Biografie

Traducere latină Aritmetic (1621)

Nu se știe aproape nimic despre detaliile vieții sale. Pe de o parte, Diophantus citează Hypsicles (sec. II î.Hr.); pe de altă parte, Theon din Alexandria (aproximativ 350 d.Hr.) scrie despre Diofant, din care putem concluziona că viața sa s-a desfășurat în limitele acestei perioade. O posibilă clarificare a duratei de viață a lui Diophantus se bazează pe faptul că el Aritmetic dedicat „cel mai venerabil Dionisie”. Se crede că acest Dionisie este nimeni altul decât Episcopul Dionisie al Alexandriei, care a trăit la mijlocul secolului al III-lea. n. e.

Aritmetic Diophanta

Opera principală a lui Diophantus - Aritmeticîn 13 cărți. Din păcate, doar primele 6 cărți din 13 au supraviețuit.

Prima carte este precedată de o introducere extinsă, care descrie notația folosită de Diophantus. Diophantus numește necunoscutul „număr” ( ἀριθμός ) și este notat cu litera ς , pătrat necunoscut - simbol (prescurtare de la δύναμις - „grad”). Semnele speciale sunt prevăzute pentru următoarele grade ale necunoscutului, până la al șaselea, numite cub-cub, și pentru gradele opuse acestora. Diophantus nu are un semn de adunare: el scrie pur și simplu termeni pozitivi unul lângă altul, iar în fiecare termen se scrie mai întâi gradul necunoscutului, apoi coeficientul numeric. Termenii scăzuți se scriu și ei unul lângă altul, iar în fața întregului lor grup este plasat un semn special sub forma unei litere inversate Ψ. Semnul egal este reprezentat de două litere ἴσ (scurt pentru ἴσος - "egal"). Au fost formulate o regulă pentru a aduce termeni similari și o regulă pentru a adăuga sau scădea același număr sau expresie de ambele părți ale unei ecuații: ceea ce mai târziu al-Khorezmi a început să numească „algebră și almukabala”. A fost introdusă o regulă semnului: minus ori minus dă plus; Această regulă este folosită la înmulțirea a două expresii cu termeni scăzuți. Toate acestea sunt formulate în termeni generali, fără referire la interpretări geometrice.

Cea mai mare parte a lucrării este o colecție de probleme cu soluții (există un total de 189 în cele șase cărți supraviețuitoare), selectate cu pricepere pentru a ilustra metode generale. Problemele principale Aritmetic- găsirea de soluții raționale pozitive la ecuații incerte. Numerele raționale sunt tratate de Diophantus în același mod ca numerele naturale, ceea ce nu este tipic pentru matematicienii antici.

Mai întâi, Diophantus examinează sisteme de ecuații de ordinul 2 în 2 necunoscute; specifică o metodă de găsire a altor soluții dacă una este deja cunoscută. Apoi el aplică metode similare ecuațiilor de grade superioare.

În secolul al X-lea Aritmetic a fost tradusă în arabă, după care matematicienii din țările islamice (Abu Kamil și alții) au continuat unele dintre cercetările lui Diophantus. În Europa, interesul pentru Aritmetic a crescut după ce Raphael Bombelli a descoperit această lucrare în Biblioteca Vaticanului și a publicat 143 de probleme din ea în a lui Algebră(). În 1621, a apărut o traducere latină clasică, bine comentată Aritmetic, executat de Bachet de Meziriac. Metodele lui Diophantus i-au influențat foarte mult pe François Viète și Pierre Fermat; cu toate acestea, în timpurile moderne, ecuațiile nedefinite sunt de obicei rezolvate în numere întregi, și nu în numere raționale, așa cum a făcut Diophantus.

În secolul al XX-lea, sub numele de Diophantus, a fost descoperit textul arab al altor 4 cărți. Aritmetic. I. G. Bashmakova și E. I. Slavutin, după ce au analizat acest text, au formulat ipoteza că autorul lor nu ar fi fost Diophantus, ci un comentator bine versat în metodele lui Diophantus, cel mai probabil Hypatia.

Alte lucrări ale lui Diofantus

Tratatul lui Diofantus Despre numerele poligonale (Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν ) neconservat complet; în partea păstrată, un număr de teoreme auxiliare sunt derivate folosind metode de algebră geometrică.

Din operele lui Diofantus Despre măsurarea suprafețelor (ἐπιπεδομετρικά ) Și Despre înmulțire (Περὶ πολλαπλασιασμοῦ ) de asemenea, au supraviețuit doar fragmente.

Cartea lui Diophantus Porisme cunoscute doar din câteva teoreme folosite în Aritmetic.

Literatură

Categorii:

Matematicieni greci antici
Matematicienii Romei Antice
Personalități în ordine alfabetică
Matematicieni după alfabet
matematicienii secolului al III-lea
Matematicieni în teoria numerelor

Fundația Wikimedia. 2010.

Vedeți ce este „Diophantus din Alexandria” în alte dicționare:

- (c. al III-lea) matematician grec antic. În lucrarea principală Aritmetica (6 cărți din 13 au supraviețuit) el a dat soluții la problemele care duceau la așa-zisa. Ecuații diofantine și pentru prima dată au introdus simboluri cu litere în algebră... Dicţionar enciclopedic mare

- (circa secolul al III-lea), matematician grec antic. În lucrarea sa principală „Aritmetică” (6 cărți din 13 au supraviețuit), el a dat soluții la problemele care duceau la așa-numitele ecuații diofantine și a introdus pentru prima dată simbolurile cu litere în algebră. * * * DIOFANT... ... Dicţionar enciclopedic

- (probabil cca. 250 d.Hr., deși este posibilă o dată mai devreme), matematician grec antic care a lucrat la Alexandria, autor al tratatului Aritmetică în 13 cărți (ajuns la 6), consacrat în principal studiului ecuațiilor nedefinite (așa-numitele ...... Enciclopedia lui Collier

Diophantus: Diophantus (comandant) (secolul al II-lea î.Hr.). Diophantus din Alexandria (secolul al III-lea d.Hr.) matematician antic grec ... Wikipedia

Diophantus- Alexandrian (greacă: Diophantos), ca. 250, altul grecesc matematician. În principal Lucrarea „Aritmetică” (care a supraviețuit mult timp) a folosit metodele de calcul ale egiptenilor și babilonienilor. Am cercetat definiția. și nedeterminare, probleme (în special liniare și... ... Dicţionar de Antichitate

- (n. 325 d. 409 d.Hr.) celebru matematician alexandrin. Aproape că nu există informații despre viața lui; nici măcar datele nașterii și morții sale nu sunt pe deplin de încredere. D. a trăit 84 de ani, după cum se vede din epitaf, compus astfel... ... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron

Diophantus- DIOPANT din Alexandria (c. secolul al III-lea), alt grec. matematician. În principal tr. Aritmetica (6 cărți din 13 s-au păstrat) a dat soluții la problemele care duceau la așa-zisa. Ecuații diofantine și pentru prima dată au introdus simboluri cu litere în algebră... Dicţionar biografic

Diofantul Alexandriei(greaca veche; lat. Diophantus) - matematician grec antic care probabil a trăit în secolul al III-lea d.Hr. e. Deseori denumit „părintele algebrei”. Autor al cărții „Aritmetică” – o carte dedicată găsirii de soluții raționale pozitive la ecuații nedeterminate. În zilele noastre, „ecuații diofantine” înseamnă de obicei ecuații cu coeficienți întregi, ale căror soluții trebuie găsite între numere întregi.

Diophantus a fost primul matematician grec care a tratat fracțiile, precum și alte numere. Diophantus a fost, de asemenea, primul dintre oamenii de știință antici care a propus un simbolism matematic dezvoltat, care a făcut posibilă formularea rezultatelor sale într-o formă destul de compactă.

Un crater de pe partea vizibilă a Lunii poartă numele lui Diophantus.

Biografie

Nu se știe aproape nimic despre detaliile vieții sale. Pe de o parte, Diophantus citează Hypsicles (sec. II î.Hr.); pe de altă parte, Theon din Alexandria (aproximativ 350 d.Hr.) scrie despre Diofant, din care putem concluziona că viața sa s-a desfășurat în limitele acestei perioade. O posibilă clarificare a timpului vieții lui Diophantus se bazează pe faptul că Aritmetica sa este dedicată „cel mai venerabil Dionisie”. Se crede că acest Dionisie este nimeni altul decât Episcopul Dionisie al Alexandriei, care a trăit la mijlocul secolului al III-lea. n. e.

Antologia Palatină conține o sarcină-epigramă:

Cenușa lui Diofant se odihnește în mormânt; Minunați-vă de ea - și piatra va vorbi cu arta sa înțeleaptă a epocii decedate. Prin voia zeilor, el a trăit o șaseme din viața sa în copilărie. Și m-am întâlnit cu cinci și jumătate cu puf pe obraji. Abia trecută de a șaptea zi, s-a logodit cu iubita lui. După ce a petrecut cinci ani cu ea, înțeleptul a avut un fiu; Fiul iubit al tatălui său a trăit doar jumătate din viață. A fost luat de la tatăl său de mormântul său timpuriu. De două ori timp de doi ani, părintele a plâns o durere gravă și apoi a văzut limita vieții sale triste. (Traducere de S. P. Bobrov)

Este echivalent cu rezolvarea următoarei ecuații:

Această ecuație dă x = 84 (\displaystyle x=84) , adică vârsta lui Diophantus este egală cu 84 de ani. Cu toate acestea, acuratețea informațiilor nu poate fi confirmată.

Aritmetica lui Diophantus

Lucrarea principală a lui Diophantus este Aritmetica în 13 cărți. Din păcate, doar primele 6 cărți din 13 au supraviețuit.

Prima carte este precedată de o introducere extinsă, care descrie notația folosită de Diophantus. Diophantus numește necunoscutul „număr” () și îl denotă cu o literă, pătratul necunoscutului cu un simbol (prescurtare de la „grad”) și cubul necunoscutului cu un simbol (prescurtare de la „cub”). Semnele speciale sunt prevăzute pentru următoarele grade ale necunoscutului, până la al șaselea, numite cub-cub, iar pentru gradele lor opuse, până la minus al șaselea.

Diophantus nu are un semn de adunare: el scrie pur și simplu termeni pozitivi unul lângă altul, în ordinea descrescătoare a gradului, iar în fiecare termen se scrie mai întâi gradul necunoscutului, apoi coeficientul numeric. Termenii scăzuți sunt, de asemenea, scrisi unul lângă altul, iar în fața întregului lor grup este plasat un semn special sub forma unei litere inversate. Semnul egal este notat cu două litere (prescurtarea de la „egal”).

Au fost formulate o regulă pentru a aduce termeni similari și o regulă pentru a adăuga sau scădea același număr sau expresie de ambele părți ale unei ecuații: ceea ce mai târziu al-Khorezmi a început să numească „algebră și almukabala”. A fost introdusă regula semnelor: „minus cu plus dă minus”, „minus cu minus dă plus”; Această regulă este folosită la înmulțirea a două expresii cu termeni scăzuți. Toate acestea sunt formulate în termeni generali, fără referire la interpretări geometrice.

Cea mai mare parte a lucrării este o colecție de probleme cu soluții (există un total de 189 în cele șase cărți supraviețuitoare), selectate cu pricepere pentru a ilustra metode generale. Problema principală a aritmeticii este găsirea de soluții raționale pozitive la ecuații nedeterminate. Numerele raționale sunt interpretate de Diophantus în același mod ca numerele naturale, ceea ce nu este tipic pentru matematicienii antici.

Introducere

Se poate observa că pe o perioadă de peste o mie și jumătate de ani, știința matematică din Grecia a avut realizări semnificative.

În istoria matematicii, perioada de existență a școlii alexandrine pe care am considerat-o se numește „Prima școală alexandrină”. De la începutul erei noastre, pe baza lucrărilor matematicienilor alexandrini, a început dezvoltarea rapidă a filozofiei idealiste: ideile lui Platon și Pitagora au fost reînviate, iar această filozofie a neoplatoniștilor și neo-pitagoreenilor a redus rapid semnificația științifică a lucrări ale unor noi reprezentanţi ai gândirii matematice. Dar gândirea matematică nu se stinge, ci apare din când în când în lucrările unor matematicieni individuali, precum Diophantus.

Dezvoltarea algebrei a fost împiedicată de faptul că notația simbolică nu intrase încă în utilizare suficientă, un indiciu pe care îl întâlnim pentru prima dată în lucrările lui Diophantus, care a folosit doar simboluri individuale și abrevieri de notație.

Scopul lucrării este de a explora aritmetica lui Diophantus.

Biografia lui Diophantus

Perioada de timp în care ar fi putut trăi Diophantus este de jumătate de mileniu! Limita inferioară a acestui interval este determinată fără dificultate: în cartea sa despre numerele poligonale, Diofant îl menționează în repetate rânduri pe matematicianul Hypsicles din Alexandria, care a trăit la mijlocul secolului al II-lea î.Hr. Pe de altă parte, în comentariile lui Theon din Alexandria către „Almagestul” celebrului astronom Ptolemeu, este plasat un fragment din opera lui Diofantus. Theon a trăit la mijlocul secolului al IV-lea d.Hr. Aceasta determină limita superioară a acestui interval. Deci, 500 de ani!

Istoricul francez al științei Paul Tannery, editorul celui mai complet text al lui Diophantus, a încercat să reducă acest decalaj. În biblioteca Escurial a găsit fragmente dintr-o scrisoare a lui Michael Psellos, un om de știință bizantin din secolul al XI-lea, în care se afirmă că „cel mai învățat Anatolius, după ce a adunat cele mai esențiale părți ale acestei științe (vorbim despre introducerea grade de necunoscutul și desemnările lor), le-a dedicat prietenului său Diophantus”. Anatoly of Alexandria a compilat de fapt o „Introducere în aritmetică”, fragmente din care sunt citate în lucrările existente ale lui Iamblichus și Eusebiu. Dar Anatoly a trăit în Alexandria la mijlocul secolului al III-lea d.Hr. și chiar mai precis – până în anul 270, când a devenit episcop al Laodaciei. Aceasta înseamnă că prietenia lui cu Diophantus, pe care toată lumea îl numește Alexandria, trebuie să fi avut loc înainte de aceasta. Deci, dacă faimosul matematician alexandrin și prietenul lui Anatoly, pe nume Diophantus, sunt o singură persoană, atunci timpul vieții lui Diophantus este mijlocul secolului al III-lea d.Hr.

„Aritmetica” în sine a lui Diofant este dedicată „venerabilului Dionisie”, care, după cum se poate vedea din textul „Introducerii”, era interesat de aritmetică și de învățătura ei. Deși numele Dionysius era destul de comun la acea vreme, Tannery a sugerat că „venerabilul” Dionysius ar trebui căutat printre oamenii celebri ai epocii care dețineau poziții proeminente. Și așa s-a dovedit că în 247, un anume Dionisie a devenit episcopul Alexandriei, care conducea gimnaziul creștin al orașului din 231! Prin urmare, Tannery l-a identificat pe acest Dionysius cu cel căruia Diophantus i-a dedicat opera și a ajuns la concluzia că Diophantus a trăit la mijlocul secolului al III-lea d.Hr. Putem, în lipsa de ceva mai bun, să acceptăm această dată.

Dar locul de reședință al lui Diophantus este binecunoscut - aceasta este celebra Alexandria, centrul gândirii științifice a lumii elenistice.

După prăbușirea imensului imperiu al lui Alexandru cel Mare, Egiptul la sfârșitul secolului al IV-lea î.Hr. a mers la comandantul său Ptolemeu Lagus, care a mutat capitala într-un oraș nou - Alexandria. Curând, acest oraș comercial multilingv a devenit unul dintre cele mai frumoase orașe din antichitate. Roma a depășit-o mai târziu ca mărime, dar multă vreme nu a avut egal. Și acest oraș a devenit centrul științific și cultural al lumii antice timp de multe secole. Acest lucru s-a datorat faptului că Ptolemeu Lagus a fondat Muzeul, templul Muzelor, ceva asemănător cu prima Academie de Științe, unde au fost invitați cei mai importanți oameni de știință și li s-a atribuit conținut, astfel încât activitatea lor principală a fost reflecția și conversațiile. cu elevii. La Muzeu a fost construită o renumită bibliotecă, care în cele mai bune zile conținea peste 700.000 de manuscrise. Nu este surprinzător faptul că oameni de știință și tineri înfometați de cunoștințe din întreaga lume s-au adunat în Alexandria pentru a asculta filozofi celebri, pentru a învăța astronomie și matematică și pentru a avea ocazia să se aprofundeze în studiul manuscriselor unice în sălile răcoroase ale bibliotecii. .

Muzeul a supraviețuit dinastiei Ptolemaice. În primele secole î.Hr. a căzut în declin temporar asociat cu declinul general al casei lui Ptolemeu în legătură cu cuceririle romane (Alexandria a fost în cele din urmă cucerită în anul 31 î.Hr.), dar apoi în primele secole d.Hr. a fost reînviat, sprijinit de împărații romani. Alexandria a continuat să fie centrul științific al lumii. Roma nu a fost niciodată rivala ei în acest sens: știința romană (ne referim la științe naturale) pur și simplu nu a existat, iar romanii au rămas fideli preceptelor lui Vergiliu, care a scris:

Mai fin, alții vor forja bronzul care respira viața, -

Cred că vor crea fețe vii din marmură,

Mișcările cerului vor fi mai elocvente în curți

Cu bastonul lor vor desena și vor calcula stelele răsare,

Tu, Roman, știi să conduci națiunile.

Iar dacă în secolele III-II î.Hr. Muzeul a strălucit cu numele de Euclid, Apollonius, Eratosthenes, Hiparh, apoi în secolele I-III d.Hr. Aici au lucrat oameni de știință precum Heron, Ptolemeu și Diophantus.

Pentru a epuiza tot ce se știe despre personalitatea lui Diophantus, vă prezentăm o poezie de ghicitori care a ajuns până la noi:

Cenușa lui Diofant se odihnește în mormânt; minunați-vă de ea – și de piatră

Vârsta defunctului va vorbi prin înțeleapta sa artă.

Prin voia zeilor, el a trăit o șaseme din viața sa în copilărie.

Și m-am întâlnit cu cinci și jumătate cu puf pe obraji.

Era abia a șaptea zi când s-a logodit cu iubita lui.

După ce a petrecut cinci ani cu ea, înțeleptul și-a așteptat fiul;

Fiul iubit al tatălui său a trăit doar jumătate din viață.

A fost luat de la tatăl său de mormântul său timpuriu.

De două ori în doi ani, părintele a plâns o durere grea,

Aici am văzut limita vieții mele triste.

De aici este ușor de calculat că Diophantus a trăit 84 de ani. Cu toate acestea, pentru aceasta nu este nevoie să stăpâniți arta lui Diophantus! Este suficient să poți rezolva o ecuație de gradul 1 cu o necunoscută, iar scribii egipteni au reușit să facă asta cu 2 mii de ani î.Hr.

Instituție de învățământ municipală

„Liceul nr. 10” Perm

Diophantus. Ecuații diofantine

Am făcut treaba

Ilyina Yana,

elev de clasa a XI-a

Supraveghetor

Zolotukhina L.V.

profesor de matematică

Perm, 2010

Introducere…………………………………………………………………………………………….3

1. Diofantul……………………………………………………………………………………………..…4

2. Numere și simboluri…………………………………………………………………6

3. Ecuația diofantină……………………………………………………..…8

4. Soluții…………………………………………………………..12

Concluzie……………………………………………………………………………………………15

Referințe………………………………………………………16

Introducere

Școlarii de astăzi rezolvă diverse ecuații. În partea C a sarcinilor de examinare unificată de stat există o ecuație interesantă numită ecuația diofantină. În lucrările sale, Diophantus nu numai că a pus problema rezolvării ecuațiilor nedefinite în numere raționale, dar a oferit și câteva metode generale de rezolvare a acestora. Aceste metode vor fi foarte utile pentru elevii de astăzi de clasa a XI-a care urmează să susțină examenul de matematică.

Diophantus a adus aceeași contribuție enormă la dezvoltarea matematicii ca și Arhimede. Așa a făcut Arhimede, de exemplu: la determinarea ariilor unei elipse, a unui segment de parabolă, a suprafeței unei sfere, a volumelor unei sfere și a altor corpuri, a folosit metoda sumelor integrale și metoda trecerii. la limită, dar nicăieri nu a dat o descriere generală abstractă a acestor metode. Oamenii de știință din secolele al XVI-lea și al XVII-lea au trebuit să studieze cu atenție și să-și rearanjeze lucrările într-un mod nou pentru a izola metodele lui Arhimede de acolo. Situația este similară cu Diofantul. Metodele sale au fost înțelese și aplicate la probleme noi de către Viethe și Fermat, adică. în acelaşi timp când a fost rezolvat Arhimede.

1. Diofantul

Diofantul prezintă unul dintre cele mai dificile mistere din istoria științei. Nu știm vremea în care a trăit și nici predecesorii săi care ar fi lucrat în același domeniu. Lucrările lui sunt ca un foc sclipitor în mijlocul unui întuneric complet impenetrabil. Perioada de timp în care ar fi putut trăi Diophantus este de jumătate de mileniu! Limita inferioară a acestui interval este determinată fără dificultate: în cartea sa despre numerele poligonale, Diofant îl menționează în repetate rânduri pe matematicianul Hypsicles din Alexandria, care a trăit la mijlocul secolului al II-lea î.Hr. e. Pe de altă parte, în comentariile lui Theon din Alexandria către „Almagestul” celebrului astronom Ptolemeu, este plasat un fragment din opera lui Diofantus. Theon a trăit la mijlocul secolului al IV-lea d.Hr. e. Aceasta determină limita superioară a acestui interval. Deci, 500 de ani!

Dar locul de reședință al lui Diophantus este binecunoscut - aceasta este celebra Alexandria, centrul gândirii științifice a lumii elenistice.

Pentru a epuiza tot ce se știe despre personalitatea lui Diophantus, vă prezentăm o poezie de ghicitori care a ajuns până la noi:

Cenușa lui Diofant se odihnește în mormânt; minunați-vă de ea – și de piatră
Vârsta defunctului va vorbi prin înțeleapta sa artă.
Prin voia zeilor, el a trăit o șaseme din viața sa în copilărie.
Și m-am întâlnit cu cinci și jumătate cu puf pe obraji.
Era abia a șaptea zi când s-a logodit cu iubita lui.
După ce a petrecut cinci ani cu ea, înțeleptul și-a așteptat fiul;
Fiul iubit al tatălui său a trăit doar jumătate din viață.
A fost luat de la tatăl său de mormântul său timpuriu.
De două ori în doi ani, părintele a plâns o durere grea,
Aici am văzut limita vieții mele triste.

Dar cea mai misterioasă este opera lui Diophantus. Au ajuns la noi șase cărți din 13, care au fost combinate în „Aritmetică”. Stilul și conținutul acestor cărți diferă puternic de lucrările antice clasice despre teoria numerelor și algebră, exemple despre care știm din Elementele lui Euclid, datele sale și lemele din lucrările lui Arhimede și Apollonius. „Aritmetica” a fost, fără îndoială, rezultatul a numeroase studii care ne-au rămas complet necunoscute. Putem doar ghici despre rădăcinile sale și să ne minunăm de bogăția și frumusețea metodelor și rezultatelor sale.

„Aritmetica” de Diophantus este o colecție de probleme (sunt 189 în total), fiecare dintre ele echipată cu o soluție (sau mai multe metode de rezolvare) și explicațiile necesare. Prin urmare, la prima vedere pare că nu este o lucrare teoretică. Cu toate acestea, o lectură atentă arată că problemele sunt atent selectate și servesc la ilustrarea unor metode foarte specifice, strict gândite. După cum era obișnuit în antichitate, metodele nu sunt formulate într-o formă generală, ci sunt repetate pentru a rezolva probleme similare.

2. Numere și simboluri

Diophantus începe cu definiții de bază și o descriere a simbolurilor literelor pe care le va folosi.

În matematica greacă clasică, care și-a găsit completarea în Elementele lui Euclid, sub numărul άριJμός - „ aritmii" sau " aritmetica"; de unde denumirea de „aritmetică” pentru știința numerelor) a fost înțeles ca un set de unități, adică. întreg. Nici fracțiile, nici iraționalitatea nu au fost numite numere. Strict vorbind, nu există fracții în Principia. Unitatea este considerată indivizibilă și în loc de fracții dintr-o unitate, sunt luate în considerare rapoartele întregilor; iraționalitățile apar ca rapoarte ale segmentelor incomensurabile, de exemplu, numărul pe care îl notăm acum √2 era pentru grecii clasici raportul dintre diagonala unui pătrat și latura lui. Nu s-a vorbit despre numere negative. Nici măcar nu existau echivalente pentru ei. Găsim o imagine complet diferită în Diophantus.

Diophantus dă definiția tradițională a numărului ca un set de unități, dar mai târziu își caută problemele rațional pozitiv soluții și numește fiecare astfel de soluție un număr (άριJμός - „ aritmii »).

Dar chestiunea nu se oprește aici. Diophantus introduce numere negative: le numește termenul special λει̃ψις - „ lepsis" - derivat din verbul λει̃πω - " leipo”, care înseamnă a lipsi, a lipsi, astfel încât termenul în sine să poată fi tradus prin cuvântul „lipsă”. Apropo, asta face celebrul istoric rus al științei I. Timchenko. Diophantus numește un număr pozitiv cuvântul ΰπαρξις - „ iparxis”, care înseamnă existență, ființă, iar la plural acest cuvânt poate însemna proprietate sau proprietate. Astfel, terminologia lui Diophantus pentru numerele relative este apropiată de cea folosită în Evul Mediu în Orient și Europa. Cel mai probabil, a fost pur și simplu o traducere din greacă în arabă, sanscrită, latină și apoi în diferite limbi ale Europei.

Rețineți că termenul λει̃ψις este „ lepsis" - nu poate fi tradus ca „scădere”, așa cum fac mulți traducători ai lui Diofant, deoarece pentru operația de scădere Diofantul folosește termeni complet diferiți, și anume άφελει̃ν - " afelein"sau άφαιρει̃ν - " afirerain", care sunt derivate din verbul άφαιρεω - " afireo"- la pachet. Atunci când transformă ecuațiile, Diophantus însuși folosește adesea expresia standard „adăugați λει̃ψις la ambele părți”.

Ne-am oprit atât de detaliat asupra analizei filologice a textului lui Diofant pentru a convinge cititorul că nu ne vom abate de la adevăr dacă traducem termenii lui Diofant ca „pozitiv” și „negativ”.

Diophantus formulează regula semnelor pentru numerele relative:

„un negativ înmulțit cu un negativ dă un pozitiv, în timp ce un negativ înmulțit cu un pozitiv dă un negativ, iar semnul distinctiv pentru un negativ este o (litera) ψ inversată și scurtată.”

„După ce v-am explicat înmulțirea, devine clară și împărțirea termenilor propuși; Acum va fi bine să începeți să exersați adunarea, scăderea și înmulțirea unor astfel de termeni. Adăugați termeni pozitivi și negativi cu coeficienți diferiți la alți termeni care sunt fie pozitivi, fie la fel de pozitivi și negativi, iar din termeni pozitivi și alți termeni negativi scădeți alți termeni pozitivi și la fel de pozitivi și negativi.”

Rețineți că, deși Diophantus caută doar soluții pozitive raționale, în calculele intermediare folosește de bunăvoie numere negative.

Putem observa astfel că Diophantus a extins câmpul numeric într-un câmp de numere raționale în care toate cele patru operații ale aritmeticii pot fi efectuate fără piedici.

3. Ecuația diofantină

Definiție - ecuații algebrice sau sisteme de ecuații algebrice cu coeficienți întregi, având un număr de necunoscute care depășește numărul de ecuații, și pentru care se caută soluții întregi sau raționale.

topor + de = 1

Unde AȘi b- numere întregi coprime

Numerele coprime mai multe numere întregi astfel încât divizorii comuni pentru toate aceste numere să fie doar + 1 și - 1. Cel mai mic multiplu al unei perechi de numere prime este egal cu produsul lor.

are infinite de solutii:

Dacă x0Și y0- o soluție, apoi numerele

X = x0 + bn

la = y0 -un

(n- orice număr întreg) vor fi, de asemenea, soluții.

Un alt exemplu de D. u.

x2 + y2 = z2

Soluțiile întregi pozitive ale acestei ecuații reprezintă lungimile catetelor X , la si ipotenuza z Triunghiurile dreptunghiulare cu lungimea laturii întregi se numesc numere pitagorice.

triple ale numerelor naturale astfel încât un triunghi ale cărui lungimi ale laturilor sunt proporționale (sau egale) cu aceste numere să fie dreptunghiular.

Toate tripletele numerelor pitagorice coprime pot fi obținute folosind formulele

X = m2 - n2

la = 2mn

z = m2 + n2

Unde mȘi n- numere întregi ( m > n > 0).

Această ecuație se definește în plan R 2 algebric curbaΓ. Vom numi soluția rațională (2) punct rațional curba Γ. În cele ce urmează, vom recurge adesea la limbajul geometriei, deși Diophantus însuși nu îl folosește nicăieri. Cu toate acestea, limbajul geometric a devenit acum o parte integrantă a gândirii matematice, încât multe fapte vor fi mai ușor de înțeles și explicat cu ajutorul lui.

În primul rând, este necesar să se dea o oarecare clasificare a ecuațiilor (2) sau, ceea ce este același, a curbelor algebrice. Cel mai natural și mai timpuriu care a apărut este clasificarea lor în ordine.

Să vă reamintim că în ordine curba (2) este ordinul maxim al termenilor polinomului f (X , y), unde ordinea unui termen este înțeleasă ca suma puterilor la XȘi y. Sensul geometric al acestui concept este că o linie dreaptă intersectează o curbă de ordine n exact la n puncte. Când se numără punctele, trebuie, desigur, să se țină cont de multiplicitatea punctelor de intersecție, precum și de punctele complexe și „la infinit de distanță”. Deci, de exemplu, un cerc X 2 + y 2 = 1 și drept X + y= 2 se intersectează în două puncte complexe și hiperbola X 2 – y 2 = 1 și drept y =X- în două puncte la infinit, aceeași hiperbolă cu linie dreaptă X=1 are un punct comun de multiplicitate 2.

Cu toate acestea, pentru scopuri analiză diofantină(acest nume a fost dat domeniului matematicii care a apărut din problemele de rezolvare a ecuațiilor nedeterminate; totuși, acum este mai des numită geometrie diofantină) clasificarea după ordine s-a dovedit a fi prea aspră.

Orez. 1.

Să explicăm acest lucru cu un exemplu. Să fie dat un cerc C : X 2 + y 2 = 1 și orice linie dreaptă cu coeficienți raționali, de exemplu, L : y=0. Să arătăm că punctele raționale ale acestui cerc și ale dreptei pot fi puse într-o corespondență unu-la-unu. Acest lucru se poate face, de exemplu, astfel: fixați punctul A(0,–1) cercuri și atribuiți fiecărui punct rațional B Drept L punct B" cerc C, situată la intersecție C si drept AB(Fig. 1). Că coordonatele punctului B" va fi rațional, îl vom lăsa pe cititor să demonstreze singur sau să citească o dovadă similară din Diofant (va fi prezentată în paragraful următor). Evident, aceeași corespondență poate fi stabilită între punctele raționale ale oricărei secțiuni conice, dacă pe ea se află cel puțin un punct rațional, și o dreaptă rațională. Vedem că din punctul de vedere al analizei diofantine cercul C si drept L nu se pot distinge: seturile lor de soluții raționale sunt echivalente. Și asta în ciuda faptului că ordinele ambelor curbe sunt diferite.

Mai subtilă este clasificarea curbelor algebrice după gen, care a fost introdusă abia în secolul al XIX-lea de către Abel și Riemann. Această clasificare ia în considerare numărul de puncte singulare ale curbei Γ.

Presupunem că în ecuația (2) a curbei Γ polinomul f (X , y) este ireductibilă asupra câmpului numerelor raționale, adică. nu se extinde într-un produs de polinoame cu coeficienți raționali. După cum se știe, ecuația tangentei la curba Γ în punctul P (X 0 , y 0) va

y – y 0 = k (X – X 0),

k = –

fx" (X 0 , y 0)

fy" (X 0 , y 0)

Dacă la punct P derivat fx" sau fy" este diferit de zero, apoi panta k tangenta are un sens foarte definit (daca fy" (X 0 , y 0) = 0, a fx" (X 0 , y 0) ≠ 0, atunci k=∞ și tangentă la P va fi verticală).

Dacă la punct P ambele derivate parțiale dispar,

fx" (X 0 , y 0) = 0 și fy" (X 0 , y 0) = 0,

apoi punct P numit special .

De exemplu, la curbă y 2 = X 2 + X 3 punct (0, 0) va fi special, deoarece în el fx" = –2X – 3X 2 și fy" = 2y mergi la zero.

Orez. 2.

Cele mai simple puncte singulare sunt cele duble, la care cel puțin una dintre derivate f xx "" , f xy ""Și f yy "" este diferit de zero. În fig. Figura 2 prezintă un punct dublu în care curba are două tangente diferite. Alte puncte singulare mai complexe sunt prezentate în Fig. 3.

Orez. 3.

4. Soluții

Regula 1. Dacă c nu este divizibil cu d, atunci ecuația ax + vy = c nu are soluții în numere întregi. N.O.D.(a,b) = d.

Regula 2. Pentru a găsi o soluție a ecuației ax + vy = c cu coprime a și b, trebuie mai întâi să găsiți o soluție (X o; y o) a ecuației ax + y = 1; numerele CX o, Su o formează o soluție a ecuației ax + vy = c.

Rezolvați ecuația în numere întregi (x,y)

5x - 8y = 19 ... (1)

Prima cale. Găsirea unei anumite soluții folosind metoda de selecție și înregistrarea soluției generale.

Știm că dacă N.O.D.(a;b) =1, i.e. a și b sunt numere coprime, apoi ecuația (1)

are o soluție în numere întregi x și y. N.O.D.(5;8) =1. Folosind metoda de selecție găsim o soluție particulară: X o = 7; y o =2.

Deci, perechea de numere (7;2) este o soluție particulară a ecuației (1).

Aceasta înseamnă că egalitatea este valabilă: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 ... (2)

Întrebare: Cum, având în vedere o soluție, scrieți toate celelalte soluții?

Scădem egalitatea (2) din ecuația (1) și obținem: 5(x -7) – 8(y - 2) =0.

Prin urmare x – 7 = . Din egalitatea rezultată este clar că numărul (x – 7) va fi un întreg dacă și numai dacă (y – 2) este divizibil cu 5, i.e. y – 2 = 5n, unde n este un număr întreg. Deci, y = 2 + 5n, x = 7 + 8n, unde n Z.

Astfel, toate soluțiile întregi ale ecuației inițiale pot fi scrise în următoarea formă:

A doua cale . Rezolvarea unei ecuații pentru o necunoscută.

Rezolvăm această ecuație în raport cu necunoscuta care are cel mai mic coeficient (modulo). 5x - 8y = 19 x = .

Resturile când se împarte la 5: 0,1,2,3,4. Să înlocuim aceste numere cu y.

Dacă y = 0, atunci x = =.

Dacă y = 1, atunci x = =.

Dacă y = 2, atunci x = = = 7 Z.

Dacă y = 3, atunci x = =.

Dacă y = 4 atunci x = =.) Concluzie

Între timp, majoritatea istoricilor științei, spre deosebire de matematicieni, au subestimat până acum lucrările lui Diophantus. Mulți dintre ei credeau că Diophantus se limitează la a găsi o singură soluție și foloseau tehnici artificiale pentru aceasta, diferite pentru diferite probleme. Dar, de fapt, în majoritatea ecuațiilor diofante observăm algoritmi de soluție similari.

Astăzi, după cum vedem, există mai multe soluții diferite, ai căror algoritmi sunt ușor de reținut. După cum am menționat mai devreme, această ecuație se găsește de obicei în sarcina C6 de la examenul de stat unificat. Studierea algoritmilor pentru rezolvarea ecuațiilor diofantine poate ajuta la rezolvarea acestei sarcini, care valorează un număr semnificativ de puncte.

Bibliografie

1. Diofantul Alexandriei. Aritmetică și o carte despre numerele poligonale (traducere din greaca veche de I. N. Veselovsky; editare și comentarii de I. G. Bashmakova). M., „Știință”, 1974.

2. B. L. Van der Waerden, Awakening Science (traducere de I. N. Veselovsky). M., Fizmatgiz, 1959.

3. G. G. Tseyten, Istoria matematicii în antichitate și Evul Mediu (traducere de P. Yushkevich). M.–L., Gostekhizdat, 1932

4. A. V. Vasiliev, Integer. Petersburg, 1919

5. I. V. Yashchenko, S. A. Shestakov, P. I. Zakharov, Matematică, examen de stat unificat, MTsNMO, 2010

Coeficienți ale căror soluții trebuie găsite între numere întregi.

Diofantul Alexandriei
Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς

Data nașterii	nici mai devreme și nici mai târziu sau
Locul nașterii	Alexandria, Egipt
Data mortii	nici mai devreme și nici mai târziu
O tara	Roma antică
Domeniul stiintific	teoria numerelor
Cunoscut ca	„părintele algebrei”
Diophantus din Alexandria la Wikimedia Commons

Biografie

Este echivalent cu rezolvarea următoarei ecuații:

x = x 6 + x 12 + x 7 + 5 + x 2 + 4 (\displaystyle x=(\frac (x)(6))+(\frac (x)(12))+(\frac (x) (7))+5+(\frac (x)(2))+4)

Această ecuație dă x = 84 (\displaystyle x=84), adică vârsta lui Diophantus este egală cu 84 de ani. Cu toate acestea, acuratețea informațiilor nu poate fi confirmată.

Aritmetic Diophanta

Opera principală a lui Diophantus - Aritmeticîn 13 cărți. Din păcate, doar 6 (sau 10, vezi mai jos) din primele 13 cărți au supraviețuit.

Prima carte este precedată de o introducere extinsă, care descrie notația folosită de Diophantus. Diophantus numește necunoscutul „număr” ( ἀριθμός ) și este notat cu litera ς , pătrat necunoscut - simbol Δ Υ (scurt pentru δύναμις - „grad”), cubul necunoscutului - simbol Κ Υ (scurt pentru κύβος - "cub"). Semnele speciale sunt prevăzute pentru următoarele grade ale necunoscutului, până la al șaselea, numite cub-cub, iar pentru gradele lor opuse, până la minus al șaselea.

Diophantus nu are un semn de adunare: el scrie pur și simplu termeni pozitivi unul lângă altul, în ordinea descrescătoare a gradului, iar în fiecare termen se scrie mai întâi gradul necunoscutului, apoi coeficientul numeric. Termenii scăzuți se scriu și ei unul lângă altul, iar în fața întregului lor grup este plasat un semn special sub forma unei litere inversate Ψ. Semnul egal este reprezentat de două litere ἴσ (scurt pentru ἴσος - "egal").

Cea mai mare parte a lucrării este o colecție de probleme cu soluții (există un total de 189 în cele șase cărți supraviețuitoare, împreună cu cele patru din partea arabă - 290), selectate cu pricepere pentru a ilustra metode generale. Problemele principale Aritmetic- găsirea de soluții raționale pozitive la ecuații incerte. Numerele raționale sunt tratate de Diophantus în același mod ca numerele naturale, ceea ce nu este tipic pentru matematicienii antici.

În primul rând, Diophantus examinează sisteme de ecuații de ordinul doi în două necunoscute; specifică o metodă de găsire a altor soluții dacă una este deja cunoscută. Apoi el aplică metode similare ecuațiilor de grade superioare. Cartea VI examinează probleme legate de triunghiuri dreptunghiulare cu laturile raționale.

Influență Aritmetic pentru dezvoltarea matematicii

În secolul al X-lea Aritmetic a fost tradusă în arabă (vezi Kusta ibn Luka), după care matematicienii din țările islamice (Abu Kamil și alții) au continuat o parte din cercetările lui Diophantus. În Europa, interesul pentru Aritmetic a crescut după ce Raphael Bombelli a tradus și publicat această lucrare în latină și a publicat 143 de probleme din ea în Algebră(1572). În 1621, a apărut o traducere latină clasică, bine comentată Aritmetic, executat de Bachet de Meziriac.

Metodele lui Diophantus i-au influențat foarte mult pe François Viète și Pierre Fermat; cu toate acestea, în timpurile moderne, ecuațiile nedefinite sunt de obicei rezolvate în numere întregi, și nu în numere raționale, așa cum a făcut Diophantus. Când Pierre Fermat a citit Aritmetica lui Diophantus, editată de Bachet de Mezyriac, a ajuns la concluzia că una dintre ecuațiile similare cu cele considerate de Diophantus nu avea soluții în numere întregi și a notat în margine că a găsit „o dovadă cu adevărat minunată a această teoremă... cu toate acestea, marginile cărții sunt prea înguste pentru a o include.” Această afirmație este acum cunoscută sub numele de Ultima Teoremă a lui Fermat.

În secolul al XX-lea, textul arab al altor patru cărți a fost descoperit sub numele de Diophantus. Aritmetic. I. G. Bashmakova și E. I. Slavutin, după ce au analizat acest text, au formulat ipoteza că autorul său nu ar fi fost Diophantus, ci un comentator bine versat în metodele lui Diophantus, cel mai probabil Hypatia. Cu toate acestea, decalajul semnificativ în metodologia de rezolvare a problemelor din primele trei și ultimele trei cărți este bine completat de patru cărți de traducere în arabă. Acest lucru ne obligă să reconsiderăm rezultatele studiilor anterioare. . [ ]

Alte lucrări ale lui Diofantus

Cartea lui Diophantus Porisme cunoscute doar din câteva teoreme folosite în Aritmetic.

Vezi si

Colecția Budé" (2 volume publicate: Cărțile 4 - 7).

Cercetare:

Bashmakova I. G., Slavutin E. I., Rosenfeld B. A. Versiunea arabă a „Aritmeticii” lui Diophantus // Studii istorice și matematice. - M., 1978. - Numărul. XXIII. - P. 192 - 225.
Bashmakova I.G. Aritmetica curbelor algebrice: (De la Diophantus la Poincaré) // Studii istorice și matematice. - 1975. - Emisiune. 20. - p. 104 - 124.
Bashmakova I.G. Ecuații Diophantus și Diophantine. - M.: Nauka, 1972 (Retipărire: M.: LKI, 2007). Pe. Pe el. limba: Diophant und diophantische Gleichungen. - Basel; Stuttgart: Birkhauser, 1974. Trad. în limba engleză. limba: Ecuații Diophantus și Diophantine/ Transl. de A. Shenitzer cu asistența editorială a lui H. Grant și actualizat de J. Silverman // The Dolciani Mathematical Expositions. - Nr. 20. - Washington, DC: Mathematical Association of America, 1997.
Bashmakova I.G. Diophantus și Fermat: (Despre istoria metodei tangentelor și extremelor) // Studii istorice și matematice. - M., 1967. - Numărul. VII. - P. 185 - 204.
Bashmakova I. G., Slavutin E. I. Istoria analizei diofantine de la Diophantus la Fermat. - M.: Nauka, 1984.
Istoria matematicii din cele mai vechi timpuri până la începutul secolului al XIX-lea. - T. I: Din cele mai vechi. ori înainte de începutul New Age. timp / Ed. A. P. Iuşkevici. - M., Nauka, 1970.
Slavutin E. I. Algebra lui Diophantus și originile sale // Studii istorice și matematice. - M., 1975. - Numărul. 20. - p. 63 - 103.
Șchetnikov A.I. Cartea lui Diophantus din Alexandria „Despre numerele poligonale” poate fi numită pur algebrică? // Cercetări istorice și matematice. - M., 2003. - Numărul. 8 (43). - p. 267 - 277.
Heath Th. L. Diophantus din Alexandria, Un studiu în istoria algebrei grecești. - Cambridge, 1910 (Repr.: NY, 1964).
Knorr W.R. Arithmktikê stoicheiôsis: Despre Diophantus și Eroul Alexandriei // Historia Mathematica. - 20. - 1993. - P. 180 - 192.
Christianidis J. Calea lui Diophantus: Câteva clarificări asupra metodei de soluție a lui Diophantus // Historia Mathematica. - 34. - 2007. - P. 289 - 305.
Rashed R., Houzel C. Les Arithmétiques de Diophante. Lectură istorică și matematică . - De Gruyter, 2013.

Rezumat: Diophantus. Ecuații diofantine. Biografia lui Diophantus Vezi ce este „Diophantus din Alexandria” în alte dicționare

Rezumat: Diophantus. Ecuații diofantine. Biografia lui Diophantus Vezi ce este „Diophantus din Alexandria” în alte dicționare

Biografie

Aritmetic Diophanta

Alte lucrări ale lui Diofantus

Literatură

Vedeți ce este „Diophantus din Alexandria” în alte dicționare:

Biografie

Aritmetica lui Diophantus

Introducere

Biografia lui Diophantus

Biografie

Aritmetic Diophanta

Influență Aritmetic pentru dezvoltarea matematicii

Alte lucrări ale lui Diofantus

Vezi si