Ak je počet vydelený nekonečnom, potom bude mať kvocient tendenciu k nule? Pokračovalo sa dovnútra a dostala lepšia odpoveď
Odpoveď od Olenky [nováčik]
všetkých 0
Krab Bark
Oracle
(56636)
Nie. Presná nula. Pretože deliteľ má sklon k nekonečnu, bude mať kvocient tendenciu k nule. A ak nedelíme číslom smerujúcim k nekonečnu, ale samotným nekonečnom (mimochodom, presnejšie povedané, oficiálne sa to vôbec nepovažuje za číslo, ale považuje sa to za špeciálny symbol doplňujúci označenia čísel) - presne nula .
Odpoveď od Augeus Vladimír[guru]
Nula, aj keď vynásobíte ľubovoľným číslom, bude stále nulová!
Odpoveď od 1 23
[guru]
ak má nejaký hovno tendenciu k nule, potom je vynásobenie niečím konečným (počtom alebo obmedzenou funkciou) zbytočné, patamu, že všetko-rna ana má tendenciu k nule.
ale ak to vynásobíte tým, čo sa snaží o nekonečnosť, môžu existovať možnosti.
Odpoveď od Krab Bark[guru]
Po vydelení nekonečnom bude akékoľvek číslo nulové. Presná nula, žiadne „ísť na nulu“. A potom, akýmkoľvek číslom ho vynásobíte, nula. A výsledok delenia nuly akýmkoľvek iným číslom ako nulou bude nulový, iba pri delení nuly nulou sa neurčí výsledok, ako bude ľubovoľné číslo vhodné ako kvocient.
Mnoho ľudí si veľmi často kladie otázku, prečo nemožno použiť delenie nulou? V tomto článku si veľmi podrobne povieme o tom, odkiaľ toto pravidlo pochádza, a tiež o tom, aké akcie je možné vykonať s nulou.
V kontakte s
Nulu možno nazvať jedným z najzaujímavejších čísel. Tento údaj nemá žiadny význam, znamená to prázdnotu v doslovnom zmysle slova. Ak však dáte k akejkoľvek číslici nulu, hodnota tejto číslice sa niekoľkonásobne zvýši.
Číslo je samo o sebe veľmi záhadné. Používali ho starí Mayovia. V Mayoch znamenala nula „začiatok“ a odpočítavanie kalendárnych dní sa tiež začalo od nuly.
Veľmi zaujímavým faktom je, že znak nuly a znak neistoty boli medzi nimi podobné. Týmto Mayovia chceli dokázať, že nula je rovnaké identické znamenie ako neistota. V Európe sa označenie pre nulu objavilo pomerne nedávno.
Mnoho ľudí tiež pozná zákaz spojený s nulou. To povie ktokoľvek nemôžete deliť nulou... Toto hovoria učitelia v škole a deti si za to väčšinou vezmú slovo. Deti zvyčajne jednoducho nemajú záujem to vedieť, alebo vedia, čo sa stane, ak sa po vypočutí dôležitého zákazu okamžite opýtajú: „Prečo nemôžete deliť nulou?“. Ale keď zostarnete, potom sa záujem prebudí a ja sa chcem dozvedieť viac o dôvodoch takéhoto zákazu. Existujú však opodstatnené dôkazy.
Nulové akcie
Najprv musíte určiť, aké akcie môžete vykonať s nulou. Existuje niekoľko druhov akcií:
- Sčítanie;
- Násobenie;
- Odčítanie;
- Delenie (nula podľa počtu);
- Umocnenie.
Dôležité!Ak počas pridávania k ľubovoľnému číslu pridáte nulu, potom toto číslo zostane rovnaké a nezmení svoju číselnú hodnotu. To isté sa stane, ak sa od ľubovoľného čísla odpočíta nula.
S násobením a delením je to trochu inak. Ak vynásobte ľubovoľné číslo nulou, potom sa produkt tiež stane nulovým.
Uvažujme príklad:
Napíšme to ako dodatok:
Celkovo je pridaných päť núl, takže sa ukázalo, že
Pokúsme sa vynásobiť jednu nulou... Výsledok bude tiež nulový.
Nulu možno tiež vydeliť ľubovoľným iným číslom, ktoré sa jej nerovná. V tomto prípade sa to ukáže, ktorého hodnota bude tiež nulová. Rovnaké pravidlo platí aj pre záporné čísla. Ak je nula vydelená záporným číslom, dostanete nulu.
Môžete tiež vytvoriť ľubovoľné číslo na nultý stupeň... V takom prípade získate 1. Je dôležité mať na pamäti, že výraz „nula až nula“ je absolútne nezmyselný. Ak sa pokúsite zvýšiť nulu na ľubovoľnú mocnosť, dostanete nulu. Príklad:
Pomocou pravidla násobenia dostaneme 0.
Je teda možné deliť nulou
Takže a tu sa dostávame k hlavnej otázke. Môžete deliť nulou všeobecne? A prečo nie je možné vydeliť číslo nulou, keďže všetky ostatné akcie s nulou existujú a sú uplatnené? Ak chcete odpovedať na túto otázku, musíte sa obrátiť na vyššiu matematiku.
Začnime definíciou pojmu, čo je nula? Učitelia na školách tvrdia, že nula nie je nič. Prázdnota. To znamená, že keď hovoríte, že máte 0 pier, znamená to, že nemáte vôbec žiadne perá.
Vo vyššej matematike je pojem „nula“ širší. Vôbec to neznamená prázdnotu. Tu sa nula nazýva neistota, pretože ak urobíte malý prieskum, ukáže sa, že keď sa nula vydelí nulou, môžeme vo výsledku dostať akékoľvek iné číslo, ktoré nemusí byť nevyhnutne nulové.
Vedeli ste, že tie jednoduché aritmetické operácie, ktoré ste študovali v škole, si medzi sebou nie sú také rovnaké? Najzákladnejšie akcie sú sčítanie a množenie.
Pre matematikov neexistuje nič ako „“ a „odčítanie“. Povedzme: ak odpočítate tri od piatich, potom budú dva. Takto vyzerá odčítanie. Matematici to však budú písať takto:
Ukazuje sa teda, že neznámy rozdiel je určité číslo, ktoré je potrebné pridať k číslu 3, aby ste dostali 5. To znamená, že nemusíte nič odpočítavať, stačí nájsť vhodné číslo. Toto pravidlo platí pre sčítanie.
Veci sa trochu líšia pravidlá násobenia a delenia.Je známe, že vynásobenie nulou vedie k nulovému výsledku. Napríklad ak 3: 0 \u003d x, potom ak záznam otočíte, dostanete 3 * x \u003d 0. A číslo, ktoré sa vynásobí číslom 0, dá v produkte nulu. Ukázalo sa, že číslo, ktoré by dalo v produkte s nulou akúkoľvek inú hodnotu ako nulu, neexistuje. To znamená, že delenie nulou nemá zmysel, to znamená, že zodpovedá nášmu pravidlu.
Čo sa však stane, ak sa pokúsite rozdeliť nulu sama od seba? Vezmime ako x nejaké neurčité číslo. Rovnica je 0 * x \u003d 0. Dá sa to vyriešiť.
Ak sa pokúsime vziať nulu namiesto x, dostaneme 0: 0 \u003d 0. Zdalo by sa to logické? Ak sa ale pokúsime namiesto X vziať akékoľvek iné číslo, napríklad 1, potom skončíme s 0: 0 \u003d 1. Rovnaká situácia bude, ak si vezmete akékoľvek iné číslo a dosaďte to do rovnice.
V tomto prípade sa ukáže, že ako faktor môžeme brať akékoľvek iné číslo. Výsledkom bude nekonečná paleta rôznych čísel. Niekedy predsa len má delenie 0 vo vyššej matematike zmysel, ale potom sa zvyčajne objaví určitá podmienka, vďaka ktorej si stále môžeme zvoliť jedno vhodné číslo. Táto akcia sa nazýva „zverejnenie neistoty“. V bežnej aritmetike delenie nulou opäť stráca zmysel, pretože zo sady nemôžeme zvoliť jedno číslo.
Dôležité!Nulu nemožno deliť nulou.
Nula a nekonečno
Nekonečno je vo vyššej matematike veľmi časté. Pretože pre školákov jednoducho nie je dôležité vedieť, že stále existujú matematické operácie s nekonečnosťou, učitelia nemôžu deťom vysvetliť, prečo je delenie nulou nemožné.
Študenti sa začínajú učiť základné matematické tajomstvá až v prvom ročníku ústavu. Vyššia matematika poskytuje veľké množstvo problémov, ktoré nemajú riešenie. Najznámejšie problémy sú problémy s nekonečnosťou. Dajú sa vyriešiť pomocou matematická analýza.
Môžete tiež požiadať o nekonečno základné matematické operácie:sčítanie, násobenie číslom. Zvyčajne sa stále používa odčítanie a delenie, ale nakoniec sa predsa len zredukujú na dve jednoduché operácie.
Čo sa však stane ak skúsiš:
- Nekonečno krát nula. Teoreticky, ak sa pokúsime vynásobiť ľubovoľné číslo nulou, dostaneme nulu. Ale nekonečno je neurčitá množina čísel. Pretože z tejto množiny nemôžeme zvoliť jedno číslo, výraz ∞ * 0 nemá riešenie a je absolútne nezmyselný.
- Nula delená nekonečnom. Tu sa odohráva rovnaký príbeh ako vyššie. Nemôžeme si zvoliť jedno číslo, čo znamená, že nevieme, čím by sme ich vydelili. Výraz nedáva zmysel.
Dôležité!Nekonečno sa trochu líši od neistoty! Nekonečno je druh neistoty.
Teraz sa pokúsme rozdeliť nekonečno na nulu. Zdá sa, že by mala existovať neistota. Ale ak sa pokúsime nahradiť delenie násobením, dostaneme veľmi jednoznačnú odpoveď.
Napríklad: ∞ / 0 \u003d ∞ * 1/0 \u003d ∞ * ∞ \u003d ∞.
Dopadne to takto matematický paradox.
Odpoveď, prečo nemôžete deliť nulou
Myšlienkový experiment, pokus o vydelenie nulou
Výkon
Takže teraz vieme, že nula sa podriaďuje takmer všetkým operáciám, s ktorými sa vykonáva, okrem jednej jedinej. Nemôžete deliť nulou len preto, že výsledkom je neistota. Tiež sme sa naučili, ako vykonávať akcie s nulou a nekonečnom. Výsledkom týchto opatrení bude neistota.
Derivácia funkcie neklesá príliš ďaleko a v prípade pravidiel spoločnosti L'Hôpital padá úplne rovnakým smerom ako pôvodná funkcia. Táto okolnosť pomáha pri zverejňovaní neistôt tvaru 0/0 alebo ∞ / ∞ a niektorých ďalších neistôt, ktoré vznikajú pri výpočte limit pomer dvoch nekonečne malých alebo nekonečne veľkých funkcií. Výpočet je pomocou tohto pravidla (v skutočnosti dvoch pravidiel a poznámok k nim) značne zjednodušený:
Ako ukazuje vyššie uvedený vzorec, pri výpočte limitu pomeru dvoch nekonečne malých alebo nekonečne veľkých funkcií možno limit pomeru dvoch funkcií nahradiť hranicou ich pomeru deriváty a tým získať určitý výsledok.
Prejdime k presnejším formuláciám pravidiel spoločnosti L'Hôpital.
Pravidlo spoločnosti L'Hôpital pre prípad limitu dvoch nekonečne malých množstiev... Nechajte funkcie f(x) a g(x a... A v samom bode a a derivácia funkcie g(x) sa nerovná nule ( g"(x a sú si navzájom rovné a rovné nule:
.
Pravidlo spoločnosti L'Hôpital pre prípad limitu dvoch nekonečne veľkých množstiev... Nechajte funkcie f(x) a g(x) majú derivácie (tj. diferencovateľné) v nejakom susedstve bodu a... A v samom bode a môžu, ale nemusia mať deriváty. Navyše v blízkosti bodu a derivácia funkcie g(x) sa nerovná nule ( g"(x) ≠ 0) a limity týchto funkcií ako x majú tendenciu k hodnote funkcie v bode a sú si navzájom rovné a rovné nekonečnu:
.
Potom sa hranica pomeru týchto funkcií rovná hranici pomeru ich derivátov:
Inými slovami, pre neurčitosti tvaru 0/0 alebo ∞ / ∞ sa hranica pomeru dvoch funkcií rovná limitu pomeru ich derivácií, ak druhá existuje (konečná, to znamená rovná sa určité číslo alebo nekonečno, to znamená rovnaké ako nekonečno).
Poznámky.
1. Pravidlá spoločnosti L'Hôpital sa uplatňujú aj na funkcie f(x) a g(x) nie sú definované pre x = a.
2. Ak pri výpočte limitu pomeru derivácií funkcií f(x) a g(x) opäť prichádzame k neistote tvaru 0/0 alebo ∞ / ∞, potom by sa pravidlá L'Hôpital mali uplatňovať viackrát (najmenej dvakrát).
3. Pravidlá spoločnosti L'Hôpital sa uplatňujú aj vtedy, keď argument funkcie (x) nemá tendenciu byť konečným číslom a, a do nekonečna ( x → ∞).
Neistoty iných typov možno tiež znížiť na neurčitosti typov 0/0 a ∞ / ∞.
Zverejnenie neistôt typov „nula delená nulou“ a „nekonečno delené nekonečnom“
Príklad 1.
x\u003d 2 má za následok neistotu tvaru 0/0. Preto derivácia každej funkcie a získame
Derivácia polynómu bola vypočítaná v čitateli a v menovateli - derivácia komplexnej logaritmickej funkcie ... Pred posledným znamienkom rovnosti obvyklé limit , dosadením dvoch namiesto x.
Príklad 2. Vypočítajte hranicu pomeru dvoch funkcií pomocou pravidla L'Hôpital:
Rozhodnutie. Nahradenie hodnoty v danej funkcii x
Príklad 3. Vypočítajte hranicu pomeru dvoch funkcií pomocou pravidla L'Hôpital:
Rozhodnutie. Nahradenie hodnoty v danej funkcii x\u003d 0 má za následok neistotu tvaru 0/0. Preto vypočítame derivácie funkcií v čitateľovi a menovateli a dostaneme:
Príklad 4. Vypočítať
Rozhodnutie. Substitúcia hodnoty x rovnajúcej sa plus nekonečnu do danej funkcie vedie k neistote v tvare ∞ / ∞. Preto uplatňujeme pravidlo spoločnosti L'Hôpital:
Komentovať. Prejdime k príkladom, v ktorých sa musí pravidlo L'Hôpital uplatniť dvakrát, to znamená prísť na hranicu pomerov druhých derivátov, pretože hranica pomeru prvých derivátov je neistota formy 0 / 0 alebo ∞ / ∞.
Zverejnenie neistôt v tvare „nula krát nekonečno“
Príklad 12.Vypočítať
.
Rozhodnutie. Dostaneme
Tento príklad používa trigonometrickú identitu.
Zverejnenie neistôt typov „nula k sile nuly“, „nekonečno k sile nuly“ a „jedna k sile nekonečna“
Neistoty formulára alebo sa zvyčajne redukujú na tvar 0/0 alebo ∞ / ∞ pomocou logaritmu funkcie formulára
Na výpočet limitu výrazu je potrebné použiť logaritmickú identitu, ktorej zvláštnym prípadom je vlastnosť logaritmu. 
.
Pomocou logaritmickej identity a vlastnosti kontinuity funkcie (na prekročenie limitu) by sa limit mal vypočítať takto:
Samostatne by ste mali nájsť limit výrazu v exponente a build e v zistenom stupni.
Príklad 13.
Rozhodnutie. Dostaneme
.
.
Príklad 14.Vypočítajte pomocou pravidla L'Hôpital
Rozhodnutie. Dostaneme
Vypočítame limit vyjadrenia v exponente
.
.
Príklad 15.Vypočítajte pomocou pravidla L'Hôpital
O čísle 0 sa dá uvažovať ako o druhu hranice, ktorá oddeľuje svet reálnych čísel od imaginárnych alebo záporných. Kvôli nejednoznačnej pozícii mnoho operácií s touto číselnou hodnotou neposlúcha matematickú logiku. Ukázkovým príkladom toho je nemožnosť delenia nulou. A povolené aritmetické operácie s nulou je možné vykonávať pomocou všeobecne prijatých definícií.
Nulový príbeh
Nula je referenčným bodom vo všetkých štandardných systémoch výpočtu. Európania začali toto číslo používať pomerne nedávno, ale mudrci starej Indie používali nulu tisíc rokov predtým, ako európske číslo matematici pravidelne používali prázdne číslo. Už pred Indiánmi bola v mayskej číselnej sústave nula povinnou hodnotou. Tento Američan používal duodecimálny systém čísel a v prvý deň každého mesiaca začínali nulou. Je zaujímavé, že znak Maya pre „nulu“ bol úplne rovnaký ako znak pre „nekonečno“. Starí Mayovia teda dospeli k záveru, že tieto hodnoty sú totožné a nepoznateľné.
Matematické operácie s nulou
Štandardné matematické operácie s nulou sa dajú zredukovať na niekoľko pravidiel.
Sčítanie: ak k ľubovoľnému číslu pridáte nulu, jeho hodnota sa nezmení (0 + x \u003d x).
Odčítanie: pri odpočítaní nuly od ľubovoľného čísla zostáva hodnota odpočítanej nezmenená (x-0 \u003d x).
Násobenie: Akékoľvek číslo vynásobené 0 dáva v produkte 0 (a * 0 \u003d 0).
Delenie: nulu je možné vydeliť ľubovoľným nenulovým číslom. V takom prípade bude hodnota takéhoto zlomku 0. 0. Delenie nulou je zakázané.
Umocnenie. Túto akciu je možné vykonať s ľubovoľným číslom. Ľubovoľné číslo zvýšené na nulový výkon dá 1 (x 0 \u003d 1).
Nula voči akejkoľvek moci je 0 (0 a \u003d 0).
V takom prípade okamžite vznikne rozpor: výraz 0 0 nemá žiadny význam.
Paradoxy matematiky
Mnoho ľudí vie, že delenie nulou je zo školy nemožné. Ale z nejakého dôvodu nie je možné vysvetliť dôvod takéhoto zákazu. Prečo vlastne neexistuje vzorec na delenie nulou, ale iné akcie s týmto počtom sú celkom rozumné a možné? Odpoveď na túto otázku dávajú matematici.
Pravda je, že bežné aritmetické operácie, ktoré sa školáci učia na základnej škole, zďaleka nie sú také rovnocenné, ako si myslíme. Všetky jednoduché operácie s číslami je možné znížiť na dve: sčítanie a násobenie. Tieto akcie sú podstatou samotného konceptu čísla a zvyšok operácií je založený na použití týchto dvoch.
Sčítanie a množenie
Zoberme si štandardný príklad odčítania: 10-2 \u003d 8. V škole sa to považuje jednoducho: ak sa z desiatich predmetov odoberú dva, zostane osem. Ale matematici sa na túto operáciu pozerajú úplne inak. Napokon taká operácia ako odčítanie pre nich neexistuje. Tento príklad je možné zapísať iným spôsobom: x + 2 \u003d 10. Pre matematikov je neznámy rozdiel jednoducho číslo, ktoré je potrebné pridať k dvom, aby ich bolo osem. A tu sa nevyžaduje nijaké odčítanie, stačí nájsť vhodnú číselnú hodnotu.
S násobením a delením sa zaobchádza rovnako. V príklade 12: 4 \u003d 3 môžete pochopiť, že hovoríme o rozdelení ôsmich objektov na dve rovnaké hromady. Ale v skutočnosti je to len obrátený vzorec na zápis 3x4 \u003d 12 a existuje nekonečné množstvo príkladov delenia.
Delenie 0 príkladmi
Tu je trochu zrejmé, prečo nemôžete rozdeliť nulou. Násobenie a delenie nulou sa riadia vlastnými pravidlami. Všetky príklady rozdelenia tejto veličiny možno formulovať ako 6: 0 \u003d x. Ale toto je obrátený zápis výrazu 6 * x \u003d 0. Ale ako viete, akékoľvek číslo vynásobené 0 dáva v produkte iba 0. Táto vlastnosť je obsiahnutá v samotnom koncepte nulovej hodnoty.
Ukazuje sa, že také číslo, ktoré po vynásobení 0 dáva nejakú hmatateľnú hodnotu, neexistuje, to znamená, že tento problém nemá riešenie. Nemali by ste sa báť takejto odpovede, je to prirodzená odpoveď na problémy tohto typu. Proste 6-0 nedáva žiadny zmysel a nedokáže nič vysvetliť. Stručne povedané, tento výraz sa dá vysvetliť nesmrteľným „delenie nulou je nemožné“.
Existuje operácia 0: 0? Ak je operácia vynásobenia číslom 0 legálna, dá sa nula vydeliť nulou? Napokon, rovnica tvaru 0x 5 \u003d 0 je úplne legálna. Namiesto čísla 5 môžete dať 0, produkt sa od toho nezmení.
Skutočne, 0x0 \u003d 0. Stále však nemôžete deliť 0. Ako už bolo povedané, delenie je jednoducho inverzná k násobeniu. Ak teda v príklade 0x5 \u003d 0 potrebujete určiť druhý faktor, dostaneme 0x0 \u003d 5. Alebo 10. Alebo nekonečno. Delenie nekonečna nulou - ako sa vám páči?
Pokiaľ ale nejaké číslo zapadá do výrazu, potom to nemá zmysel, nemôžeme si vybrať jedno z nekonečnej množiny čísel. A ak je to tak, znamená to, že výraz 0: 0 nemá zmysel. Ukazuje sa, že ani samotná nula sa nedá vydeliť nulou.
Vyššia matematika
Delenie nulou je pre školskú matematiku bolesťou hlavy. Matematická analýza študovaná na technických univerzitách mierne rozširuje koncepciu problémov, ktoré nemajú riešenie. Napríklad k už známemu výrazu 0: 0 sa pridávajú nové, ktoré v školských kurzoch matematiky nemajú riešenie:
- nekonečno delené nekonečnom: ∞: ∞;
- nekonečno mínus nekonečno: ∞ - ∞;
- jeden zvýšený na nekonečnú moc: 1 ∞;
- časy nekonečna 0: ∞ * 0;
- niektoré ďalšie.
Takéto výrazy nie je možné vyriešiť elementárnymi metódami. Ale vyššia matematika poskytuje vďaka ďalším možnostiam pre množstvo podobných príkladov konečné riešenie. To je zvlášť zrejmé pri zvažovaní problémov z teórie limitov.
Zverejnenie neistoty
V teórii limitov je hodnota 0 nahradená podmienenou nekonečne malou premennou. A prepočítajú sa výrazy, v ktorých sa získa delenie nulou, keď sa nahradí požadovaná hodnota. Nižšie uvádzame štandardný príklad rozšírenia limitu pomocou bežných algebraických transformácií:
Ako vidíte na príklade, jednoduché zníženie zlomku vedie jeho hodnotu k úplne racionálnej odpovedi.
Pri zvažovaní limitov trigonometrických funkcií sa ich výrazy zvyknú redukovať na prvý pozoruhodný limit. Pri zvažovaní limitov, v ktorých menovateľ pri nahradení limitu klesne na 0, sa použije druhý pozoruhodný limit.
Lopitalova metóda
V niektorých prípadoch možno limity výrazov nahradiť limitom ich derivátov. Guillaume Lopital - francúzsky matematik, zakladateľ francúzskej školy matematickej analýzy. Dokázal, že limity výrazov sa rovnajú limitom derivácií týchto výrazov. V matematickom zápise je jeho pravidlo nasledovné.
