Coordonata unui punct este „adresa” acestuia pe linia numerică, iar linia numerică este „orașul” în care locuiesc numerele și orice număr poate fi găsit după adresă.
Mai multe lecții pe site
Să ne amintim ce este un serial natural. Acestea sunt toate numerele care pot fi folosite pentru a număra obiectele, stând strict în ordine, unul după altul, adică pe rând. Această serie de numere începe cu 1 și continuă până la infinit cu intervale egale între numerele adiacente. Adăugați 1 - și obținem următorul număr, încă 1 - și din nou următorul. Și, indiferent ce număr luăm din această serie, există numere naturale învecinate pe 1 la dreapta și 1 la stânga acestuia. Singura excepție este numărul 1: următorul număr natural este acolo, dar cel anterior nu este. 1 este cel mai mic număr natural.
Există o figură geometrică care are multe în comun cu seria naturală. Privind subiectul lecției scrise pe tablă, nu este greu de ghicit că această cifră este o rază. Și de fapt, raza are un început, dar nu are sfârșit. Și s-ar putea continua și continua, dar caietul sau placa s-ar epuiza pur și simplu și nu ar mai fi unde să continue.
Folosind aceste proprietăți similare, să relaționăm împreună seria naturală de numere și figura geometrică - raza.
Nu întâmplător se lasă un spațiu gol la începutul razei: lângă numerele naturale ar trebui să se scrie binecunoscutul număr 0. Acum fiecare număr natural găsit în seria naturală are doi vecini pe rază - una mai mică și una mai mare. Făcând doar un pas +1 de la zero, poți obține numărul 1, iar făcând următorul pas +1, poți obține numărul 2... Pasând așa mai departe, putem obține toate numerele naturale unul câte unul. Acesta este modul în care raza prezentată pe tablă se numește rază de coordonate. O poți spune mai simplu - printr-un fascicul numeric. Are cel mai mic număr - numărul 0, care este numit punct de start , fiecare număr următor este la aceeași distanță față de cel precedent, dar nu există un număr cel mai mare, așa cum nici o rază, nici o serie naturală nu are un capăt. Permiteți-mi să subliniez încă o dată că distanța dintre începutul numărării și următorul număr 1 este aceeași ca între oricare alte două numere adiacente ale razei numerice. Aceasta distanta se numeste un singur segment . Pentru a marca orice număr pe o astfel de rază, trebuie să lăsați deoparte exact același număr de segmente de unitate de la origine.
De exemplu, pentru a marca numărul 5 pe o rază, punem deoparte 5 segmente de unitate din punctul de plecare. Pentru a marca numărul 14 pe rază, lăsăm deoparte 14 segmente de unitate de la zero.
După cum puteți vedea în aceste exemple, în diferite desene segmentele unității pot fi diferite(), dar pe o rază toate segmentele unității() sunt egale între ele(). (poate că va exista o schimbare a diapozitivelor în imagini, confirmând pauzele)
După cum știți, în desenele geometrice se obișnuiește să se numească punctele cu majuscule ale alfabetului latin. Să aplicăm această regulă la desenul de pe tablă. Fiecare rază de coordonate are un punct de plecare, pe raza numerică, acest punct corespunde cu numărul 0, iar acest punct se numește de obicei litera O. În plus, vom marca mai multe puncte în locuri corespunzătoare unor numere ale acestei raze. Acum fiecare punct de fascicul are propria sa adresă specifică. A(3), ... (5-6 puncte pe ambele grinzi). Se numește numărul corespunzător unui punct de pe rază (așa-numita adresă de punct). coordona puncte. Și fasciculul în sine este un fascicul de coordonate. O rază de coordonate sau una numerică - semnificația nu se schimbă.
Să finalizăm sarcina - marcați punctele pe linia numerică în funcție de coordonatele lor. Vă sfătuiesc să finalizați singur această sarcină în caiet. M(3), T(10), U(7).
Pentru a face acest lucru, construim mai întâi o rază de coordonate. Adică o rază a cărei origine este punctul O(0). Acum trebuie să selectați un singur segment. Este exact ceea ce avem nevoie alege astfel încât toate punctele necesare să se încadreze pe desen. Cea mai mare coordonată este acum 10. Dacă plasați începutul fasciculului la 1-2 celule de la marginea din stânga a paginii, atunci acesta poate fi extins cu mai mult de 10 cm. Apoi luați un segment unitar de 1 cm, marcați-l pe rază, iar numărul 10 este situat la 10 cm de începutul razei Punctul T corespunde acestui număr. (...)
Dar dacă trebuie să marcați punctul H (15) pe raza de coordonate, va trebui să selectați un alt segment de unitate. La urma urmei, nu va mai funcționa ca în exemplul anterior, deoarece notebook-ul nu se va potrivi unui fascicul de lungimea vizibilă necesară. Puteți selecta un singur segment cu o lungime de 1 celulă și puteți număra 15 celule de la zero până la punctul necesar.
Subiect: „Fascicul de coordonate”.
Obiective:
învățați să determinați coordonatele punctelor pe o dreaptă numerică, navigați pe o linie de coordonate, repetați conceptul de „linie de coordonate”;
consolidarea capacității de a analiza și rezolva în mod independent probleme de diferite tipuri;
dezvoltarea abilităților de calcul oral și scris, gândire logică, reprezentare spațială.
ÎN CURILE CURĂRILOR
I. Moment organizatoric
II. Actualizarea cunoștințelor
Pe tablă este desenată o rază cu originea într-un punctDESPRE .
Conversație pe întrebări:
Ce este pe tablă? (Ray)
Este această rază o rază de coordonate? (Nu. )
De ce? (Nu a fost selectat niciun segment. )
Cum este desemnat un segment de unitate? (elevul merge la tablă și marchează un segment de unitate )
De ce se numește așa?
Cum să înțelegeți intrarea:ÎN (3)?
Cum se numeste numarul 3?
Câte puncteÎN (3) poate fi marcat pe raza de coordonate? (Unu. )
Punctele C(7), E(4), M(8), T(10) sunt marcate. Numiți coordonatele punctelor C, E, M, T.
În acest moment, 6 elevi lucrează folosind cartonașe
Opțiunea I
Opțiunea II
1. Scrieți coordonatele punctelorD , E , T ȘiLA
A (8), LA (12), R (1), M (9), N (6), S (3).
1. Scrieți coordonatele punctelorM , N , CU ȘiR , marcat pe raza de coordonate.
2. Desenați o rază de coordonate și marcați puncte pe eaA (6), ÎN (5), CU (3), D (10), E (2), F (1).
III. Fixarea ZUN.
Exercitiul 1
În caiet, construiți o rază de coordonate cu un segment unitar de 1 celulă. Pe raza ta, scrie literele corespunzătoare numerelor acestei chei și citește cuvântul rezultat.
21
9
27
3
0
24
15
12
6
18
A
R
A
O
La
T
Și
d
O
n
Apare conceptul „coordonată”.
Sarcina 2
La ce punct OM are coordonata 5? 7? Ce coordonată este originea razei? Defini alte puncte din figură.
Sarcina 3
Numiți coordonatele punctelor în care se află: telefon, post de asistență medicală, cantină, benzinărie.
b) Fie ca o unitate de pe rază să fie egală cu 5 km.
Care de la sufragerie la telefon?
De la o benzinărie la o stație de asistență medicală?
Sarcina 4
Desenați punctele A (1) și B (7) pe raza de coordonate dacă: a) e = 2 cm; b) e = 5 mm. Aflați distanța dintre punctele A și B în segmente de unitate, centimetri, milimetri.
Numiți trei numere ale căror imagini sunt situate pe raza de coordonate:
a) în dreapta punctului A (25);b) la stânga punctului B (118);c) la dreapta punctului C (2), dar la stânga punctului D (15);d) la dreapta punctului E (7), dar la stânga punctului F (8).
Sarcina 5
Furnica s-a târât de-a lungul razei de coordonate din punctul A (9) trei unități la dreapta. Unde a ajuns? Apoi s-a târât cu 5 unități spre stânga. Unde este el acum? Câte unități și în ce direcție a trebuit să se târască furnica pentru a ajunge imediat în acest punct?
b) Furnica a lăsat punctul B (4) al razei de coordonate, a făcut două mișcări de-a lungul razei și a ajuns în punctul C (7). Ce fel de mișcări ar putea fi acestea?
IV. Rezumatul lecției
– Elevii numesc cuvintele cheie ale lecției și comentează ceea ce au învățat în timpul lecției.
.– Se evaluează munca clasei în timpul lecției.
V. Tema pentru acasă.
Sarcina 6
Mașina s-a deplasat de la un punct A al unităților razei de coordonate 6 spre dreapta și a ajuns în punctul B (17). De unde a plecat? Cum ar trebui să se deplaseze pentru a ajunge de la punctul A la punctul C(8)?
Sarcina 7
Câte unități și în ce direcție trebuie să se deplaseze pentru a ajunge de la punctul M (16) la punctul cu coordonata: a) 14; b) 22; la 12; d) 6; e)21; e) 0; g)16?
O rază este o parte a unei linii drepte care are un început și un sfârșit (o rază de soare, o rază de lumină de la o lanternă). Priviți desenul și stabiliți ce figuri sunt reprezentate, cum sunt similare, cum diferă și cum pot fi numite. http://bit.ly/2DusaQv
Figura prezintă părți ale unei linii drepte care au început și fără sfârșit; acestea sunt raze care pot fi numite „o x”.
- o rază este desemnată cu litere mari OX, iar în numele celei de-a doua o literă este mare, iar a doua este Ox mic;
- prima rază este curată, iar a doua arată ca o riglă, deoarece pe ea sunt marcate numere;
- pe a doua rază este marcată litera E, iar sub ea este cifra 1;
- există o săgeată la capătul drept al acestui fascicul;
- poate s-ar putea numi un fascicul numeric.
A doua rază poate fi numită raza numerică Ox:
- O este originea și are coordonata zero;
- scris O(0); se citește punctul O cu coordonata zero;
- Se obișnuiește să se scrie numărul zero (0) sub punctul marcat cu litera O;
- segment OE - segment unitar;
- punctul E are coordonata 1 (marcat cu o liniuță în desen);
- se scrie E (1); citeste punctul E cu coordonata unu;
- săgeata din capătul drept al fasciculului indică direcția în care se face numărarea;
- am introdus noi concepte de coordonate, ceea ce înseamnă că raza poate fi numită coordonată;
- Deoarece coordonatele diferitelor puncte sunt reprezentate pe rază, scriem o literă mică x în numele razei din dreapta.
Construcția unei raze de coordonate
Am dezvăluit conceptul de rază de coordonate și terminologia asociată cu aceasta, ceea ce înseamnă că trebuie să învățăm cum să o construim:
- construim o rază și notăm Ox;
- indicați direcția cu o săgeată;
- Începutul numărătorii inverse îl marchem cu cifra 0;
- Marcam un singur segment OE (poate fi de lungimi diferite);
- marcați coordonatele punctului E cu numărul 1;
- punctele rămase vor fi la aceeași distanță unul de celălalt, dar nu este obișnuit să le puneți pe fasciculul de coordonate, pentru a nu aglomera desenul.
Pentru a reprezenta vizual numerele, se obișnuiește să se folosească o rază de coordonate, pe care numerele sunt aranjate în ordine crescătoare de la stânga la dreapta. Astfel, numărul situat în dreapta este întotdeauna mai mare decât numărul situat în stânga pe linia dreaptă.
Construcția unei raze de coordonate începe din punctul O, care se numește originea coordonatelor. Din acest punct desenăm o rază la dreapta și desenăm o săgeată la dreapta la capătul ei. Punctul O are coordona 0. Din el pe rază așezăm un segment unitar, al cărui capăt are coordonatele 1. De la capătul segmentului unitar întindem un putregai de lungime egală, la capătul căruia punem coordonata 2 etc.
Deci, un segment de unitate și părțile sale a zecea, sutimea și așa mai departe ne permit să ajungem la punctele liniei de coordonate, care vor corespunde fracțiilor zecimale finale (ca în exemplul anterior). Cu toate acestea, există puncte de pe linia de coordonate la care nu putem ajunge, dar de care ne putem apropia cât ne place, folosindu-le din ce în ce mai mici până la o fracțiune infinitezimală a unui segment unitar. Aceste puncte corespund infinitelor fracții zecimale periodice și neperiodice. Să dăm câteva exemple. Unul dintre aceste puncte de pe dreapta de coordonate corespunde numărului 3.711711711...=3,(711) . Pentru a aborda acest punct, trebuie să lăsați deoparte 3 segmente de unitate, 7 zecimi, 1 sutime, 1 miime, 7 zecemiimi, 1 sută de miimi, 1 milione dintr-un segment de unitate și așa mai departe. Și un alt punct de pe linia de coordonate îi corespunde pi (π=3,141592...).
Deoarece elementele mulțimii numerelor reale sunt toate numere care pot fi scrise sub formă de fracții zecimale finite și infinite, atunci toate informațiile prezentate mai sus în acest paragraf ne permit să afirmăm că am atribuit fiecărui punct un anumit număr real. a dreptei de coordonate și este clar că punctele diferite corespund unor numere reale diferite.
De asemenea, este destul de evident că această corespondență este unu-la-unu. Adică, putem atribui un număr real unui punct specificat pe o linie de coordonate, dar putem, de asemenea, folosind un număr real dat, să indicam un anumit punct pe o linie de coordonate căruia îi corespunde un anumit număr real. Pentru a face acest lucru, va trebui să lăsăm deoparte un anumit număr de segmente unitare, precum și zecimi, sutimi și așa mai departe, de fracții dintr-un segment unitar de la începutul numărătorii inverse în direcția dorită. De exemplu, numărul 703.405 corespunde unui punct de pe linia de coordonate, la care se poate ajunge de la origine prin trasarea în direcție pozitivă a 703 segmente de unitate, 4 segmente care constituie o zecime de unitate și 5 segmente care constituie o miime de unitate. .
Deci, la fiecare punct de pe linia de coordonate există un număr real, iar fiecare număr real are locul său sub forma unui punct pe dreapta de coordonate. Acesta este motivul pentru care linia de coordonate este adesea numită linie numerică.
Coordonatele punctelor de pe o linie de coordonate
Se numește numărul corespunzător unui punct de pe o dreaptă de coordonate coordonata acestui punct.
În paragraful anterior, am spus că fiecărui număr real îi corespunde un singur punct pe linia de coordonate, prin urmare, coordonatele unui punct determină în mod unic poziția acestui punct pe linia de coordonate. Cu alte cuvinte, coordonata unui punct definește în mod unic acest punct pe linia de coordonate. Pe de altă parte, fiecare punct de pe linia de coordonate corespunde unui singur număr real - coordonatele acestui punct.
Tot ce rămâne de spus este despre notația acceptată. Coordonata punctului este scrisă între paranteze în dreapta literei care reprezintă punctul. De exemplu, dacă punctul M are coordonatele -6, atunci puteți scrie M(-6), iar notația formei înseamnă că punctul M de pe linia de coordonate are coordonate.
Bibliografie.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică: manual pentru clasa a V-a. institutii de invatamant.
- Vilenkin N.Ya. si altele.Matematica. Clasa a VI-a: manual pentru instituţiile de învăţământ general.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. institutii de invatamant.
§ 1 Raza de coordonate
În această lecție veți învăța cum să construiți o rază de coordonate, precum și să determinați coordonatele punctelor situate pe ea.
Pentru a construi un fascicul de coordonate, mai întâi avem nevoie, desigur, de fasciculul în sine.
Să-l notăm OX, punctul O este începutul razei.
Privind în viitor, să presupunem că punctul O se numește originea razei de coordonate.
Fasciculul poate fi desenat în orice direcție, dar în multe cazuri fasciculul este desenat orizontal și la dreapta originii sale.
Deci, să desenăm raza OX pe orizontală de la stânga la dreapta și să îi indicăm direcția cu o săgeată. Să marchem punctul E pe rază.
Scriem 0 deasupra începutului razei (punctul O), iar numărul 1 deasupra punctului E.
Segmentul OE se numește unitate.
Deci, pas cu pas, lăsând deoparte segmentele individuale, obținem o scară infinită.
Numerele 0, 1, 2 se numesc coordonatele punctelor O, E și A. Scrieți punctul O iar între paranteze indicați coordonatele lui zero - O (o), punctul E și între paranteze coordona sa unu - E (1), punctul A și între paranteze coordona sa doi este A(2).
Astfel, pentru a construi o rază de coordonate este necesar:
1. Desenați o rază OX pe orizontală de la stânga la dreapta și indicați direcția acesteia cu o săgeată, scrieți numărul 0 deasupra punctului O;
2. trebuie să setați așa-numitul segment unitar. Pentru a face acest lucru, trebuie să marcați un punct pe rază, altul decât punctul O (în acest loc se obișnuiește să puneți nu un punct, ci un accident vascular cerebral) și să scrieți numărul 1 deasupra cursei;
3. pe raza de la sfârșitul unui segment de unitate, trebuie să lăsați deoparte un alt segment unitar, egal cu cel unității și, de asemenea, să puneți o lovitură, apoi de la sfârșitul acestui segment, trebuie să lăsați deoparte un alt segment unic , marcați-l și cu o lovitură și așa mai departe;
4. Pentru ca raza de coordonate să ia forma sa finită, rămâne să scrieți numerele din seria naturală de numere deasupra liniilor de la stânga la dreapta: 2, 3, 4 și așa mai departe.
§ 2 Determinarea coordonatelor unui punct
Să finalizăm sarcina:
Următoarele puncte trebuie marcate pe raza de coordonate: punctul M cu coordonata 1, punctul P cu coordonata 3 și punctul A cu coordonata 7.
Să construim o rază de coordonate cu începutul în punctul O. Alegem un segment unitar al acestei raze de 1 cm, adică 2 celule (după 2 celule de la zero punem un prim și numărul 1, apoi după alte două celule - un prim și numărul 2; apoi 3; 4; 5; 6; 7 și așa mai departe).
Punctul M va fi situat la dreapta lui zero cu două celule, punctul P va fi situat la dreapta lui zero cu 6 celule, deoarece 3 înmulțit cu 2 va fi 6, iar punctul A va fi situat la dreapta lui zero cu 14 celule, deoarece 7 înmulțit cu 2 va fi 14.
Următoarea sarcină:
Găsiți și notați coordonatele punctelor A; ÎN; și C marcat pe această rază de coordonate
Această rază de coordonate are un segment unitar egal cu o celulă, ceea ce înseamnă că coordonata punctului A este 4, coordonata punctului B este 8 și coordonata punctului C este 12.
Pentru a rezuma, raza OX cu originea în punctul O, pe care sunt indicate segmentul și direcția unității, se numește rază de coordonate. Raza de coordonate nu este altceva decât o scară infinită.
Numărul care corespunde unui punct de pe o rază de coordonate se numește coordonata acestui punct.
De exemplu: A și între paranteze 3.
Citiți: punctul A cu coordonata 3.
Trebuie remarcat faptul că, foarte adesea, raza de coordonate este reprezentată ca o rază cu început în punctul O și un singur segment de unitate este așezat de la începutul său, deasupra capetelor căreia sunt scrise numerele 0 și 1. În acest caz , se înțelege că, dacă este necesar, putem continua cu ușurință construirea scalei, așezând secvențial segmente singulare pe rază.
Astfel, în această lecție ați învățat cum să construiți o rază de coordonate, precum și să determinați coordonatele punctelor situate pe raza de coordonate.
Lista literaturii folosite:
- Matematica clasa a V-a. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. si altele.ed. 31, sters. - M: 2013.
- Materiale didactice pentru matematică clasa a 5-a. Autor - Popov M.A. – 2013.
- Calculăm fără erori. Lucrați cu autotestare la matematică clasele 5-6. Autor - Minaeva S.S. – 2014.
- Materiale didactice pentru matematică clasa a 5-a. Autori: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. – 2010.
- Teste și muncă independentă la matematică clasa a 5-a. Autori - Popov M.A. - 2012.
- Matematică. Clasa a V-a: educațională. pentru studenții din învățământul general. instituții / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - Ed. a IX-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009.