Βιογραφία

Λατινική μετάφραση Αριθμητική (1621)

Σχεδόν τίποτα δεν είναι γνωστό για τις λεπτομέρειες της ζωής του. Από τη μια πλευρά, ο Διόφαντος παραθέτει τους Υψικούς (2ος αιώνας π.Χ.). αφετέρου, ο Θεόν ο Αλεξανδρινός (περίπου το 350 μ.Χ.) γράφει για τον Διόφαντο, από τον οποίο συμπεραίνουμε ότι η ζωή του διαδραματίστηκε στα όρια αυτής της περιόδου. Μια πιθανή διευκρίνιση του χρόνου ζωής του Διόφαντου βασίζεται στο γεγονός ότι αυτός Αριθμητικήαφιερωμένο στον «σεβασμιώτατο Διονύσιο». Πιστεύεται ότι αυτός ο Διονύσιος δεν είναι άλλος από τον Επίσκοπο Αλεξανδρείας Διονύσιο, που έζησε στα μέσα του 3ου αιώνα. n. μι.

ΑριθμητικήΔιόφαντα

Το κύριο έργο του Διόφαντου - Αριθμητικήσε 13 βιβλία. Δυστυχώς, μόνο τα 6 πρώτα βιβλία από τα 13 έχουν διασωθεί.

Το πρώτο βιβλίο έχει προηγηθεί μια εκτενής εισαγωγή, η οποία περιγράφει τη σημειογραφία που χρησιμοποιούσε ο Διόφαντος. Ο Διόφαντος αποκαλεί τον άγνωστο «αριθμό» ( ἀριθμός ) και συμβολίζεται με το γράμμα ς , τετράγωνο άγνωστο - σύμβολο (σύντομη για δύναμις - "βαθμός"). Προβλέπονται ειδικές πινακίδες για τις ακόλουθες μοίρες του αγνώστου, μέχρι την έκτη, που ονομάζονται κύβος-κύβος, και για τις μοίρες απέναντι από αυτές. Ο Διόφαντος δεν έχει πρόσθετο πρόσημο: απλώς γράφει θετικούς όρους ο ένας δίπλα στον άλλον και σε κάθε όρο γράφεται πρώτα ο βαθμός του αγνώστου και μετά ο αριθμητικός συντελεστής. Οι αφαιρούμενοι όροι γράφονται επίσης δίπλα δίπλα και ένα ειδικό σημάδι με τη μορφή ανεστραμμένου γράμματος Ψ τοποθετείται μπροστά από ολόκληρη την ομάδα τους. Το πρόσημο ίσον αντιπροσωπεύεται από δύο γράμματα ἴσ (σύντομη για ἴσος - «ίσο»). Διατυπώθηκε ένας κανόνας για την εισαγωγή παρόμοιων όρων και ένας κανόνας για την προσθήκη ή την αφαίρεση του ίδιου αριθμού ή έκφρασης και στις δύο πλευρές μιας εξίσωσης: αυτό που ο al-Khorezmi άρχισε αργότερα να αποκαλεί «άλγεβρα και αλμουκαμπάλα». Έχει εισαχθεί ένας κανόνας πρόσημου: μείον φορές το μείον δίνει συν. Αυτός ο κανόνας χρησιμοποιείται κατά τον πολλαπλασιασμό δύο παραστάσεων με αφαιρούμενους όρους. Όλα αυτά διατυπώνονται με γενικούς όρους, χωρίς αναφορά σε γεωμετρικές ερμηνείες.

Το μεγαλύτερο μέρος του έργου είναι μια συλλογή προβλημάτων με λύσεις (υπάρχουν συνολικά 189 στα έξι σωζόμενα βιβλία), επιλεγμένα επιδέξια για την απεικόνιση γενικών μεθόδων. Κύρια προβλήματα Αριθμητική- εύρεση θετικών ορθολογικών λύσεων σε αβέβαιες εξισώσεις. Οι ορθολογικοί αριθμοί αντιμετωπίζονται από τον Διόφαντο με τον ίδιο τρόπο με τους φυσικούς αριθμούς, κάτι που δεν είναι χαρακτηριστικό για τους αρχαίους μαθηματικούς.

Πρώτον, ο Διόφαντος εξετάζει συστήματα εξισώσεων 2ης τάξης σε 2 άγνωστα. καθορίζει μια μέθοδο για την εύρεση άλλων λύσεων εάν είναι ήδη γνωστή. Στη συνέχεια εφαρμόζει παρόμοιες μεθόδους σε εξισώσεις υψηλότερων βαθμών.

Τον 10ο αιώνα Αριθμητικήμεταφράστηκε στα αραβικά, μετά την οποία μαθηματικοί από τις ισλαμικές χώρες (Αμπού Καμίλ και άλλοι) συνέχισαν μέρος της έρευνας του Διόφαντου. Στην Ευρώπη, ενδιαφέρον για Αριθμητικήαυξήθηκε αφότου ο Raphael Bombelli ανακάλυψε αυτό το έργο στη Βιβλιοθήκη του Βατικανού και δημοσίευσε 143 προβλήματα από αυτό στο Αλγεβρα(). Το 1621, εμφανίστηκε μια κλασική, λεπτομερώς σχολιασμένη λατινική μετάφραση Αριθμητική, που εκτελέστηκε από τον Bachet de Meziriac. Οι μέθοδοι του Διόφαντου επηρέασαν πολύ τους Φρανσουά Βιέτ και Πιερ Φερμά. Ωστόσο, στη σύγχρονη εποχή, οι αόριστες εξισώσεις συνήθως λύνονται σε ακέραιους και όχι σε ορθολογικούς αριθμούς, όπως έκανε ο Διόφαντος.

Τον 20ο αιώνα, με το όνομα Διόφαντος, ανακαλύφθηκε το αραβικό κείμενο 4 ακόμη βιβλίων. Αριθμητική. Ο I. G. Bashmakova και ο E. I. Slavutin, έχοντας αναλύσει αυτό το κείμενο, διατύπωσαν μια υπόθεση ότι ο συγγραφέας τους δεν ήταν ο Διόφαντος, αλλά ένας σχολιαστής με καλή γνώση των μεθόδων του Διόφαντου, πιθανότατα η Υπατία.

Άλλα έργα του Διόφαντου

Πραγματεία Διοφάντου Σχετικά με τους πολυγωνικούς αριθμούς (Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν ) δεν έχει διατηρηθεί πλήρως. Στο διατηρητέο μέρος, ένας αριθμός βοηθητικών θεωρημάτων προκύπτουν χρησιμοποιώντας μεθόδους γεωμετρικής άλγεβρας.

Από τα έργα του Διόφαντου Σχετικά με τη μέτρηση επιφανειών (ἐπιπεδομετρικά ) Και Περί πολλαπλασιασμού (Περὶ πολλαπλασιασμοῦ ) επίσης έχουν σωθεί μόνο θραύσματα.

Βιβλίο Διοφάντου Πορισμοίγνωστό μόνο από μερικά θεωρήματα που χρησιμοποιούνται σε Αριθμητική.

Βιβλιογραφία

Κατηγορίες:

Αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί
Μαθηματικοί της Αρχαίας Ρώμης
Προσωπικότητες με αλφαβητική σειρά
Μαθηματικοί κατά αλφάβητο
μαθηματικοί του 3ου αιώνα
Μαθηματικοί στη θεωρία αριθμών

Ίδρυμα Wikimedia. 2010.

Δείτε τι είναι το «Διόφαντος Αλεξανδρείας» σε άλλα λεξικά:

- (περ. 3ος αι.) αρχαίος Έλληνας μαθηματικός. Στο κύριο έργο Αριθμητική (6 βιβλία από τα 13 έχουν διασωθεί) έδωσε λύσεις σε προβλήματα που οδηγούσαν στο λεγόμενο. Διοφαντικές εξισώσεις και για πρώτη φορά εισήγαγαν σύμβολα γραμμάτων στην άλγεβρα... Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

- (3ος αι. περίπου), αρχαίος Έλληνας μαθηματικός. Στο κύριο έργο του «Αριθμητική» (6 βιβλία από τα 13 έχουν διασωθεί), έδωσε λύσεις σε προβλήματα που οδηγούσαν στις λεγόμενες Διοφαντικές εξισώσεις και εισήγαγε για πρώτη φορά σύμβολα γραμμάτων στην άλγεβρα. * * * ΔΙΟΦΑΝΤΗΣ... ... εγκυκλοπαιδικό λεξικό

- (πιθανόν περίπου το 250 μ.Χ., αν και είναι πιθανή μια προγενέστερη ημερομηνία), αρχαίος Έλληνας μαθηματικός που εργάστηκε στην Αλεξάνδρεια, συγγραφέας της πραγματείας Αριθμητική σε 13 βιβλία (φθάνουν τα 6), αφιερωμένα κυρίως στη μελέτη αόριστων εξισώσεων (τα λεγόμενα ... ... Εγκυκλοπαίδεια Collier

Διόφαντος: Διόφαντος (διοικητής) (2ος αι. π.Χ.). Διόφαντος ο Αλεξανδρινός (III αιώνας μ.Χ.) αρχαίος Έλληνας μαθηματικός ... Wikipedia

Διόφαντος- Αλεξανδρινό (ελληνικά: Διόφαντος), περ. 250, άλλα ελληνικά μαθηματικός. Στην κύρια του Το έργο «Αριθμητική» (που έχει επιβιώσει για μεγάλο χρονικό διάστημα) χρησιμοποίησε τις υπολογιστικές μεθόδους των Αιγυπτίων και των Βαβυλωνίων. Έρευνα για τον ορισμό. και απροσδιοριστία, προβλήματα (ειδικά γραμμικά και... ... Λεξικό της Αρχαιότητας

- (γεν. 325, πέθ. 409 μ.Χ.) διάσημος Αλεξανδρινός μαθηματικός. Δεν υπάρχουν σχεδόν καθόλου πληροφορίες για τη ζωή του. ακόμη και οι ημερομηνίες γέννησης και θανάτου του δεν είναι απολύτως αξιόπιστες. Ο Δ. έζησε 84 χρόνια, όπως φαίνεται από τον επιτάφιο, που συντίθεται ως εξής... ... Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό F.A. Brockhaus και I.A. Έφρων

Διόφαντος- ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ Αλεξανδρείας (περ. 3ος αι.), άλλος Έλληνας. μαθηματικός. Στο κεντρικό tr. Η Αριθμητική (6 βιβλία από τα 13 έχουν διατηρηθεί) έδωσε λύσεις σε προβλήματα που οδηγούσαν στο λεγόμενο. Διοφαντικές εξισώσεις και για πρώτη φορά εισήγαγαν σύμβολα γραμμάτων στην άλγεβρα... Βιογραφικό Λεξικό

Διόφαντος Αλεξανδρείας(αρχαία ελληνικά· λατ. Διόφαντος) - αρχαίος Έλληνας μαθηματικός που πιθανολογείται ότι έζησε τον 3ο αιώνα μ.Χ. μι. Συχνά αναφέρεται ως ο «πατέρας της άλγεβρας». Συγγραφέας του "Arithmetic" - ενός βιβλίου αφιερωμένου στην εύρεση θετικών ορθολογικών λύσεων σε απροσδιόριστες εξισώσεις. Στις μέρες μας, «Διοφαντικές εξισώσεις» συνήθως σημαίνουν εξισώσεις με ακέραιους συντελεστές, οι λύσεις των οποίων πρέπει να βρίσκονται μεταξύ ακεραίων.

Ο Διόφαντος ήταν ο πρώτος Έλληνας μαθηματικός που αντιμετώπισε τα κλάσματα καθώς και άλλους αριθμούς. Ο Διόφαντος ήταν επίσης ο πρώτος μεταξύ των αρχαίων επιστημόνων που πρότεινε ανεπτυγμένο μαθηματικό συμβολισμό, ο οποίος κατέστησε δυνατή τη διατύπωση των αποτελεσμάτων του σε μια αρκετά συμπαγή μορφή.

Ένας κρατήρας στην ορατή πλευρά της Σελήνης πήρε το όνομά του από τον Διόφαντο.

Βιογραφία

Σχεδόν τίποτα δεν είναι γνωστό για τις λεπτομέρειες της ζωής του. Από τη μια πλευρά, ο Διόφαντος παραθέτει τους Υψικούς (2ος αιώνας π.Χ.). αφετέρου, ο Θεόν ο Αλεξανδρινός (περίπου το 350 μ.Χ.) γράφει για τον Διόφαντο, από τον οποίο συμπεραίνουμε ότι η ζωή του διαδραματίστηκε στα όρια αυτής της περιόδου. Μια πιθανή διευκρίνιση της εποχής της ζωής του Διόφαντου βασίζεται στο γεγονός ότι η Αριθμητική του είναι αφιερωμένη στον «σεβασμιώτατο Διονύσιο». Πιστεύεται ότι αυτός ο Διονύσιος δεν είναι άλλος από τον Επίσκοπο Αλεξανδρείας Διονύσιο, που έζησε στα μέσα του 3ου αιώνα. n. μι.

Η Παλατινή Ανθολογία περιέχει ένα επίγραμμα-εργασία:

Οι στάχτες του Διόφαντου αναπαύονται στον τάφο. Θαυμάστε την - και η πέτρα θα μιλήσει με τη σοφή τέχνη της νεκρής εποχής. Με τη θέληση των θεών, έζησε το ένα έκτο της ζωής του ως παιδί. Και συνάντησα πεντέμισι με χνούδι στα μάγουλα. Μόλις πέρασε την έβδομη μέρα, αρραβωνιάστηκε την κοπέλα του. Αφού πέρασε πέντε χρόνια μαζί της, ο σοφός απέκτησε έναν γιο. Ο αγαπημένος γιος του πατέρα του έζησε μόνο τη μισή του ζωή. Τον πήραν από τον πατέρα του από τον πρώιμο τάφο του. Δύο φορές για δύο χρόνια ο γονιός θρήνησε μια σοβαρή θλίψη και μετά είδε το όριο της θλιβερής ζωής του. (Μετάφραση S. P. Bobrov)

Ισοδυναμεί με την επίλυση της ακόλουθης εξίσωσης:

Αυτή η εξίσωση δίνει x = 84 (\displaystyle x=84) , δηλαδή η ηλικία του Διόφαντου είναι ίση με 84 έτη. Ωστόσο, η ακρίβεια των πληροφοριών δεν μπορεί να επιβεβαιωθεί.

Αριθμητική Διοφάντου

Το κύριο έργο του Διόφαντου είναι η Αριθμητική σε 13 βιβλία. Δυστυχώς, μόνο τα 6 πρώτα βιβλία από τα 13 έχουν διασωθεί.

Το πρώτο βιβλίο έχει προηγηθεί μια εκτενής εισαγωγή, η οποία περιγράφει τη σημειογραφία που χρησιμοποιούσε ο Διόφαντος. Ο Διόφαντος ονομάζει το άγνωστο «αριθμό» () και το δηλώνει με ένα γράμμα, το τετράγωνο του αγνώστου με σύμβολο (συντομογραφία για «βαθμός») και τον κύβο του αγνώστου με σύμβολο (σύντομο του «κύβου»). Προβλέπονται ειδικές πινακίδες για τις ακόλουθες μοίρες του αγνώστου, μέχρι την έκτη, που ονομάζονται κύβος-κύβος, και για τις αντίθετες μοίρες τους, μέχρι μείον την έκτη.

Ο Διόφαντος δεν έχει πρόσθετο πρόσημο: απλώς γράφει θετικούς όρους ο ένας δίπλα στον άλλο σε φθίνουσα σειρά βαθμού και σε κάθε όρο γράφεται πρώτα ο βαθμός του αγνώστου και μετά ο αριθμητικός συντελεστής. Οι όροι που αφαιρούνται γράφονται επίσης δίπλα-δίπλα και ένα ειδικό σημάδι με τη μορφή ανεστραμμένου γράμματος τοποθετείται μπροστά από ολόκληρη την ομάδα τους. Το πρόσημο ίσου συμβολίζεται με δύο γράμματα (συντομογραφία του «ίσου»).

Διατυπώθηκε ένας κανόνας για την εισαγωγή παρόμοιων όρων και ένας κανόνας για την προσθήκη ή την αφαίρεση του ίδιου αριθμού ή έκφρασης και στις δύο πλευρές μιας εξίσωσης: αυτό που ο al-Khorezmi άρχισε αργότερα να αποκαλεί «άλγεβρα και αλμουκαμπάλα». Εισήχθη ο κανόνας των σημείων: «μείον με συν δίνει μείον», «μείον με πλην δίνει συν». Αυτός ο κανόνας χρησιμοποιείται κατά τον πολλαπλασιασμό δύο παραστάσεων με αφαιρούμενους όρους. Όλα αυτά διατυπώνονται με γενικούς όρους, χωρίς αναφορά σε γεωμετρικές ερμηνείες.

Το μεγαλύτερο μέρος του έργου είναι μια συλλογή προβλημάτων με λύσεις (υπάρχουν συνολικά 189 στα έξι σωζόμενα βιβλία), επιλεγμένα επιδέξια για την απεικόνιση γενικών μεθόδων. Το κύριο πρόβλημα της Αριθμητικής είναι η εύρεση θετικών ορθολογικών λύσεων σε απροσδιόριστες εξισώσεις. Οι ορθολογικοί αριθμοί ερμηνεύονται από τον Διόφαντο με τον ίδιο τρόπο όπως οι φυσικοί αριθμοί, κάτι που δεν είναι χαρακτηριστικό για τους αρχαίους μαθηματικούς.

Εισαγωγή

Μπορεί να φανεί ότι σε μια περίοδο άνω των μιάμιση χιλιάδων ετών, η μαθηματική επιστήμη στην Ελλάδα είχε σημαντικά επιτεύγματα.

Στην ιστορία των μαθηματικών, η περίοδος ύπαρξης της Αλεξανδρινής Σχολής που θεωρήσαμε ονομάζεται «Πρώτη Αλεξανδρινή Σχολή». Από την αρχή της εποχής μας, με βάση τα έργα των Αλεξανδρινών μαθηματικών, άρχισε η ραγδαία ανάπτυξη της ιδεαλιστικής φιλοσοφίας: οι ιδέες του Πλάτωνα και του Πυθαγόρα αναβίωσαν ξανά και αυτή η φιλοσοφία των Νεοπλατωνικών και Νεοπυθαγορείων μείωσε γρήγορα την επιστημονική σημασία του έργα νέων εκπροσώπων της μαθηματικής σκέψης. Όμως η μαθηματική σκέψη δεν πεθαίνει, αλλά από καιρό σε καιρό εμφανίζεται στα έργα μεμονωμένων μαθηματικών, όπως ο Διόφαντος.

Η ανάπτυξη της άλγεβρας παρεμποδίστηκε από το γεγονός ότι η συμβολική σημειογραφία δεν είχε ακόμη χρησιμοποιηθεί επαρκώς, έναν υπαινιγμό του οποίου συναντάμε για πρώτη φορά στα έργα του Διόφαντου, ο οποίος χρησιμοποιούσε μόνο μεμονωμένα σύμβολα και συντομογραφίες σημειογραφίας.

Σκοπός της εργασίας είναι η διερεύνηση της αριθμητικής του Διόφαντου.

Βιογραφία Διοφάντου

Η χρονική περίοδος που θα μπορούσε να ζήσει ο Διόφαντος είναι μισή χιλιετία! Το κάτω όριο αυτού του διαστήματος καθορίζεται χωρίς δυσκολία: στο βιβλίο του για τους πολυγωνικούς αριθμούς, ο Διόφαντος αναφέρει επανειλημμένα τον μαθηματικό Υψικλή της Αλεξάνδρειας, ο οποίος έζησε στα μέσα του 2ου αιώνα π.Χ. Από την άλλη, στα σχόλια του Θέωνα Αλεξανδρείας προς την «Αλμαγέστη» του διάσημου αστρονόμου Πτολεμαίου, τοποθετείται απόσπασμα από το έργο του Διόφαντου. Ο Θέων έζησε στα μέσα του 4ου αιώνα μ.Χ. Αυτό καθορίζει το ανώτερο όριο αυτού του διαστήματος. 500 χρόνια λοιπόν!

Ο Γάλλος ιστορικός της επιστήμης Paul Tannery, εκδότης του πληρέστερου κειμένου του Διόφαντου, προσπάθησε να μειώσει αυτό το χάσμα. Στη βιβλιοθήκη Escurial βρήκε αποσπάσματα από μια επιστολή του Μιχαήλ Ψελλού, βυζαντινού επιστήμονα του 11ου αιώνα, που αναφέρει ότι «ο πιο λόγιος Ανατόλιος, αφού συγκέντρωσε τα πιο ουσιαστικά μέρη αυτής της επιστήμης (μιλάμε για την εισαγωγή βαθμών τα άγνωστα και οι ονομασίες τους), τα αφιέρωσε στον φίλο του Διόφαντο». Ο Ανατόλιος της Αλεξάνδρειας συνέταξε πράγματι μια «Εισαγωγή στην Αριθμητική», αποσπάσματα από την οποία αναφέρονται στα σωζόμενα έργα του Ιάμβλιχου και του Ευσεβίου. Όμως ο Ανατόλι έζησε στην Αλεξάνδρεια στα μέσα του 3ου αιώνα μ.Χ. και ακόμη ακριβέστερα - μέχρι το έτος 270, όταν έγινε επίσκοπος Λαοδακίας. Αυτό σημαίνει ότι η φιλία του με τον Διόφαντο, τον οποίο όλοι αποκαλούν Αλεξάνδρεια, πρέπει να είχε γίνει πριν από αυτό. Έτσι, εάν ο διάσημος Αλεξανδρινός μαθηματικός και ο φίλος του Ανατόλι, ονόματι Διόφαντος είναι ένα άτομο, τότε ο χρόνος ζωής του Διόφαντου είναι τα μέσα του 3ου αιώνα μ.Χ.

Η ίδια η «Αριθμητική» του Διόφαντου είναι αφιερωμένη στον «σεβασμιότατο Διονύσιο», ο οποίος, όπως φαίνεται από το κείμενο της «Εισαγωγής», ενδιαφέρθηκε για την αριθμητική και τη διδασκαλία της. Αν και το όνομα Διονύσιος ήταν αρκετά διαδεδομένο εκείνη την εποχή, ο Tannery πρότεινε ότι ο «σεβάσιμος» Διονύσιος έπρεπε να αναζητηθεί μεταξύ των διάσημων ανθρώπων της εποχής που κατείχαν εξέχουσες θέσεις. Και έτσι αποδείχτηκε ότι το 247, κάποιος Διονύσιος έγινε επίσκοπος Αλεξανδρείας, ο οποίος ήταν επικεφαλής του χριστιανικού γυμνασίου της πόλης από το 231! Επομένως, το Βυρσοδεψείο ταύτισε αυτόν τον Διονύσιο με αυτόν στον οποίο ο Διόφαντος αφιέρωσε το έργο του και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο Διόφαντος έζησε στα μέσα του 3ου αιώνα μ.Χ. Μπορούμε, ελλείψει οτιδήποτε καλύτερου, να δεχτούμε αυτήν την ημερομηνία.

Όμως ο τόπος διαμονής του Διόφαντου είναι γνωστός - αυτή είναι η περίφημη Αλεξάνδρεια, το κέντρο της επιστημονικής σκέψης του ελληνιστικού κόσμου.

Μετά την κατάρρευση της τεράστιας αυτοκρατορίας του Μεγάλου Αλεξάνδρου, η Αίγυπτος στα τέλη του 4ου αιώνα π.Χ. πήγε στον διοικητή του Πτολεμαίο Λάγο, ο οποίος μετέφερε την πρωτεύουσα σε μια νέα πόλη - την Αλεξάνδρεια. Σύντομα αυτή η πολύγλωσση εμπορική πόλη έγινε μια από τις πιο όμορφες πόλεις της αρχαιότητας. Η Ρώμη αργότερα την ξεπέρασε σε μέγεθος, αλλά για πολύ καιρό δεν είχε όμοιο. Και ήταν αυτή η πόλη που έγινε το επιστημονικό και πολιτιστικό κέντρο του αρχαίου κόσμου για πολλούς αιώνες. Αυτό οφειλόταν στο γεγονός ότι ο Πτολεμαίος Λάγος ίδρυσε το Μουσείο, τον ναό των Μουσών, κάτι σαν την πρώτη Ακαδημία Επιστημών, όπου προσκλήθηκαν οι πιο επιφανείς επιστήμονες και τους ανατέθηκε περιεχόμενο, ώστε η κύρια δραστηριότητά τους ήταν ο προβληματισμός και οι συζητήσεις. με μαθητές. Στο Μουσείο χτίστηκε μια περίφημη βιβλιοθήκη, η οποία στις καλύτερες μέρες της περιείχε περισσότερα από 700.000 χειρόγραφα. Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι επιστήμονες και νέοι που διψούν για γνώση από όλο τον κόσμο συνέρρεαν στην Αλεξάνδρεια για να ακούσουν διάσημους φιλοσόφους, να μάθουν αστρονομία και μαθηματικά και να έχουν την ευκαιρία να εμβαθύνουν στη μελέτη μοναδικών χειρογράφων στις όμορφες αίθουσες της βιβλιοθήκης .

Το μουσείο επέζησε της δυναστείας των Πτολεμαίων. Τους πρώτους αιώνες π.Χ. έπεσε σε προσωρινή παρακμή που σχετίζεται με τη γενική παρακμή του οίκου των Πτολεμαίων σε σχέση με τις ρωμαϊκές κατακτήσεις (η Αλεξάνδρεια κατακτήθηκε τελικά το 31 π.Χ.), αλλά στη συνέχεια κατά τους πρώτους αιώνες μ.Χ. αναβίωσε ξανά, υποστηριζόμενος από τους Ρωμαίους αυτοκράτορες. Η Αλεξάνδρεια συνέχισε να είναι το επιστημονικό κέντρο του κόσμου. Η Ρώμη δεν ήταν ποτέ αντίπαλός της από αυτή την άποψη: η ρωμαϊκή επιστήμη (εννοούμε οι φυσικές επιστήμες) απλώς δεν υπήρχε, και οι Ρωμαίοι παρέμειναν πιστοί στις εντολές του Βιργίλιου, ο οποίος έγραψε:

Πιο λεπτά άλλοι θα σφυρηλατήσουν μπρούτζο που δίνει ζωή, -

Πιστεύω ότι θα δημιουργήσουν ζωντανά πρόσωπα από μάρμαρο,

Οι κινήσεις του ουρανού θα είναι πιο εύγλωττες στα γήπεδα

Με το μπαστούνι τους θα ζωγραφίσουν και θα υπολογίσουν τα αστέρια που ανατέλλει,

Εσύ, Ρωμαίος, ξέρεις να κυβερνάς τα έθνη.

Και αν στους ΙΙΙ-ΙΙ αιώνες π.Χ. Το μουσείο έλαμψε με τα ονόματα του Ευκλείδη, του Απολλώνιου, του Ερατοσθένη, του Ίππαρχου, στη συνέχεια τον 1ο-3ο αιώνα μ.Χ. Εδώ εργάστηκαν επιστήμονες όπως ο Ήρων, ο Πτολεμαίος και ο Διόφαντος.

Για να εξαντλήσουμε όλα τα γνωστά για την προσωπικότητα του Διόφαντου, παρουσιάζουμε ένα ποίημα γρίφων που μας έχει φτάσει:

Οι στάχτες του Διόφαντου αναπαύονται στον τάφο. θαυμάστε την - και την πέτρα

Η ηλικία του εκλιπόντος θα μιλήσει μέσα από τη σοφή τέχνη του.

Με τη θέληση των θεών, έζησε το ένα έκτο της ζωής του ως παιδί.

Και συνάντησα πεντέμισι με χνούδι στα μάγουλα.

Ήταν μόλις η έβδομη μέρα που αρραβωνιάστηκε την κοπέλα του.

Αφού πέρασε πέντε χρόνια μαζί της, ο σοφός περίμενε τον γιο του.

Ο αγαπημένος γιος του πατέρα του έζησε μόνο τη μισή του ζωή.

Τον πήραν από τον πατέρα του από τον πρώιμο τάφο του.

Δύο φορές δύο χρόνια ο γονιός θρήνησε μια βαριά θλίψη,

Εδώ είδα το όριο της θλιβερής ζωής μου.

Από εδώ είναι εύκολο να υπολογίσουμε ότι ο Διόφαντος έζησε 84 χρόνια. Ωστόσο, για αυτό δεν χρειάζεται να κατακτήσετε την τέχνη του Διόφαντου! Αρκεί να μπορέσουμε να λύσουμε μια εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο, και οι Αιγύπτιοι γραφείς μπόρεσαν να το κάνουν αυτό πριν από 2 χιλιάδες χρόνια π.Χ.

Δημοτικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα

«Λύκειο Νο 10» Περμ

Διόφαντος. Διοφαντικές εξισώσεις

Έγινε η δουλειά

Ilyina Yana,

Μαθητής της 11ης τάξης

Επόπτης

Zolotukhina L. V.

καθηγητής μαθηματικών

Perm, 2010

Εισαγωγή…………………………………………………………………………………….3

1. Διόφαντος………………………………………………………………………………………………………..

2. Αριθμοί και σύμβολα…………………………………………………………………6

3. Διοφαντική εξίσωση……………………………………………………………8

4. Λύσεις…………………………………………………………..12

Συμπέρασμα……………………………………………………………………………………15

Παραπομπές…………………………………………………………16

Εισαγωγή

Οι σημερινοί μαθητές λύνουν διάφορες εξισώσεις. Στο Μέρος Γ των εργασιών της Ενιαίας Πολιτικής Εξέτασης υπάρχει μια ενδιαφέρουσα εξίσωση που ονομάζεται Διοφαντική εξίσωση. Στα έργα του, ο Διόφαντος όχι μόνο έθεσε το πρόβλημα της επίλυσης αόριστων εξισώσεων σε ορθολογικούς αριθμούς, αλλά έδωσε και κάποιες γενικές μεθόδους επίλυσής τους. Αυτές οι μέθοδοι θα είναι πολύ χρήσιμες για τους σημερινούς μαθητές της ενδέκατης τάξης που πρόκειται να δώσουν εξετάσεις στα μαθηματικά.

Ο Διόφαντος συνέβαλε στην ανάπτυξη των μαθηματικών τόσο μεγάλη όσο ο Αρχιμήδης. Αυτό έκανε ο Αρχιμήδης, για παράδειγμα: κατά τον προσδιορισμό των επιφανειών μιας έλλειψης, ενός τμήματος μιας παραβολής, της επιφάνειας μιας σφαίρας, των όγκων μιας σφαίρας και άλλων σωμάτων, χρησιμοποίησε τη μέθοδο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων και τη μέθοδο διέλευσης. στο όριο, αλλά πουθενά δεν έδωσε μια γενική αφηρημένη περιγραφή αυτών των μεθόδων. Οι επιστήμονες του 16ου και 17ου αιώνα έπρεπε να μελετήσουν προσεκτικά και να αναδιατάξουν τα έργα του με έναν νέο τρόπο, προκειμένου να απομονώσουν από εκεί τις μεθόδους του Αρχιμήδη. Ανάλογη είναι η κατάσταση και με τον Διόφαντο. Οι μέθοδοί του έγιναν κατανοητές και εφαρμόστηκαν σε νέα προβλήματα από τους Viethe και Fermat, δηλ. την ίδια στιγμή που λύθηκε ο Αρχιμήδης.

1. Διόφαντος

Ο Διόφαντος παρουσιάζει ένα από τα πιο δύσκολα μυστήρια στην ιστορία της επιστήμης. Δεν γνωρίζουμε την εποχή που έζησε, ούτε τους προκατόχους του που θα εργάζονταν στον ίδιο χώρο. Τα έργα του είναι σαν μια αστραφτερή φωτιά μέσα στο απόλυτο αδιαπέραστο σκοτάδι. Η χρονική περίοδος που θα μπορούσε να ζήσει ο Διόφαντος είναι μισή χιλιετία! Το κάτω όριο αυτού του διαστήματος καθορίζεται χωρίς δυσκολία: στο βιβλίο του για τους πολυγωνικούς αριθμούς, ο Διόφαντος αναφέρει επανειλημμένα τον μαθηματικό Υψικλή της Αλεξάνδρειας, ο οποίος έζησε στα μέσα του 2ου αιώνα π.Χ. μι. Από την άλλη, στα σχόλια του Θέωνα Αλεξανδρείας προς την «Αλμαγέστη» του διάσημου αστρονόμου Πτολεμαίου, τοποθετείται απόσπασμα από το έργο του Διόφαντου. Ο Θέων έζησε στα μέσα του 4ου αιώνα μ.Χ. μι. Αυτό καθορίζει το ανώτερο όριο αυτού του διαστήματος. 500 χρόνια λοιπόν!

Οι στάχτες του Διόφαντου αναπαύονται στον τάφο. θαυμάστε την - και την πέτρα
Η ηλικία του εκλιπόντος θα μιλήσει μέσα από τη σοφή τέχνη του.
Με τη θέληση των θεών, έζησε το ένα έκτο της ζωής του ως παιδί.
Και συνάντησα πεντέμισι με χνούδι στα μάγουλα.
Ήταν μόλις η έβδομη μέρα που αρραβωνιάστηκε την κοπέλα του.
Αφού πέρασε πέντε χρόνια μαζί της, ο σοφός περίμενε τον γιο του.
Ο αγαπημένος γιος του πατέρα του έζησε μόνο τη μισή του ζωή.
Τον πήραν από τον πατέρα του από τον πρώιμο τάφο του.
Δύο φορές δύο χρόνια ο γονιός θρήνησε μια βαριά θλίψη,
Εδώ είδα το όριο της θλιβερής ζωής μου.

Το πιο μυστηριώδες όμως είναι το έργο του Διόφαντου. Έφτασαν έξι βιβλία από τα 13, τα οποία συνδυάστηκαν στην «Αριθμητική». Το ύφος και το περιεχόμενο αυτών των βιβλίων διαφέρει έντονα από τα κλασικά αρχαία έργα για τη θεωρία αριθμών και την άλγεβρα, παραδείγματα των οποίων γνωρίζουμε από τα Στοιχεία του Ευκλείδη, τα Δεδομένα του και λήμματα από τα έργα του Αρχιμήδη και του Απολλώνιου. Η «Αριθμητική» ήταν αναμφίβολα το αποτέλεσμα πολυάριθμων μελετών που παρέμεναν εντελώς άγνωστες σε εμάς. Μπορούμε μόνο να μαντέψουμε τις ρίζες του και να θαυμάσουμε τον πλούτο και την ομορφιά των μεθόδων και των αποτελεσμάτων του.

Η «Αριθμητική» του Διόφαντου είναι μια συλλογή προβλημάτων (υπάρχουν 189 συνολικά), καθένα από τα οποία είναι εξοπλισμένο με μια λύση (ή πολλές μεθόδους επίλυσης) και τις απαραίτητες εξηγήσεις. Επομένως, με την πρώτη ματιά φαίνεται ότι δεν είναι θεωρητικό έργο. Ωστόσο, μια προσεκτική ανάγνωση δείχνει ότι τα προβλήματα επιλέγονται προσεκτικά και χρησιμεύουν για την απεικόνιση πολύ συγκεκριμένων, αυστηρά μελετημένων μεθόδων. Όπως συνηθιζόταν στην αρχαιότητα, οι μέθοδοι δεν διατυπώνονται σε γενική μορφή, αλλά επαναλαμβάνονται για την επίλυση παρόμοιων προβλημάτων.

2. Αριθμοί και σύμβολα

Ο Διόφαντος ξεκινά με βασικούς ορισμούς και μια περιγραφή των συμβόλων γραμμάτων που θα χρησιμοποιήσει.

Στα κλασικά ελληνικά μαθηματικά, που βρήκε την ολοκλήρωσή τους στα Στοιχεία του Ευκλείδη, με τον αριθμό άριJμός - « αρρυθμία" ή " αρίθμος"; εξ ου και η ονομασία «αριθμητική» για την επιστήμη των αριθμών) κατανοήθηκε ως ένα σύνολο μονάδων, δηλ. ακέραιος αριθμός. Ούτε τα κλάσματα ούτε ο παραλογισμός ονομάζονταν αριθμοί. Αυστηρά μιλώντας, δεν υπάρχουν κλάσματα στα Principia. Η μονάδα θεωρείται αδιαίρετη και αντί για κλάσματα μιας μονάδας, λαμβάνονται υπόψη οι λόγοι ακεραίων αριθμών. Οι παραλογισμοί εμφανίζονται ως λόγοι ασύγκριτων τμημάτων, για παράδειγμα, ο αριθμός που συμβολίζουμε τώρα √2 ήταν για τους κλασικούς Έλληνες ο λόγος της διαγωνίου ενός τετραγώνου προς την πλευρά του. Δεν έγινε λόγος για αρνητικά νούμερα. Δεν υπήρχαν καν ισοδύναμα για αυτούς. Βρίσκουμε μια εντελώς διαφορετική εικόνα στον Διόφαντο.

Ο Διόφαντος δίνει τον παραδοσιακό ορισμό του αριθμού ως σύνολο μονάδων, αλλά αργότερα αναζητά τα προβλήματά του θετική λογικήλύσεις και ονομάζει κάθε τέτοια λύση έναν αριθμό (άριJμός - " αρρυθμία »).

Το θέμα όμως δεν σταματά εκεί. Ο Διόφαντος εισάγει τους αρνητικούς αριθμούς: τους ονομάζει τον ειδικό όρο λει̃ψις - « λείπσις" - προέρχεται από το ρήμα λει̃πω - " leipo», που σημαίνει έλλειψη, έλλειψη, ώστε ο ίδιος ο όρος να μεταφραστεί με τη λέξη «έλλειψη». Παρεμπιπτόντως, αυτό κάνει ο διάσημος Ρώσος ιστορικός της επιστήμης I. Timchenko. Ο Διόφαντος καλεί θετικό αριθμό τη λέξη ΰπαρξις - « iparxis”, που σημαίνει ύπαρξη, ύπαρξη και στον πληθυντικό αυτή η λέξη μπορεί να σημαίνει ιδιοκτησία ή ιδιοκτησία. Έτσι, η ορολογία του Διόφαντου για τους σχετικούς αριθμούς είναι παρόμοια με αυτή που χρησιμοποιήθηκε στον Μεσαίωνα στην Ανατολή και την Ευρώπη. Πιθανότατα, ήταν απλώς μια μετάφραση από τα ελληνικά στα αραβικά, τα σανσκριτικά, τα λατινικά και στη συνέχεια σε διάφορες γλώσσες της Ευρώπης.

Σημειώστε ότι ο όρος λει̃ψις είναι « λείπσις" - δεν μπορεί να μεταφραστεί ως "αφαιρούμενο", όπως κάνουν πολλοί μεταφραστές του Διόφαντου, γιατί για τη λειτουργία της αφαίρεσης ο Διόφαντος χρησιμοποιεί εντελώς διαφορετικούς όρους, δηλαδή άφελει̃ν - " αφελέιν"ή άφαιρει̃ν -" firerain", που προέρχονται από το ρήμα άφαιρεω - " afireo"- Πάρε μακριά. Όταν μετασχηματίζει εξισώσεις, ο ίδιος ο Διόφαντος χρησιμοποιεί συχνά την τυπική έκφραση «προσθήκη λει̃ψις και στις δύο πλευρές».

Μείναμε με τόση λεπτομέρεια στη φιλολογική ανάλυση του κειμένου του Διόφαντου για να πείσουμε τον αναγνώστη ότι δεν θα παρεκκλίνουμε από την αλήθεια αν μεταφράσουμε τους όρους του Διόφαντου ως «θετικούς» και «αρνητικούς».

Ο Διόφαντος διατυπώνει τον κανόνα των σημείων για τους σχετικούς αριθμούς:

"Ένα αρνητικό πολλαπλασιασμένο με ένα αρνητικό δίνει ένα θετικό, ενώ ένα αρνητικό πολλαπλασιασμένο με ένα θετικό δίνει ένα αρνητικό, και το διακριτικό πρόσημο για ένα αρνητικό είναι ένα ανεστραμμένο και συντομευμένο (γράμμα) ψ."

«Αφού σας εξήγησα τον πολλαπλασιασμό, η διαίρεση των προτεινόμενων όρων γίνεται επίσης σαφής. Τώρα θα είναι καλό να αρχίσουμε να εξασκούμε την πρόσθεση, την αφαίρεση και τον πολλαπλασιασμό τέτοιων όρων. Προσθέστε θετικούς και αρνητικούς όρους με διαφορετικούς συντελεστές σε άλλους όρους που είναι είτε θετικοί είτε εξίσου θετικοί και αρνητικοί, και από θετικούς και άλλους αρνητικούς όρους αφαιρέστε άλλους θετικούς και εξίσου θετικούς και αρνητικούς όρους.»

Σημειώστε ότι αν και ο Διόφαντος αναζητά μόνο ορθολογικές θετικές λύσεις, στους ενδιάμεσους υπολογισμούς χρησιμοποιεί πρόθυμα αρνητικούς αριθμούς.

Μπορούμε λοιπόν να σημειώσουμε ότι ο Διόφαντος επέκτεινε το αριθμητικό πεδίο σε ένα πεδίο ρητών αριθμών στο οποίο και οι τέσσερις αριθμητικές πράξεις μπορούν να εκτελεστούν χωρίς εμπόδια.

3. Διοφαντική εξίσωση

Ορισμός - αλγεβρικές εξισώσεις ή συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων με ακέραιους συντελεστές, που έχουν αριθμό αγνώστων που υπερβαίνουν τον αριθμό των εξισώσεων και για τις οποίες αναζητούνται ακέραιοι ή ορθολογικές λύσεις.

τσεκούρι + με = 1

Οπου ΕΝΑΚαι σι- ακέραιοι συνυπάρχοντες

Συμπρώτοι αριθμοίαρκετοί ακέραιοι έτσι ώστε οι κοινοί διαιρέτες για όλους αυτούς τους αριθμούς να είναι μόνο + 1 και - 1. Το μικρότερο πολλαπλάσιο ενός ζεύγους πρώτων αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο τους.

έχει άπειρες λύσεις:

Αν x0Και y0- μια λύση και μετά οι αριθμοί

Χ = x0 + bn

στο = y0 -ένα

(n- οποιοσδήποτε ακέραιος) θα είναι επίσης λύσεις.

Ένα άλλο παράδειγμα του D. u.

x2 + y2 = z2

Οι θετικές ακέραιες λύσεις αυτής της εξίσωσης αντιπροσωπεύουν τα μήκη των ποδιών Χ , στοκαι υποτείνουσα zορθογώνια τρίγωνα με ακέραια μήκη πλευρών ονομάζονται Πυθαγόρειοι αριθμοί.

τριπλάσια φυσικών αριθμών έτσι ώστε ένα τρίγωνο του οποίου τα μήκη πλευρών είναι ανάλογα (ή ίσα) με αυτούς τους αριθμούς να είναι ορθογώνιο.

Όλες οι τριπλέτες συνπρώτων Πυθαγόρειων αριθμών μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας τους τύπους

Χ = m2 - n2

στο = 2μν

z = m2 + n2

Οπου ΜΚαι n- ολόκληροι αριθμοί ( Μ > n > 0).

Αυτή η εξίσωση ορίζεται στο επίπεδο R 2 αλγεβρικός καμπύληΓ. Θα ονομάσουμε την ορθολογική λύση (2) λογικό σημείοκαμπύλη Γ. Στη συνέχεια θα καταφύγουμε συχνά στη γλώσσα της γεωμετρίας, αν και ο ίδιος ο Διόφαντος δεν τη χρησιμοποιεί πουθενά. Ωστόσο, η γεωμετρική γλώσσα έχει γίνει πλέον τόσο αναπόσπαστο μέρος της μαθηματικής σκέψης που πολλά γεγονότα θα είναι ευκολότερα κατανοητά και εξηγούνται με τη βοήθειά της.

Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να δώσουμε κάποια ταξινόμηση των εξισώσεων (2) ή, που είναι το ίδιο, των αλγεβρικών καμπυλών. Το πιο φυσικό και πιο πρώιμο που προέκυψε είναι η ταξινόμησή τους κατά παραγγελία.

Να σας το υπενθυμίσουμε για ναΗ καμπύλη (2) είναι η μέγιστη τάξη των όρων του πολυωνύμου φά (Χ , y), όπου η σειρά ενός όρου νοείται ως το άθροισμα των δυνάμεων στο ΧΚαι y. Η γεωμετρική έννοια αυτής της έννοιας είναι ότι μια ευθεία γραμμή τέμνει μια καμπύλη τάξης nακριβώς στο nσημεία. Κατά την καταμέτρηση σημείων, πρέπει φυσικά να ληφθεί υπόψη η πολλαπλότητα των σημείων τομής, καθώς και τα πολύπλοκα και «απείρως απομακρυσμένα» σημεία. Έτσι, για παράδειγμα, ένας κύκλος Χ 2 + y 2 = 1 και ευθεία Χ + y= 2 τέμνονται σε δύο μιγαδικά σημεία, και η υπερβολή Χ 2 – y 2 = 1 και ευθεία y =Χ- σε δύο σημεία στο άπειρο, η ίδια υπερβολή με ευθεία γραμμή ΧΤο =1 έχει ένα κοινό σημείο πολλαπλότητας 2.

Ωστόσο, για τους σκοπούς διοφαντική ανάλυση(αυτό το όνομα δόθηκε στον τομέα των μαθηματικών που προέκυψε από τα προβλήματα επίλυσης απροσδιόριστων εξισώσεων· ωστόσο, τώρα ονομάζεται πιο συχνά Διοφαντική γεωμετρία) η ταξινόμηση κατά σειρά αποδείχθηκε πολύ σκληρή.

Ρύζι. 1.

Ας το εξηγήσουμε αυτό με ένα παράδειγμα. Ας δοθεί ένας κύκλος ντο : Χ 2 + y 2 = 1 και οποιαδήποτε ευθεία με ορθολογικούς συντελεστές, για παράδειγμα, μεγάλο : y=0. Ας δείξουμε ότι τα ορθολογικά σημεία αυτού του κύκλου και της ευθείας μπορούν να τεθούν σε αντιστοιχία ένα προς ένα. Αυτό μπορεί να γίνει, για παράδειγμα, ως εξής: διορθώστε το σημείο ΕΝΑ(0,–1) κύκλοι και αντιστοιχίστε κάθε ορθολογικό σημείο σιευθεία μεγάλοσημείο ΣΙ"κύκλος ντο, που βρίσκεται στη διασταύρωση ντοκαι ευθεία ΑΒ(Εικ. 1). Ότι οι συντεταγμένες του σημείου ΣΙ"θα είναι ορθολογικό, θα αφήσουμε τον αναγνώστη να το αποδείξει μόνος του ή θα διαβάσει μια παρόμοια απόδειξη από τον Διόφαντο (θα παρουσιαστεί στην επόμενη παράγραφο). Προφανώς, η ίδια αντιστοιχία μπορεί να καθοριστεί μεταξύ των ορθολογικών σημείων οποιασδήποτε κωνικής τομής, εάν τουλάχιστον ένα ορθολογικό σημείο βρίσκεται πάνω της, και μιας ορθολογικής γραμμής. Βλέπουμε ότι από τη σκοπιά της Διοφαντινής ανάλυσης ο κύκλος ντοκαι ευθεία μεγάλοείναι δυσδιάκριτα: τα σύνολα των ορθολογικών λύσεών τους είναι ισοδύναμα. Και αυτό παρά το γεγονός ότι οι τάξεις και των δύο καμπυλών είναι διαφορετικές.

Πιο λεπτή είναι η ταξινόμηση των αλγεβρικών καμπυλών ανά γένος, η οποία εισήχθη μόλις τον 19ο αιώνα από τους Abel και Riemann. Αυτή η ταξινόμηση λαμβάνει υπόψη τον αριθμό των μοναδικών σημείων της καμπύλης Γ.

Υποθέτουμε ότι στην εξίσωση (2) της καμπύλης Γ το πολυώνυμο φά (Χ , y) είναι μη αναγώγιμη στο πεδίο των ρητών αριθμών, δηλ. δεν επεκτείνεται σε γινόμενο πολυωνύμων με ορθολογικούς συντελεστές. Ως γνωστόν, η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης Γ στο σημείο Π (Χ 0 , y 0) θα

y – y 0 = κ (Χ – Χ 0),

κ = –

fx" (Χ 0 , y 0)

fy" (Χ 0 , y 0)

Αν στο σημείο Ππαράγωγο fx"ή fy"είναι διαφορετικό από το μηδέν, τότε η κλίση κη εφαπτομένη έχει μια πολύ συγκεκριμένη σημασία (αν fy" (Χ 0 , y 0) = 0, α fx" (Χ 0 , y 0) ≠ 0, τότε κ=∞ και εφαπτομένη στο Πθα είναι κάθετη).

Αν στο σημείο Πκαι τα δύο μερικά παράγωγα εξαφανίζονται,

fx" (Χ 0 , y 0) = 0 και fy" (Χ 0 , y 0) = 0,

μετά το σημείο Ππου ονομάζεται ειδικός .

Για παράδειγμα, στην καμπύλη y 2 = Χ 2 + ΧΟι 3 βαθμοί (0, 0) θα είναι ξεχωριστοί, αφού σε αυτό fx" = –2Χ – 3Χ 2 και fy" = 2yπάει στο μηδέν.

Ρύζι. 2.

Τα απλούστερα ενικά σημεία είναι τα διπλά, στα οποία τουλάχιστον μία από τις παραγώγους f xx "" , f xy ""Και στ εε ""είναι διαφορετικό από το μηδέν. Στο Σχ. Το σχήμα 2 δείχνει ένα διπλό σημείο όπου η καμπύλη έχει δύο διαφορετικές εφαπτόμενες. Άλλα πιο σύνθετα μοναδικά σημεία φαίνονται στο Σχ. 3.

Ρύζι. 3.

4. Λύσεις

Κανόνας 1. Αν το c δεν διαιρείται με το d, τότε η εξίσωση ax + vy = c δεν έχει λύσεις σε ακέραιους αριθμούς. Ν.Ο.Δ.(α,β) = δ.

Κανόνας 2. Για να βρείτε μια λύση στην εξίσωση ax + vy = c με συμπρωτάρη a και b, πρέπει πρώτα να βρείτε μια λύση (X o; y o) στην εξίσωση ax + y = 1. οι αριθμοί CX o, Su o σχηματίζουν λύση της εξίσωσης ax + vy = c.

Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς (x,y)

5x - 8y = 19 ... (1)

Πρώτος τρόπος. Εύρεση συγκεκριμένης λύσης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επιλογής και καταγραφή της γενικής λύσης.

Γνωρίζουμε ότι αν Ν.Ο.Δ.(α;β) =1, δηλ. Οι α και β είναι συμπρώιμοι αριθμοί και μετά η εξίσωση (1)

έχει λύση στους ακέραιους x και y. Ν.Ο.Δ.(5;8) =1. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επιλογής βρίσκουμε μια συγκεκριμένη λύση: X o = 7; y o =2.

Άρα, το ζεύγος των αριθμών (7;2) είναι μια συγκεκριμένη λύση στην εξίσωση (1).

Αυτό σημαίνει ότι ισχύει η ισότητα: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 ... (2)

Ερώτηση: Πώς, δίνοντας μια λύση, γράφετε όλες τις άλλες λύσεις;

Ας αφαιρέσουμε την ισότητα (2) από την εξίσωση (1) και πάρουμε: 5(x -7) – 8(y - 2) =0.

Άρα x – 7 = . Από την προκύπτουσα ισότητα είναι σαφές ότι ο αριθμός (x – 7) θα είναι ακέραιος εάν και μόνο αν (y – 2) διαιρείται με το 5, δηλ. y – 2 = 5n, όπου n είναι κάποιος ακέραιος αριθμός. Άρα, y = 2 + 5n, x = 7 + 8n, όπου n Z.

Έτσι, όλες οι ακέραιες λύσεις της αρχικής εξίσωσης μπορούν να γραφτούν με την ακόλουθη μορφή:

Δεύτερος τρόπος . Επίλυση εξίσωσης για έναν άγνωστο.

Λύνουμε αυτήν την εξίσωση ως προς τον άγνωστο που έχει το μικρότερο (modulo) συντελεστή. 5x - 8y = 19 x = .

Τα υπόλοιπα όταν διαιρούνται με το 5: 0,1,2,3,4. Ας αντικαταστήσουμε αυτούς τους αριθμούς με το y.

Αν y = 0, τότε x = =.

Αν y = 1, τότε x = =.

Αν y = 2, τότε x = = = 7 Z.

Αν y = 3, τότε x = =.

Αν y = 4 τότε x = =.) συμπέρασμα

Εν τω μεταξύ, οι περισσότεροι ιστορικοί της επιστήμης, σε αντίθεση με τους μαθηματικούς, έχουν μέχρι στιγμής υποτιμήσει τα έργα του Διόφαντου. Πολλοί από αυτούς πίστευαν ότι ο Διόφαντος περιοριζόταν στην εύρεση μόνο μιας λύσης και χρησιμοποιούσε τεχνητές τεχνικές για αυτό, διαφορετικές για διαφορετικά προβλήματα. Αλλά στην πραγματικότητα, στις περισσότερες Διοφαντικές εξισώσεις παρατηρούμε παρόμοιους αλγόριθμους λύσης.

Σήμερα, όπως βλέπουμε, υπάρχουν πολλές διαφορετικές λύσεις, οι αλγόριθμοι των οποίων είναι εύκολο να θυμόμαστε. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, αυτή η εξίσωση βρίσκεται συνήθως στην εργασία C6 στις Εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους. Η μελέτη αλγορίθμων για την επίλυση εξισώσεων Διοφαντίνης μπορεί να βοηθήσει στην επίλυση αυτής της εργασίας, η οποία αξίζει έναν σημαντικό αριθμό πόντων.

Βιβλιογραφία

1. Διόφαντος Αλεξανδρείας. Αριθμητική και βιβλίο για τους πολυγωνικούς αριθμούς (μετάφραση από τα αρχαία ελληνικά Ι. Ν. Βεσελόφσκι· επιμέλεια και σχόλια Ι. Γ. Μπασμάκοβα). Μ., «Επιστήμη», 1974.

2. B. L. Van der Waerden, Awakening Science (μετάφραση I. N. Veselovsky). M., Fizmatgiz, 1959.

3. G. G. Tseyten, Ιστορία των μαθηματικών στην αρχαιότητα και τον Μεσαίωνα (μετάφραση P. Yushkevich). M.–L., Gostekhizdat, 1932

4. A. V. Vasiliev, Ακέραιος. Πετρούπολη, 1919

5. I. V. Yashchenko, S. A. Shestakov, P. I. Zakharov, Mathematics, Unified State Examination, MTsNMO, 2010

Συντελεστές των οποίων οι λύσεις πρέπει να βρεθούν μεταξύ ακεραίων.

Διόφαντος Αλεξανδρείας
Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς

Ημερομηνια γεννησης	όχι νωρίτερα και όχι αργότεραή
Τόπος γέννησης	Αλεξανδρεία, Αίγυπτος
Ημερομηνία θανάτου	όχι νωρίτερα και όχι αργότερα
Μια χώρα	Αρχαία Ρώμη
Επιστημονικό πεδίο	θεωρία αριθμών
Γνωστός ως	"πατέρας της άλγεβρας"
Διόφαντος Αλεξανδρείας στο Wikimedia Commons

Βιογραφία

Ισοδυναμεί με την επίλυση της ακόλουθης εξίσωσης:

x = x 6 + x 12 + x 7 + 5 + x 2 + 4 (\displaystyle x=(\frac (x)(6))+(\frac (x)(12))+(\frac (x) (7))+5+(\frac (x)(2))+4)

Αυτή η εξίσωση δίνει x = 84 (\displaystyle x=84), δηλαδή η ηλικία του Διόφαντου ισούται με 84 έτη. Ωστόσο, η ακρίβεια των πληροφοριών δεν μπορεί να επιβεβαιωθεί.

ΑριθμητικήΔιόφαντα

Το κύριο έργο του Διόφαντου - Αριθμητικήσε 13 βιβλία. Δυστυχώς, μόνο 6 (ή 10, βλέπε παρακάτω) από τα πρώτα 13 βιβλία έχουν διασωθεί.

Ο Διόφαντος δεν έχει πρόσθετο πρόσημο: απλώς γράφει θετικούς όρους ο ένας δίπλα στον άλλο σε φθίνουσα σειρά βαθμού και σε κάθε όρο γράφεται πρώτα ο βαθμός του αγνώστου και μετά ο αριθμητικός συντελεστής. Οι αφαιρούμενοι όροι γράφονται επίσης δίπλα δίπλα και ένα ειδικό σημάδι με τη μορφή ανεστραμμένου γράμματος Ψ τοποθετείται μπροστά από ολόκληρη την ομάδα τους. Το πρόσημο ίσον αντιπροσωπεύεται από δύο γράμματα ἴσ (σύντομη για ἴσος - «ίσο»).

Το μεγαλύτερο μέρος του έργου είναι μια συλλογή προβλημάτων με λύσεις (υπάρχουν συνολικά 189 στα έξι σωζόμενα βιβλία, μαζί με τα τέσσερα από το αραβικό μέρος - 290), επιλεγμένα επιδέξια για την απεικόνιση γενικών μεθόδων. Κύρια προβλήματα Αριθμητική- εύρεση θετικών ορθολογικών λύσεων σε αβέβαιες εξισώσεις. Οι ορθολογικοί αριθμοί αντιμετωπίζονται από τον Διόφαντο με τον ίδιο τρόπο με τους φυσικούς αριθμούς, κάτι που δεν είναι χαρακτηριστικό για τους αρχαίους μαθηματικούς.

Πρώτον, ο Διόφαντος εξετάζει συστήματα εξισώσεων δεύτερης τάξης σε δύο άγνωστα. καθορίζει μια μέθοδο για την εύρεση άλλων λύσεων εάν είναι ήδη γνωστή. Στη συνέχεια εφαρμόζει παρόμοιες μεθόδους σε εξισώσεις υψηλότερων βαθμών. Το βιβλίο VI εξετάζει προβλήματα που σχετίζονται με ορθογώνια τρίγωνα με ορθολογικές πλευρές.

Επιρροή Αριθμητικήγια την ανάπτυξη των μαθηματικών

Τον 10ο αιώνα Αριθμητικήμεταφράστηκε στα αραβικά (βλ. Kusta ibn Luka), μετά από την οποία μαθηματικοί από τις ισλαμικές χώρες (Abu Kamil και άλλοι) συνέχισαν ορισμένες από τις έρευνες του Διόφαντου. Στην Ευρώπη, ενδιαφέρον για Αριθμητικήαυξήθηκε αφότου ο Raphael Bombelli μετέφρασε και δημοσίευσε αυτό το έργο στα λατινικά και δημοσίευσε 143 προβλήματα από αυτό στο δικό του Αλγεβρα(1572). Το 1621, εμφανίστηκε μια κλασική, λεπτομερώς σχολιασμένη λατινική μετάφραση Αριθμητική, που εκτελέστηκε από τον Bachet de Meziriac.

Οι μέθοδοι του Διόφαντου επηρέασαν πολύ τους Φρανσουά Βιέτ και Πιερ Φερμά. Ωστόσο, στη σύγχρονη εποχή, οι αόριστες εξισώσεις συνήθως λύνονται σε ακέραιους και όχι σε ορθολογικούς αριθμούς, όπως έκανε ο Διόφαντος. Όταν ο Pierre Fermat διάβασε την Αριθμητική του Διόφαντου, που επιμελήθηκε ο Bachet de Mezyriac, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι μια από τις εξισώσεις παρόμοιες με αυτές που εξέτασε ο Διόφαντος δεν είχε λύσεις σε ακέραιους αριθμούς και σημείωσε στο περιθώριο ότι είχε βρει «μια πραγματικά υπέροχη απόδειξη αυτό το θεώρημα… ωστόσο, τα περιθώρια του βιβλίου είναι πολύ στενά για να το συμπεριλάβουν». Αυτή η δήλωση είναι τώρα γνωστή ως το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά.

Τον 20ο αιώνα ανακαλύφθηκε το αραβικό κείμενο τεσσάρων ακόμη βιβλίων με το όνομα Διόφαντος. Αριθμητική. Ο I. G. Bashmakova και ο E. I. Slavutin, έχοντας αναλύσει αυτό το κείμενο, διατύπωσαν μια υπόθεση ότι ο συγγραφέας του δεν ήταν ο Διόφαντος, αλλά ένας σχολιαστής έμπειρος στις μεθόδους του Διόφαντου, πιθανότατα η Υπατία. Ωστόσο, το σημαντικό κενό στη μεθοδολογία για την επίλυση προβλημάτων στα τρία πρώτα και τρία τελευταία βιβλία καλύπτεται καλά από τέσσερα βιβλία αραβικής μετάφρασης. Αυτό μας αναγκάζει να επανεξετάσουμε τα αποτελέσματα προηγούμενων μελετών. . [ ]

Άλλα έργα του Διόφαντου

Βιβλίο Διοφάντου Πορισμοίγνωστό μόνο από μερικά θεωρήματα που χρησιμοποιούνται σε Αριθμητική.

δείτε επίσης

Collection Budé» (εκδόθηκαν 2 τόμοι: Βιβλία 4 - 7).

Ερευνα:

Bashmakova I. G., Slavutin E. I., Rosenfeld B. A.Αραβική έκδοση της «Αριθμητικής» του Διόφαντου // Ιστορικές και μαθηματικές μελέτες. - Μ., 1978. - Τεύχος. XXIII. - Σελ. 192 - 225.
Μπασμάκοβα Ι. Γ.Αριθμητική αλγεβρικών καμπυλών: (Από τον Διόφαντο στον Πουανκαρέ) // Ιστορικές και μαθηματικές μελέτες. - 1975. - Τεύχος. 20. - σελ. 104 - 124.
Μπασμάκοβα Ι. Γ.Εξισώσεις Διόφαντου και Διοφάντου. - Μ.: Ναούκα, 1972 (Ανατύπωση: Μ.: ΛΚΙ, 2007). Ανά. Σε αυτόν. Γλώσσα: Diophant und diophantische Gleichungen. - Βασιλεία Στουτγάρδη: Birkhauser, 1974. Μετάφρ. Στα Αγγλικά. Γλώσσα: Διόφαντος και Διοφαντικές Εξισώσεις/ Μετάφρ. από τον A. Shenitzer με τη συντακτική βοήθεια του H. Grant και ενημέρωση από τον J. Silverman // The Dolciani Mathematical Expositions. - No. 20. - Washington, DC: Mathematical Association of America, 1997.
Μπασμάκοβα Ι. Γ.Διόφαντος και Φερμά: (Για την ιστορία της μεθόδου των εφαπτομένων και των ακρών) // Ιστορικές και μαθηματικές μελέτες. - Μ., 1967. - Τεύχος. VII. - Σελ. 185 - 204.
Bashmakova I. G., Slavutin E. I.Ιστορία της Διοφαντικής ανάλυσης από τον Διόφαντο έως τον Φερμά. - Μ.: Nauka, 1984.
Ιστορία των μαθηματικών από την αρχαιότητα έως τις αρχές του 19ου αιώνα. - Τ. Ι: Από τα αρχαιότερα. φορές πριν από την έναρξη της Νέας Εποχής. ώρα / Εκδ. A. P. Yushkevich. - Μ., Ναούκα, 1970.
Slavutin E. I.Η άλγεβρα του Διόφαντου και η προέλευσή της // Ιστορικές και μαθηματικές μελέτες. - Μ., 1975. - Τεύχος. 20. - σελ. 63 - 103.
Shchetnikov A. I.Μπορεί το βιβλίο του Διόφαντου Αλεξανδρείας «Περί πολυγωνικών αριθμών» να ονομαστεί καθαρά αλγεβρικό; // Ιστορική και μαθηματική έρευνα. - Μ., 2003. - Τεύχος. 8 (43). - σελ. 267 - 277.
Heath Th. ΜΕΓΑΛΟ.Διόφαντος Αλεξανδρείας, Μελέτη στην Ιστορία της Ελληνικής Άλγεβρας. - Cambridge, 1910 (Αναπ.: NY, 1964).
Knorr W. R. Arithmktikê stoicheiôsis: Περί Διόφαντου και Ήρωα της Αλεξάνδρειας // Historia Mathematica. - 20. - 1993. - Σ. 180 - 192.
Χριστιανίδης Τζ.Ο τρόπος του Διόφαντου: Μερικές διευκρινίσεις για τη μέθοδο επίλυσης του Διόφαντου // Historia Mathematica. - 34. - 2007. - Σ. 289 - 305.
Rashed R., Houzel C. Les Arithmétiques de Diophante. Lecture historique et mathématique . - De Gruyter, 2013.

Περίληψη: Διόφαντος. Διοφαντικές εξισώσεις. Βιογραφία του Διόφαντου Δείτε τι είναι το «Διόφαντος ο Αλεξανδρινός» σε άλλα λεξικά

Περίληψη: Διόφαντος. Διοφαντικές εξισώσεις. Βιογραφία του Διόφαντου Δείτε τι είναι το «Διόφαντος ο Αλεξανδρινός» σε άλλα λεξικά

Βιογραφία

ΑριθμητικήΔιόφαντα

Άλλα έργα του Διόφαντου

Βιβλιογραφία

Δείτε τι είναι το «Διόφαντος Αλεξανδρείας» σε άλλα λεξικά:

Βιογραφία

Αριθμητική Διοφάντου

Εισαγωγή

Βιογραφία Διοφάντου

Βιογραφία

ΑριθμητικήΔιόφαντα

Επιρροή Αριθμητικήγια την ανάπτυξη των μαθηματικών

Άλλα έργα του Διόφαντου

δείτε επίσης