci. Devenim din ce în ce mai mulți, dar nici măcar nu am ajuns la googol.

Cel mai mare număr cu orice aplicație din lumea reală - sau, în acest caz, o aplicație din lumea reală - este probabil una dintre cele mai recente estimări ale numărului de universuri din multivers. Acest număr este atât de mare încât creierul uman nu va fi literalmente capabil să perceapă toate aceste universuri diferite, deoarece creierul este capabil doar de configurații aproximative. De fapt, acest număr este probabil cel mai mare număr cu orice semnificație practică, cu excepția cazului în care luați în considerare ideea multiversului ca întreg. Cu toate acestea, există încă un număr mult mai mare care se ascunde acolo. Dar, pentru a le găsi, trebuie să ne aventurăm în domeniul matematicii pure și nu există un început mai bun decât numerele prime.

Primii Mersenne

O parte din dificultate este de a veni cu o bună definiție a ceea ce este un număr „semnificativ”. O modalitate este de a gândi în termeni de numere prime și compuse. Un număr prim, după cum probabil vă amintiți din matematica școlară, este orice număr natural (notă, nu egal cu unul), care este divizibil numai prin el însuși. Deci, și sunt numere prime, și și sunt numere compuse. Aceasta înseamnă că orice număr compus poate fi în cele din urmă reprezentat de divizorii săi primi. Într-un sens, un număr este mai important decât, să zicem, pentru că nu există nicio modalitate de a-l exprima în termeni de produs de numere mai mici.

Evident, putem merge puțin mai departe. de exemplu, este foarte simplu, ceea ce înseamnă că într-o lume ipotetică în care cunoașterea noastră despre numere este limitată la un număr, un matematician poate exprima încă un număr. Dar următorul număr este deja prim, ceea ce înseamnă că singurul mod de a-l exprima este să știi direct despre existența sa. Aceasta înseamnă că cele mai mari numere prime cunoscute joacă un rol important și, să zicem, googol - care este în cele din urmă doar o colecție de numere și, înmulțit între ele - de fapt nu. Și întrucât primele sunt în mare parte aleatorii, nu se cunoaște nicio modalitate de a prezice că un număr incredibil de mare va fi de fapt prim. Până în prezent, descoperirea de noi primii este dificilă.

Matematicienii greci antici aveau o noțiune de primi cel puțin încă din 500 î.Hr., iar 2000 de ani mai târziu, oamenii știau încă care numere erau prime doar până la aproximativ 750. Gânditorii din timpul lui Euclid au văzut posibilitatea simplificării, dar până la matematicienii Renașterii nu au putut Nu-l folosesc cu adevărat în practică. Aceste numere sunt cunoscute sub numele de Mersenne și poartă numele omului de știință francez din secolul al XVII-lea Marina Mersenne. Ideea este destul de simplă: numărul Mersenne este orice număr de acest fel. Deci, de exemplu, și acest număr este prim, același lucru este valabil și pentru.

Identificarea primelor Mersenne este mult mai rapidă și mai ușoară decât orice alt tip de prim, iar computerele au lucrat din greu pentru a le găsi în ultimele șase decenii. Până în 1952, cel mai mare număr prim cunoscut era un număr - un număr cu cifre. În același an, un computer a calculat că numărul este prim și acest număr este format din numere, ceea ce îl face mult mai mare decât un googol.

Computerele au fost la vânătoare de atunci, iar numărul I al lui Mersenne este în prezent cel mai mare număr prim cunoscut de omenire. Descoperit în 2008, este - un număr cu aproape un milion de cifre. Acesta este cel mai mare număr cunoscut care nu poate fi exprimat în termeni de numere mai mici și, dacă doriți să ajutați la găsirea unui număr Mersenne și mai mare, dvs. (și computerul dvs.) vă puteți alătura oricând căutării la http: //www.mersenne. org /.

Numărul skewes

Stanley Skewes

Să ne întoarcem la numere prime din nou. După cum am spus, se comportă fundamental greșit, ceea ce înseamnă că nu există nicio modalitate de a prezice care va fi următorul prim. Matematicienii au fost obligați să apeleze la unele măsurători destul de fantastice pentru a veni cu o modalitate de a prezice primele viitoare, chiar și într-un mod obscur. Cea mai reușită dintre aceste încercări este probabil funcția primară de numărare, inventată la sfârșitul secolului al XVIII-lea de legendarul matematician Karl Friedrich Gauss.

Vă voi salva matematica mai complicată - într-un fel sau altul, mai avem multe în față - dar esența funcției este aceasta: pentru orice număr întreg, puteți estima câte prime există, mai puțin. De exemplu, dacă, funcția prezice că ar trebui să existe numere prime, dacă - primele, mai puțin, și dacă, atunci există mai puține numere care sunt prime.

Aranjamentul primilor este într-adevăr neregulat și este doar o aproximare a numărului real de primi. De fapt, știm că există primi, mai puțini, primi mai puțini și primi. Aceasta este o notă excelentă, desigur, dar este întotdeauna doar o evaluare ... și, mai precis, o notă superioară.

În toate cazurile cunoscute anterior, funcția de numărare primă exagerează ușor numărul real de mai puțini numere prime. Matematicienii au crezut odată că va fi întotdeauna așa, ad infinitum, că acest lucru se aplică cu siguranță unor numere imens de imens, dar în 1914 John Edenzor Littlewood a dovedit că pentru un număr necunoscut, imens de imens, această funcție va începe să producă mai puține prime și apoi va comuta între limita superioară și cea inferioară de un număr infinit de ori.

Vânătoarea a fost la punctul de plecare al curselor și aici a apărut Stanley Skewes (vezi foto). În 1933, el a demonstrat că limita superioară atunci când o funcție care aproximează numărul de numere prime dă mai întâi o valoare mai mică este un număr. Este dificil să înțelegem cu adevărat, chiar și în cel mai abstract sens, ceea ce reprezintă de fapt acest număr și, din acel punct de vedere, a fost cel mai mare număr folosit vreodată în dovezi matematice serioase. De atunci, matematicienii au reușit să reducă limita superioară la un număr relativ mic, dar numărul original a rămas cunoscut sub numele de Skuse.

Deci, cât de mare este numărul care face chiar și puternicul pitic googolplex? În The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells descrie un mod în care matematicianul lui Hardy a reușit să înțeleagă dimensiunea numărului lui Skuse:

„Hardy a crezut că este„ cel mai mare număr care a îndeplinit vreodată un scop specific în matematică ”și a sugerat că, dacă jucăm șah cu toate particulele din univers ca piese, o singură mișcare ar fi să schimbăm două particule. când aceeași poziție ar fi repetată a treia oară, atunci numărul tuturor jocurilor posibile ar fi aproximativ egal cu numărul lui Skuse. "

Un ultim lucru înainte de a trece mai departe: am vorbit despre cel mai mic dintre cele două numere Skuse. Există un alt număr Skuse, pe care matematicianul l-a găsit în 1955. Primul număr se obține pe baza faptului că așa-numita ipoteză Riemann este adevărată - aceasta este o ipoteză deosebit de dificilă a matematicii, care rămâne nedovedită, foarte utilă atunci când vine vorba de numere prime. Cu toate acestea, dacă ipoteza Riemann este falsă, Skuse a constatat că punctul de pornire a saltului crește la.

Problema magnitudinii

Înainte de a ajunge la numărul pe care chiar și numărul lui Skuse pare mic, trebuie să vorbim puțin despre scară, pentru că altfel nu avem nicio modalitate de a evalua unde vom merge. Să luăm mai întâi un număr - este un număr mic, atât de mic încât oamenii pot avea de fapt o înțelegere intuitivă a ceea ce înseamnă. Există foarte puține numere care se potrivesc acestei descrieri, deoarece numerele mai mari de șase încetează să mai fie numere separate și devin „mai multe”, „multe” etc.

Acum să luăm, adică ... Deși într-adevăr nu putem intuitiv, așa cum a fost pentru un număr, este foarte ușor să înțelegem ce este, să ne imaginăm ce este. Până acum, bine. Dar ce se întâmplă dacă mergem la? Este egal cu sau. Suntem foarte departe de a ne putea imagina această valoare, ca oricare alta, foarte mare - pierdem capacitatea de a înțelege părți individuale undeva la un milion. (Adevărat, ar fi nevoie de o perioadă nebună de timp pentru a număra de fapt până la un milion din orice, dar ideea este că putem percepe totuși acel număr.)

Cu toate acestea, deși nu ne putem imagina, suntem cel puțin capabili să înțelegem în termeni generali ce este 7,6 miliarde, comparându-l poate cu ceva de genul PIB-ului SUA. Am trecut de la intuiție la reprezentare și la simpla înțelegere, dar cel puțin avem încă o lacună în înțelegerea a ceea ce este un număr. Aceasta este pe cale să se schimbe pe măsură ce ne deplasăm cu un pas pe scară.

Pentru a face acest lucru, trebuie să mergem la notația introdusă de Donald Knuth, cunoscută sub numele de notație săgeată. În aceste denumiri, poate fi scris ca. Atunci când mergem la, numărul pe care îl obținem este egal cu. Acest lucru este egal cu numărul total de trei. Acum am depășit semnificativ și cu adevărat toate celelalte numere despre care am vorbit deja. La urma urmei, chiar și cel mai mare dintre ei avea doar trei sau patru membri în rândul indicatorilor. De exemplu, chiar și supernumărul lui Skuse este „numai” - chiar dacă este ajustat pentru faptul că atât baza, cât și indicatorii sunt mult mai mari decât, nu este încă absolut nimic în comparație cu dimensiunea turnului numeric cu un miliard de membri.

Evident, nu există nicio modalitate de a înțelege astfel de numere uriașe ... și totuși, procesul prin care sunt create pot fi înțeles în continuare. Nu am putut înțelege numărul real care este dat de un turn de puteri în care există miliarde de trei, dar în principiu ne putem imagina un astfel de turn cu mulți membri, iar un supercomputer cu adevărat decent poate stoca astfel de turnuri în memorie, chiar dacă nu poate calculează valorile lor reale ...

Acest lucru devine din ce în ce mai abstract, dar se va înrăutăți. S-ar putea crede că un turn de puteri a cărui lungime a exponentului este egală (mai mult, în versiunea anterioară a acestui post am făcut exact această greșeală), dar este simplu. Cu alte cuvinte, imaginați-vă că aveți capacitatea de a calcula valoarea exactă a unui turn de putere de triplete, care constă din elemente, și apoi ați luat acea valoare și ați creat un nou turn cu tot atâtea în el ... pe care le oferă.

Repetați acest proces cu fiecare număr succesiv ( notă. începând dreapta) până când o faci o dată, și apoi o primești. Acesta este un număr pur și simplu incredibil de mare, dar cel puțin pașii pentru obținerea acestuia par a fi de înțeles dacă totul se face foarte încet. Nu mai putem înțelege numărul sau imagina procedura prin care este obținut, dar cel puțin putem înțelege algoritmul de bază, doar într-un timp destul de lung.

Acum, să pregătim mintea să o explodeze cu adevărat.

Numărul lui Graham (Graham)

Ronald Graham

Acesta este modul în care obțineți numărul Graham, care figurează în Cartea Recordurilor Mondiale Guinness ca fiind cel mai mare număr folosit vreodată în dovezi matematice. Este complet imposibil să ne imaginăm cât de mare este și la fel de dificil să explicăm exact ce este. Practic, numărul lui Graham apare atunci când avem de-a face cu hipercuburi, care sunt forme geometrice teoretice cu mai mult de trei dimensiuni. Matematicianul Ronald Graham (vezi foto) a vrut să afle la ce număr mai mic de dimensiuni anumite proprietăți ale hipercubului vor rămâne stabile. (Ne pare rău pentru o explicație atât de vagă, dar sunt sigur că trebuie să obținem cu toții cel puțin două grade la matematică pentru a o face mai precisă.)

În orice caz, numărul Graham este o limită superioară pentru acest număr minim de dimensiuni. Deci, cât de mare este această margine superioară? Să ne întoarcem la un număr atât de mare încât nu putem înțelege decât vag algoritmul pentru obținerea acestuia. Acum, în loc să sărim doar un alt nivel, vom număra numărul în care există săgeți între primele și ultimele trei. Acum suntem cu mult dincolo de nici cea mai mică înțelegere a ceea ce este acest număr sau chiar a ceea ce trebuie făcut pentru a-l calcula.

Acum repetăm \u200b\u200bacest proces o dată ( notă. la fiecare pas următor, scriem numărul de săgeți egal cu numărul obținut în pasul anterior).

Acesta, doamnelor și domnilor, este numărul Graham, care este cu un ordin de mărime mai mare decât punctul de înțelegere umană. Acest număr, care este mult mai mare decât orice număr pe care ți-l poți imagina - este mult mai mult decât orice infinit pe care ai putea spera să-l imaginezi - sfidează chiar și descrierea cea mai abstractă.

Dar iată ce e ciudat. Întrucât numărul lui Graham este practic doar tripluri înmulțite între ele, știm unele dintre proprietățile sale fără a le calcula efectiv. Nu putem reprezenta numărul lui Graham cu nicio notare pe care o cunoaștem, chiar dacă am folosit întregul univers pentru a-l nota, dar vă pot spune ultimele douăsprezece cifre ale numărului lui Graham chiar acum :. Și asta nu este tot: știm cel puțin ultimele cifre ale numărului lui Graham.

Desigur, merită să ne amintim că acest număr este doar limita superioară în problema originală Graham. Este posibil ca numărul real de măsurători necesare pentru realizarea proprietății dorite să fie mult, mult mai mic. De fapt, începând cu anii 1980, se credea, potrivit majorității experților în acest domeniu, că, de fapt, numărul dimensiunilor este de doar șase - un număr atât de mic încât îl putem înțelege intuitiv. De atunci, limita inferioară a fost mărită la, dar există încă șanse foarte mari ca soluția la problema lui Graham să nu se afle lângă un număr la fel de mare ca numărul lui Graham.

Catre infinit

Deci, există numere mai mari decât numărul lui Graham? Există, desigur, numărul Graham pentru începători. În ceea ce privește numărul semnificativ ... ei bine, există unele domenii diabolic dificile ale matematicii (în special, zona cunoscută sub numele de combinatorică) și informatică, în care apar numere chiar mai mari decât numărul lui Graham. Dar am ajuns aproape la limita a ceea ce pot spera să fie explicat vreodată în mod rezonabil. Pentru cei suficient de nesăbuiți pentru a merge chiar mai departe, lectură suplimentară este oferită pe propria răspundere.

Ei bine, acum un citat uimitor atribuit lui Douglas Ray ( notă. să fiu sincer, sună destul de amuzant):

„Văd grupuri de numere vagi care se ascund acolo, în întuneric, în spatele unei mici pete de lumină pe care o dă lumânarea minții. Se șoptesc reciproc; conspirând cine știe ce. Poate că nu prea le place să capturăm frații lor cu mintea. Sau, poate, pur și simplu conduc un mod de viață numeric neechivoc, acolo, dincolo de înțelegerea noastră ".