TEXTOVÉ VYSVETLENIE LEKCIE:
Myšlienka roviny vo vesmíre vám umožňuje získať napríklad povrch stola alebo steny. Stôl alebo stena má však konečné rozmery a rovina siaha za ich hranice do nekonečna.
Zvážte dve pretínajúce sa roviny. Keď sa pretínajú, zvierajú štyri uhly dvojsteny so spoločnou hranou.
Pripomeňme si, čo je dihedrálny uhol.
V skutočnosti sa stretávame s predmetmi, ktoré majú tvar uholníka: napríklad pootvorené dvere alebo pootvorený priečinok.
Na priesečníku dvoch rovín alfa a beta dostaneme štyri uhly klinu. Nech sa jeden z uhlov klinu rovná (phi), potom sa druhý rovná (1800 -), tretí, štvrtý (1800-).
Zvážte prípad, keď sa jeden z uhlov klinu rovná 900.
Potom sa v tomto prípade všetky dihedrálne uhly rovnajú 900.
Uveďme definíciu kolmých rovín:
Dve roviny sa považujú za kolmé, ak je uhol medzi nimi 90°.
Uhol medzi rovinami sigma a epsilon je 90 stupňov, čo znamená, že roviny sú kolmé
Uveďme príklady kolmých rovín.
Stena a strop.
Bočná stena a stolová doska.
Formulujme znamienko kolmosti dvoch rovín:
TEÓZA: Ak jedna z dvoch rovín prechádza priamkou kolmou na druhú rovinu, potom sú tieto roviny kolmé.
Poďme dokázať túto vlastnosť.
Podľa podmienky je známe, že priamka AM leží v rovine α, priamka AM je kolmá na rovinu β,
Dokážte: roviny α a β sú kolmé.
dôkaz:
1) Roviny α a β sa pretínajú pozdĺž priamky АР, zatiaľ čo AM АР, pretože AM β podľa podmienky, to znamená, že AM je kolmá na akúkoľvek priamku ležiacu v rovine β.
2) Narysujme priamku AT kolmú na AP v rovine β.
Dostaneme uhol TAM - lineárny uhol dihedrálneho uhla. Ale uhol TAM = 90°, keďže MA β. Preto α β.
Q.E.D.
Zo znamienka kolmosti dvoch rovín máme dôležitý dôsledok:
DÔSLEDOK: Rovina kolmá na priamku, pozdĺž ktorej sa pretínajú dve roviny, je kolmá na každú z týchto rovín.
To znamená: ak α∩β=с a γ с, potom γ α a γ β.
Dokážme tento dôsledok: ak je rovina gama kolmá na priamku c, potom je v dôsledku rovnobežnosti oboch rovín gama kolmá na alfa. Podobne je gama kolmá na beta.
Preformulujme tento dôsledok pre dihedrálny uhol:
Rovina prechádzajúca lineárnym uhlom dihedrálneho uhla je kolmá na hranu a strany tohto dihedrálneho uhla. Inými slovami, ak sme skonštruovali lineárny uhol dihedrálneho uhla, potom rovina prechádzajúca ním je kolmá na hranu a steny tohto dihedrálneho uhla.
Dané: ΔABC, C = 90°, AC leží v rovine α, uhol medzi rovinami α a ABC = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.
Nájdite: vzdialenosť od bodu B k rovine α.
1) Zostrojme VC α. Potom CS je projekcia BC na túto rovinu.
2) BC AS (podľa podmienky), teda teorémom troch kolmíc (TTP), CS AS. Preto VSK je lineárny uhol dihedrálneho uhla medzi rovinou α a rovinou trojuholníka ABC. To znamená, že WSC = 60°.
3) Z ΔBCA podľa Pytagorovej vety:
Odpoveď VK sa rovná 6 koreňom po troch cm
Praktické využitie (aplikovaný charakter) kolmosti dvoch rovín.
Konštrukcia dvoch vzájomne kolmých rovín. Ako je známe, Rovina je kolmá, ak je priamka v jednej rovine kolmá na inú rovinu. Preto môže byť rovina kolmá na danú rovinu vedená cez priamku kolmú na danú rovinu alebo kolmú na priamku ležiacu v danej rovine.
Znázornené na obr. 4.12 roviny (rovina trojuholníka ABC a rovina P) sú navzájom kolmé, keďže rovina P je kolmá na priamku A1 ležiacu v rovine trojuholníka. Znázornené sú priemety roviny P prechádzajúcej priamkou s priemetmi m 2 n 2, m 1 n 1 a kolmej na rovinu danú priemetmi a 2 b 2 c 2, a 1 b 1 c 1 trojuholníka. na obr. 4.12.
Konštrukcia: 1. Nakreslite hlavné čiary roviny, C1 - horizontálne, C2 - čelné.
2. Cez ľubovoľný bod E (umiestnený mimo trojuholníka ABC) nakreslite priamku EF kolmú na hlavné priamky roviny (c 2 f 2 je kolmá na c 2 2 2 a c 1 f 1 je kolmá na 1 1 1 ).
3. Cez bod N nakreslite ľubovoľnú priamku EM pretínajúcu sa s EF, dostaneme rovinu P danú dvoma pretínajúcimi sa priamkami (EM X EF).
Rovina P(ME X EF) je teda kolmá na rovinu Q(trojuholník ABC).
Treba poznamenať, že pre vzájomne kolmé roviny vo všeobecnej polohe nie sú ich stopy rovnakého mena nikdy kolmé. Ale ak jedna z daných rovín (alebo obe) je rovina všeobecnej polohy, potom vzájomná kolmosť na diagrame jednej dvojice ich stôp udáva kolmosť rovín v priestore.
18) Priamku priesečníka dvoch rovín možno určiť ich dvoma spoločnými bodmi. Na tento účel určte priesečníky akýchkoľvek dvoch priamok jednej roviny s inou rovinou alebo priesečníky priamky na každej z rovín s inou rovinou.
Postupnosť stavby:
Priesečník dvoch rovín nájdeme pri riešení pomocou pomocných rezných rovín. Zvyčajne sa vyberajú projekčné roviny (často horizontálne alebo čelné)
Zvolí sa ľubovoľná sečnica pomocná horizontálna rovina Ф1, ktorá pretína dané roviny pozdĺž priamok (12 a 34), ktoré sa (na n1 pretínajú v bode k)
Druhá rezná horizontálna rovina pretína dané roviny aj pozdĺž horizontál, tie sa zase pretínajú v bode E
Priamka KE je priesečníkom daných rovín.
Zvážte riešenie tohto problému na plochom výkrese.
1. etapa riešenia Na zostrojenie bodu M bola použitá vodorovne premietnutá rovina - prostredník ("), v ktorej je uzavretá strana AB trojuholníka ABC.
2. etapa riešenia Zostrojíme priesečník (na výkrese je daný bodmi 1 a 2) medziroviny (“) a roviny DEK.
3. fáza riešenia Nájdite bod M priesečníka priamky 1 - 2 s priamkou AB.
Nájdený jeden bod M požadovanej priesečníkovej čiary.
Na zostrojenie bodu N sa používa vodorovne premietajúca rovina (“), v ktorej je uzavretá strana AC trojuholníka ABC.
Konštrukcie sú podobné predchádzajúcim.
Definícia viditeľnosti v rovine H sa robí pomocou horizontálne konkurujúcich bodov 4 a 8
Bod 4 sa nachádza nad bodom 8 (4" a 8"), preto v rovine H časť trojuholníka DEK, ktorá sa nachádza smerom k bodu 4, prekrýva časť trojuholníka ABC, ktorá sa nachádza od priesečníka smerom k bodu 8. Pomocou a dvojica čelne konkurujúcich bodov 6 a 7 je definovaná viditeľnosť v rovine V.
Priesečník dvoch čelne vyčnievajúcich rovín (?)
Priesečník dvoch vodorovne vyčnievajúcich rovín (?)
19) Rez je obraz objektu, ktorý je mentálne rozrezaný jednou alebo viacerými rovinami, pričom mentálna disekcia objektu sa týka iba tohto rezu a nespôsobuje zmenu v iných obrazoch toho istého objektu. Sekcia ukazuje čo sa nachádza v rovine rezu a čo sa nachádza za ňou.
V závislosti od počtu rovín rezu je sekcia rozdelená na:
Jednoduché (s jednou rovinou rezu)
Komplexné (s niekoľkými rovinami rezu)
V závislosti od polohy roviny rezu vzhľadom na horizontálnu rovinu projekcie sú sekcie rozdelené na:
HORIZONTÁLNA - rovina rezu je rovnobežná s horizontálnou premietacou rovinou
VERTIKÁLNA - rovina rezu je kolmá na horizontálnu projekčnú rovinu
ŠIKM - rovina rezu je nejaký nepravý uhol s vodorovnou rovinou =) ZVISLÝ rez je tzv čelný ak je rovina rezu rovnobežná s prednou projekčnou rovinou. A špecializovaný ak je rovina rezu rovnobežná s rovinou premietania profilu.
KOMPLEXNÉ rezy sú POZDĹŽNE, ak sú rezné roviny nasmerované po dĺžke alebo výške predmetu. A PRIECNE, AK sú roviny rezu nasmerované KOLMO na dĺžku alebo výšku predmetu.
KROK - ak sú sečné roviny navzájom rovnobežné
POLYLINES - ak sa sečné roviny navzájom pretínajú.
LOCAL rezy sa používajú na odhalenie vnútornej štruktúry objektu na samostatnom obmedzenom mieste. LOCAL SECTION je v pohľade zvýraznený ako plná, zvlnená, tenká čiara.
Označenie rezov - Poloha roviny rezu je označená otvorenou čiarou rezu. Začiatočný a koncový ťah čiary rezu nesmie prekročiť obrys príslušného obrázku. Šípky označujúce smer pohľadu by mali byť umiestnené na počiatočnom a poslednom ťahu.Šípky by mali byť aplikované vo vzdialenosti 2 ... 3 mm od vonkajšieho konca ťahu.
PRE KOMPLEXNÝ REZ sa ťahy otvorenej línie rezu vykonávajú aj na zlomoch čiary rezu.
V BLÍZKOSTI šípok označujúcich smer pohľadu sú z vonkajšej strany rohu použité veľké písmená ruskej abecedy. Označenia písmen sa priraďujú v abecednom poradí bez opakovania a bez vynechávania.
Samotný rez by mal byť označený nápisom typu A-A
Ak sa rovina rezu zhoduje s rovinou symetrie objektu a rez je vedený v mieste zodpovedajúceho pohľadu v projekčnom spojení, potom pre horizontálne, čelné a profilové rezy nie je potrebné označovať polohu rezu. rovina a rez nie je doplnený nápisom.
Ak sa obrysová čiara objektu zhoduje s osou symetrie, potom je hranica medzi pohľadom a rezom označená vlnovkou, ktorá je nakreslená tak, aby sa zachoval obraz hrany.
Dve roviny, ktoré sa pretínajú, sa nazývajú kolmý, ak tretia rovina, kolmá na priesečník týchto dvoch rovín, ich pretína pozdĺž kolmých čiar (pozri obrázok).Akákoľvek rovina kolmá na priesečník kolmých rovín ich pretína pozdĺž kolmých čiar.
Znak kolmosti rovín
Veta 1. Ak rovina prechádza priamkou kolmou na inú rovinu, potom sú tieto roviny kolmé (pozri obrázok). 
Veta 2. Ak je priamka ležiaca v jednej z dvoch kolmých rovín kolmá na priamku ich priesečníka, potom je kolmá aj na druhú rovinu (pozri obrázok).
Príklad použitia vety 2
Nech existujú dve kolmé roviny a , ktoré sa pretínajú v priamke a(pozri obrázok). Nájdite vzdialenosť od bodu A, ktorá leží v rovine a neleží v rovine , rovine .
V rovine postavíme kolmicu k a cez bod A. Nechajte to prejsť a v bode B. AB- požadovaná vzdialenosť.
Venujte pozornosť tomuto.
1. Cez bod mimo roviny môžete nakresliť veľa rovín kolmých na túto rovinu (pozri obrázok). (Všetky však prejdú čiarou kolmou na túto rovinu, ktorá prechádza daným bodom.)
2. Ak je rovina kolmá na danú rovinu, potom to neznamená, že je kolmá aj na ľubovoľnú priamku rovnobežnú s touto rovinou.
Napríklad na obrázku nižšie a pretínajú sa v priamke b, a a vchádza do jednej z rovín a . Preto rovná čiara a súčasne rovnobežné s dvoma na seba kolmými rovinami.
Pojem kolmých rovín
Keď sa pretínajú dve roviny, dostaneme uhly 4$. Dva z rohov sú $\varphi $ a ďalšie dva sú $(180)^0-\varphi $.
Definícia 1
Uhol medzi rovinami je najmenší z dihedrálnych uhlov tvorených týmito rovinami.
Definícia 2
Dve pretínajúce sa roviny sa nazývajú kolmé, ak je uhol medzi týmito rovinami rovný $90^\circ$ (obr. 1).
Obrázok 1. Kolmé roviny
Znak kolmosti dvoch rovín
Veta 1
Ak je priamka roviny kolmá na inú rovinu, potom sú tieto roviny navzájom kolmé.
Dôkaz.
Dostaneme roviny $\alpha $ a $\beta $, ktoré sa pretínajú pozdĺž priamky $AC$. Priamka $AB$ ležiaca v rovine $\alpha $ nech je kolmá na rovinu $\beta $ (obr. 2).
Obrázok 2
Keďže priamka $AB$ je kolmá na rovinu $\beta $, je kolmá aj na priamku $AC$. Dodatočne nakreslíme priamku $AD$ v rovine $\beta $, kolmú na priamku $AC$.
Dostaneme, že uhol $BAD$ je lineárny uhol dihedrálneho uhla rovný $90^\circ$. To znamená, že podľa definície 1 je uhol medzi rovinami rovný $90^\circ$, čo znamená, že tieto roviny sú kolmé.
Veta bola dokázaná.
Z tejto vety vyplýva nasledujúca veta.
Veta 2
Ak je rovina kolmá na priamku, pozdĺž ktorej sa pretínajú dve ďalšie roviny, potom je tiež kolmá na tieto roviny.
Dôkaz.
Dajme nám dve roviny $\alpha $ a $\beta $ pretínajúce sa pozdĺž priamky $c$. Rovina $\gama $ je kolmá na priamku $c$ (obr. 3)
Obrázok 3
Keďže priamka $c$ patrí rovine $\alpha $ a rovina $\gamma $ je kolmá na priamku $c$, potom podľa vety 1 sú roviny $\alpha $ a $\gamma $ kolmé.
Keďže priamka $c$ patrí rovine $\beta $ a rovina $\gamma $ je kolmá na priamku $c$, potom podľa vety 1 sú roviny $\beta $ a $\gamma $ kolmé.
Veta bola dokázaná.
Pre každú z týchto teorém platia aj opačné tvrdenia.
Príklady úloh
Príklad 1
Dostaneme obdĺžnikový box $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Nájdite všetky dvojice kolmých rovín (obr. 5).
Obrázok 4
Riešenie.
Podľa definície kvádra a kolmých rovín vidíme nasledujúcich osem párov rovín navzájom kolmých: $(ABB_1)$ a $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ a $(A_1B_1C_1)$, $(ABB_1) $ a $(BCC_1) $, $(ABB_1)$ a $(ABC)$, $(DCC_1)$ a $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ a $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1)$ a $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ a $(ABC)$.
Príklad 2
Dajme nám dve navzájom kolmé roviny. Z bodu v jednej rovine sa nakreslí kolmica do inej roviny. Dokážte, že táto priamka leží v danej rovine.
Dôkaz.
Dajme nám $\alpha $ a $\beta $ kolmé na roviny a pretínajúce sa pozdĺž priamky $c$. Z bodu $A$ roviny $\beta $ sa nakreslí kolmica $AC$ na rovinu $\alpha $. Predpokladajme, že $AC$ neleží v rovine $\beta $ (obr. 6).
Obrázok 5
Zvážte trojuholník $ABC$. Je obdĺžnikový s pravým uhlom $ACB$. Preto $\angle ABC\ne (90)^0$.
Ale na druhej strane $\uhol ABC$ je lineárny uhol dihedrálneho uhla, ktorý tvoria tieto roviny. To znamená, že dihedrálny uhol tvorený týmito rovinami sa nerovná 90 stupňom. Dostaneme, že uhol medzi rovinami sa nerovná $90^\circ$. Rozpor. $AC$ teda leží v rovine $\beta $.
Kolmosť v priestore môže mať:
1. Dve rovné čiary
3. Dve roviny
Uvažujme postupne tieto tri prípady: všetky definície a výroky viet, ktoré s nimi súvisia. A potom budeme diskutovať o veľmi dôležitej vete o troch kolmiciach.
Kolmosť dvoch čiar.
Definícia:
Dá sa povedať: aj mne otvorili Ameriku! Pamätajte však, že vo vesmíre nie je všetko také isté ako v lietadle.
Na rovine môžu byť kolmé iba také čiary (pretínajúce sa):
Ale kolmosť v priestore dvoch priamok môže byť aj keď sa nepretínajú. Pozri:
priamka je kolmá na priamku, hoci ju nepretína. Ako to? Pripomíname si definíciu uhla medzi čiarami: ak chcete nájsť uhol medzi šikmými čiarami, musíte nakresliť čiaru cez ľubovoľný bod na čiare a. A potom sa uhol medzi a (podľa definície!) bude rovnať uhlu medzi a.
Spomenul si? No, v našom prípade, ak sú čiary a kolmé, potom čiary a treba považovať za kolmé.
Aby bolo úplne jasné, pozrime sa na príklad. Nech je tam kocka. A budete požiadaní, aby ste našli uhol medzi čiarami a. Tieto čiary sa nepretínajú – pretínajú sa. Ak chcete nájsť uhol medzi a, nakreslite.
Vzhľadom na to, že - rovnobežník (a dokonca aj obdĺžnik!), Ukazuje sa, že. A vzhľadom k tomu, že - štvorec, ukazuje sa, že. No to znamená.
Kolmosť priamky a roviny.
Definícia:
Tu je obrázok:
priamka je kolmá na rovinu, ak je kolmá na všetky priamky v tejto rovine: a, a, a, a dokonca! A miliarda ďalších riadkov!
Áno, ale ako potom môžete všeobecne skontrolovať kolmosť v priamke a rovine? Takže život nestačí! Ale našťastie pre nás, matematici nás zachránili pred nočnou morou nekonečna tým, že vymysleli znak kolmosti priamky a roviny.
Formulujeme:
Pozrite sa, aké skvelé:
ak sú v rovine, na ktorú je priamka kolmá, iba dve priamky (u), potom sa táto priamka okamžite ukáže ako kolmá na rovinu, teda na všetky priamky v tejto rovine (vrátane niektorej priamky stojacej na boku ). Toto je veľmi dôležitá veta, preto jej význam nakreslíme aj vo forme diagramu.
A pozrime sa znova príklad.
Daj nám pravidelný štvorsten.
Úloha: dokázať to. Poviete si: to sú dve rovné čiary! Čo s tým má spoločné kolmosť priamky a roviny?!
Ale pozri:
označíme stred okraja a nakreslíme a. Toto sú mediány v a. Trojuholníky sú pravidelné a.
Tu to je, zázrak: ukázalo sa, že rovnako ako. A ďalej na všetky priame čiary v rovine, a teda a. Dokázané. A najdôležitejším bodom bolo práve použitie znamienka kolmosti priamky a roviny.
Keď sú roviny kolmé
Definícia:
To znamená (ďalšie podrobnosti nájdete v téme „uhol klinu“), dve roviny (roviny) sú kolmé, ak sa ukáže, že uhol medzi dvoma kolmicami (uholmi) k priesečníku týchto rovín je rovnaký. A existuje veta, ktorá spája pojem kolmých rovín s pojmom kolmosť v priestore priamky a roviny.
Táto veta sa nazýva
Kritérium kolmosti rovín.
Poďme formulovať:
Ako vždy, dekódovanie slov „vtedy a až potom“ vyzerá takto:
- Ak, tak prechádza cez kolmicu na.
- Ak prechádza cez kolmicu k, potom.
(samozrejme, tu a sú lietadlá).
Táto veta je jednou z najdôležitejších v stereometrii, ale, žiaľ, jednou z najťažších na aplikáciu.
Takže musíte byť veľmi opatrní!
Takže znenie je:
A opäť dešifrovanie slov „vtedy a len vtedy“. Veta hovorí dve veci naraz (pozrite sa na obrázok):
Skúsme použiť túto vetu na vyriešenie problému.
Úloha: je daný pravidelný šesťhranný ihlan. Nájdite uhol medzi čiarami a.
Riešenie:
Vzhľadom na to, že v pravidelnej pyramíde vrchol pri projekcii spadá do stredu základne, ukazuje sa, že priamka je priemetom priamky.
Ale vieme, že v pravidelnom šesťuholníku. Aplikujeme vetu o troch kolmiciach:
A napíš odpoveď:
KOLMOSTI ČIAR V PRIESTORE. STRUČNE O HLAVNOM
Kolmosť dvoch čiar.
Dve čiary v priestore sú kolmé, ak je medzi nimi uhol.
Kolmosť priamky a roviny.
Čiara je kolmá na rovinu, ak je kolmá na všetky čiary v tejto rovine.
Kolmosť roviny.
Roviny sú kolmé, ak je uhol medzi nimi rovnaký.
Kritérium kolmosti rovín.
Dve roviny sú kolmé vtedy a len vtedy, ak jedna z nich prechádza cez kolmicu na druhú rovinu.
Veta o troch kolmiach:
No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, potom ste veľmi cool.
Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak ste dočítali až do konca, tak ste v tých 5%!
Teraz to najdôležitejšie.
Prišli ste na teóriu na túto tému. A opakujem, je to ... je to jednoducho super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.
Problém je, že to nemusí stačiť...
Prečo?
Za úspešné zloženie skúšky, za prijatie do ústavu s rozpočtom a HLAVNE na celý život.
Nebudem ťa o ničom presviedčať, poviem len jedno...
Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.
Ale to nie je to hlavné.
Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...
Ale zamysli sa nad sebou...
Čo je potrebné na to, aby ste boli na skúške lepší ako ostatní a v konečnom dôsledku ... šťastnejší?
VYPLŇTE SI RUKU, RIEŠTE PROBLÉMY V TEJTO TÉME.
Na skúške sa vás nebudú pýtať na teóriu.
Budete potrebovať riešiť problémy včas.
A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo ju jednoducho neurobíte včas.
Je to ako v športe – treba opakovať veľakrát, aby ste vyhrali.
Nájdite zbierku kdekoľvek chcete nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!
Môžete využiť naše úlohy (nie je potrebné) a určite ich odporúčame.
Na to, aby ste mohli pomôcť s našimi úlohami, potrebujete pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.
Ako? Sú dve možnosti:
- Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám v tomto článku -
- Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch tutoriálu - Kúpte si učebnicu - 899 rubľov
Áno, takýchto článkov máme v učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.
Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný počas celej životnosti stránky.
Na záver...
Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neprestávajte s teóriou.
„Rozumiem“ a „Viem, ako vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.
Nájdite problémy a riešte ich!