Numărul Graham și alte numere. Cel mai mare număr sau „număr Graham” de pe degete Numere mai mari decât numărul Graham

Care este cel mai mare număr din lume care înseamnă ceva? În acest articol voi încerca să vorbesc despre un monstru digital numit numărul Graham.

Scrie sly2m.livejournal.com

Sursă:

Dacă te uiți în abis mult timp, te poți distra.
Inginer mecanic de suflet

Graham Finger Number™

De îndată ce un copil (și acest lucru se întâmplă în jurul vârstei de trei sau patru ani) înțelege că toate numerele sunt împărțite în trei grupuri „unu, doi și mulți”, el încearcă imediat să afle: cât este mult, cât este mult. diferă de multe și dacă pot fi atât de multe încât să nu mai existe. Cu siguranță ai jucat un joc interesant (pentru acea vârstă) cu părinții tăi, care pot numi cel mai mult număr mai mare, iar dacă strămoșul nu era mai prost decât un elev de clasa a cincea, atunci el câștiga întotdeauna, răspunzând „două milioane” pentru fiecare „milion” și „două miliarde” sau „miliard plus unu” pentru fiecare „miliard”.

Deja în clasa întâi de școală, toată lumea știe că există un număr infinit de numere, nu se termină niciodată și nu există așa ceva ca cel mai mare număr. Pentru orice milion de trilioane de miliarde, poți spune oricând „plus unu” și totuși să câștigi. Și puțin mai târziu vine înțelegerea (ar trebui să vină!) că șirurile lungi de numere de la sine nu înseamnă nimic. Toate aceste trilioane de miliarde au sens doar atunci când servesc ca reprezentare a unui anumit număr de obiecte sau descriu un anumit fenomen. Nu există nicio dificultate în a veni cu un număr lung care nu reprezintă altceva decât un set de numere lungi; există deja un număr infinit de ele. Știința, într-o anumită măsură figurativă, este angajată în căutarea unor combinații foarte specifice de numere în acest abis vast, adăugându-le la un fenomen fizic, de exemplu, viteza luminii, numărul lui Avogadro sau constanta lui Planck.

Și imediat apare întrebarea, care este cel mai mare număr din lume care înseamnă ceva? În acest articol voi încerca să vorbesc despre monstrul digital numit numărul Graham, deși strict vorbind, știința cunoaște numere mai mari. Numărul lui Graham este cel mai hyped, s-ar putea spune număr „auzit” în rândul publicului larg, pentru că este destul de simplu de explicat și totuși suficient de mare pentru a face capul să se întoarcă. În general, aici este necesar să se declare o mică declinare a răspunderii (avertisment rusesc). Poate sună ca o glumă, dar nu glumesc deloc. Spun destul de serios - adâncirea meticuloasă în astfel de adâncimi matematice, cuplată cu extinderea nestăpânită a granițelor percepției, poate avea (și va avea) un impact serios asupra viziunii asupra lumii, asupra poziționării individului în societate și, în cele din urmă, asupra generalului starea psihologica cules, sau, să numim un cazma un cazma - deschide calea spre prostie. Nu este nevoie să citiți cu prea multă atenție textul următor și nu ar trebui să vă imaginați lucrurile descrise în el prea viu și viu. Și nu spune mai târziu că nu ai fost avertizat!

Înainte de a trece la numerele monstru, să ne exersăm mai întâi pe pisici. Permiteți-mi să vă reamintesc că pentru a descrie numere mari (nu monștri, ci pur și simplu numere mari) este convenabil să folosiți științifice sau așa-numitele. notă exponențială.

Când vorbesc, să zicem, despre numărul de stele din Univers (în Universul Observabil), niciun idiot nu se deranjează să calculeze câte sunt la propriu, până la ultima stea. Se crede că există aproximativ 10²¹ bucăți. Și aceasta este o estimare mai mică. Aceasta înseamnă că numărul total de stele poate fi exprimat printr-un număr care are 21 de zerouri după unul, adică. „1.000.000.000.000.000.000.000”.

Așa arată o mică parte dintre ele (aproximativ 100.000) din clusterul globular Omega Centauri.

Desigur, când despre care vorbim despre astfel de scale, numerele reale nu joacă un rol semnificativ în număr, totul este foarte condiționat și aproximativ. Numărul real de stele din Univers poate fi „1.564.861.615.140.168.357.973” sau poate „9.384.684.643.798.468.483.745”. Sau chiar „3 333 333 333 333 333 333 333”, de ce nu, deși puțin probabil, desigur. În cosmologie, știința proprietăților Universului în ansamblu, nu se deranjează cu astfel de fleacuri. Principalul lucru este să vă imaginați că aproximativ acest număr este format din 22 de cifre, ceea ce face mai convenabil să îl considerați unul urmat de 21 de zerouri și să îl scrieți ca 10²¹. Regula este generală și foarte simplă. Orice cifră sau număr stă în locul gradului (imprimat cu litere mici peste 10), atâtea zerouri după unitate vor fi în acest număr, dacă îl pictezi într-un mod simplu, cu semne într-un rând, și nu într-un mod științific. Unele numere au „nume de om”, de exemplu, numim 10³ „mii”, 10⁶ „milioane” și 10⁹ „miliard”, dar unele nu au. Să presupunem că 10⁵⁹ nu are un nume general acceptat. Și 10²¹, apropo, îl are - este un „sextilion”.

Tot ceea ce ajunge la un milion este intuitiv intuitiv pentru aproape orice persoană, pentru că cine nu vrea să devină milionar? Apoi unii oameni încep să aibă probleme. Deși aproape toată lumea cunoaște un miliard (10⁹). Poți chiar număra până la un miliard. Dacă, imediat după ce te-ai născut, literalmente în momentul nașterii, începi să numeri o dată pe secundă „unu, doi, trei, patru...” și nu dormi, nu bei, nu mănânci, ci doar numără, numără, numără neobosit zi și noapte, apoi când împlinești 32 de ani, poți număra până la un miliard, pentru că 32 de rotații ale Pământului în jurul Soarelui durează aproximativ un miliard de secunde.

7 miliarde este numărul de oameni de pe planetă. Pe baza celor de mai sus, numără-le pe toate în ordine viata umana Este complet imposibil, va trebui să trăiești mai mult de două sute de ani.

100 de miliarde (10¹¹) - acesta este cât de mulți oameni au trăit pe planetă de-a lungul istoriei sale. McDonald's a vândut 100 de miliarde de hamburgeri până în 1998, pe parcursul celor 50 de ani de existență. Există 100 de miliarde de stele (ei bine, puțin mai multe) în galaxia noastră Calea Lactee, iar Soarele este una dintre ele. Universul observabil conține același număr de galaxii. Există 100 de miliarde de neuroni în creierul uman. Și tot același număr de bacterii anaerobe trăiesc în cecumul tuturor celor care citesc aceste rânduri.

Trilion (10¹²) este un număr care este rar folosit. Este imposibil de numărat până la un trilion; va dura 32 de mii de ani. Cu un trilion de secunde în urmă, oamenii trăiau în peșteri și vânau mamuți cu sulițe. Da, acum un trilion de secunde, mamuții trăiau pe Pământ. Există aproximativ un trilion de pești în oceanele planetei. Galaxia noastră vecină Andromeda are aproximativ un trilion de stele. O persoană este formată din 10 trilioane de celule. PIB-ul Rusiei în 2013 s-a ridicat la 66 de trilioane de ruble (în 2013 de ruble). De la Pământ la Saturn, 100 de trilioane de centimetri și același număr de litere în total au fost tipărite în toate cărțile publicate vreodată.

Un cvadrilion (10¹⁵, milioane de miliarde) este numărul de furnici de pe planetă. Oamenii normali nu rostesc acest cuvânt cu voce tare, ei bine, recunoașteți-l, când ați auzit ultima dată „un cvadrilion de ceva” într-o conversație?

Quintillion (10¹⁸, miliarde de miliarde) - iată câte configurații posibile există atunci când rezolvăm un cub Rubik de 3x3x3. De asemenea, numărul de metri cubi de apă din oceanele lumii.

Sextillion (10²¹) - am întâlnit deja acest număr. Numărul de stele din Universul Observabil. Numărul de boabe de nisip din toate deșerturile de pe Pământ. Numărul de tranzistori din toate dispozitivele electronice existente ale omenirii, dacă Intel nu ne-a mințit.

10 sextilioane (10²²) este numărul de molecule dintr-un gram de apă.

10²⁴ - masa Pământului în kilograme.

10²⁶ este diametrul Universului Observabil în metri, dar numărarea în metri nu este foarte convenabilă; limitele general acceptate ale Universului Observabil sunt de 93 de miliarde de ani lumină.

Pentru a vizualiza proporțiile cosmice, este util să studiezi această imagine, extinzând-o la ecran complet.

Cu toate acestea, chiar și în Universul Observabil puteți înghesui mult mai mult altceva decât metri.

10⁵¹ atomi alcătuiesc planeta Pământ.

10⁸⁰ este numărul aproximativ de particule elementare din Universul Observabil.

10⁹⁰ este numărul aproximativ de fotoni din Universul Observabil. Sunt de aproape 10 miliarde de ori mai multe decât particulele elementare, electronii și protonii.

10¹⁰⁰ - googol. Acest număr nu înseamnă nimic fizic, este doar rotund și frumos. Compania care și-a propus obiectivul de a indexa link-urile Google (doar glumesc, desigur, acesta este mai mult decât numărul de particule elementare din Univers!) în 1998 a luat numele Google.

Vor fi necesari 10¹²² de protoni pentru a umple Universul Observabil la capacitate maximă, strâns, de proton la proton, de la capăt la capăt.

10¹⁸⁵ volume Planck sunt ocupate de Universul Observabil. Știința noastră nu cunoaște cantități mai mici decât volumul Planck (un cub cu o lungime Planck de 10⁻³⁵ metri). Cu siguranță, ca și în Univers, există ceva și mai mic acolo, dar oamenii de știință nu au venit încă cu formule sănătoase pentru astfel de fleacuri, sunt doar speculații pure.

Se pare că 10¹⁸⁵ este cel mai mare număr care, în principiu, poate însemna ceva în știința modernă. Într-o știință care poate atinge și măsura. Este ceva care există sau ar putea exista dacă s-ar fi întâmplat că am fi învățat tot ce era de știut despre Univers. Numărul este format din 186 de cifre, aici este:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Sau ați auzit despre teoria corzilor, conform căreia pot exista aproximativ 10⁵⁰⁰ configurații de vibrații ale corzilor, ceea ce înseamnă același număr de universuri potențiale, fiecare cu propriile legi.

Voi menționa doar googolplexul, care este binecunoscut de mulți. Un număr cu cifre googol, zece la puterea lui googol sau zece la puterea lui zece la puterea lui o sută

Nu o voi scrie în cifre. Googolplex nu înseamnă absolut nimic. O persoană nu își poate imagina un googolplex de nimic, este fizic imposibil. Pentru a nota un astfel de număr, veți avea nevoie de întregul Univers Observabil, dacă scrieți cu un „nano-pen” direct peste vid, de fapt în celulele Planck ale cosmosului. Să transformăm toată materia în cerneală și să umplem Universul doar cu numere solide, apoi vom obține un googolplex. Dar matematicienii (oameni groaznici!) tocmai se încălzesc cu Googolprex, acesta este cel mai jos bar de la care pornesc lucruri adevărate bune pentru ei. Și dacă credeți că googolplex la puterea googolplex este ceea ce vorbim, habar nu aveți CÂT de greșiți.

După googolplex există multe numere interesante care au un rol sau altul în dovezile matematice, dar să trecem direct la numărul Graham, numit după (bine, firesc) matematicianul Ronald Graham. În primul rând, vă voi spune ce este și pentru ce este necesar, după care voi descrie la figurat și pe degetele mele™ dimensiunea lui, apoi voi scrie numărul în sine. Mai precis, voi încerca să explic ce am scris.

Imaginați-vă un cub, ale cărui vârfuri sunt conectate prin linii-segmente de două culori, roșu sau albastru. Conectat și colorat în ordine aleatorie. Unii oameni au ghicit deja că vom vorbi despre o ramură a matematicii numită combinatorică.

Putem fi deștepți și să alegem o configurație de culori (și sunt doar două dintre ele - roșu și albastru) astfel încât atunci când colorăm aceste segmente să NU ajungem cu toate segmentele de aceeași culoare să conecteze cele patru vârfuri situate în același avion? În acest caz, ele NU reprezintă o astfel de cifră:

Dacă avem mai multe dimensiuni? Ce se întâmplă dacă nu luăm un cub, ci un cub cu patru dimensiuni, adică tesseract? Putem realiza același truc pe care l-am făcut cu 3D?

În a cincea dimensiune? Și în a cincea dimensiune, unde cubul este numit penteract sau pentacub, este și posibil.
Și în șase dimensiuni.

Și apoi sunt dificultăți. Graham nu a putut demonstra matematic că un hipercub cu șapte dimensiuni ar putea efectua o astfel de operație. Atât opt-dimensionale, cât și nouă-dimensionale și așa mai departe. Dar acest „și așa mai departe”, s-a dovedit, nu merge la infinit, ci se termină cu un număr foarte mare, care a fost numit „numărul Graham”.

Adică, există o dimensiune minimă a hipercubului la care condiția este încălcată și nu mai este posibil să se evite combinația de colorare a segmentelor astfel încât patru puncte de aceeași culoare să se afle în același plan. Și această dimensiune minimă este cu siguranță mai mare de șase și cu siguranță mai mică decât numărul lui Graham, aceasta este dovada matematică a omului de știință.

Luați în considerare un hipercub n-dimensional și conectați toate perechile de vârfuri pentru a obține un grafic complet cu 2n vârfuri. Să colorăm fiecare margine a acestui grafic fie roșu, fie Culoarea albastră. Căci care este cea mai mică valoare a lui n, fiecare astfel de colorare conține în mod necesar un subgraf complet cu o singură culoare cu patru vârfuri, toate situate în același plan?

Au trecut mulți ani de la anii 70, s-au găsit probleme de matematică în care apar numere mai mari decât Graham, dar acest prim număr monstru i-a uimit atât de mult pe contemporani care au înțeles scara despre care vorbim, încât în 1980 a fost inclus în Cartea Recordurilor Guinness ca "cel mai număr mare, implicat vreodată într-o demonstrație matematică riguroasă” la acel moment.

Să încercăm să ne dăm seama cât de mare este. Cel mai mare număr care poate avea orice semnificație fizică este 10¹⁸⁵, iar dacă întregul Univers observabil este umplut cu un set aparent nesfârșit de numere minuscule, obținem ceva comparabil cu un googolplex.

Vă puteți imagina această vastitate? Înainte, înapoi, sus, jos, cât de departe poate vedea ochiul și cât de departe poate vedea ochiul Telescopul Hubble, și chiar cât de mult lipsește, către cele mai îndepărtate galaxii și privind dincolo de ele - numere, numere, numere mult mai mici decât un proton. Un astfel de Univers, desigur, nu va putea exista pentru mult timp; se va prăbuși imediat într-o gaură neagră. Îți amintești câte informații se pot încadra teoretic în Univers?

Numărul este cu adevărat uriaș, îți supără mintea. Nu este exact egal cu googolplex și nu are un nume, așa că îl voi numi „dochulion”. M-am gândit la asta, de ce nu. Numărul de celule Planck din Universul Observabil și fiecare celulă conține un număr. Numărul conține 10¹⁸⁵ cifre și poate fi reprezentat ca

Să deschidem puțin mai larg ușile percepției. Îți amintești teoria inflației? Că Universul nostru este doar una dintre multele bule din Multivers. Dacă îți imaginezi o duzină de astfel de bule? Să luăm un număr atât de lung cât tot ce există și să ne imaginăm un Multivers cu un număr similar de universuri, fiecare dintre acestea fiind acoperit la capacitate maximă cu numere - obținem un dochulion de dochulion. Vă puteți imagina asta? Cum plutești în inexistența unui câmp scalar, iar în jurul tău sunt universuri-universuri și în ele numere-numere-numere... Sper că un astfel de coșmar (totuși, de ce un coșmar?) nu va chinui ( și de ce chinui?) un cititor prea impresionabil noaptea.

Pentru comoditate, vom numi această operație „flip”. O interjecție atât de frivolă, de parcă ar fi luat Universul și l-au întors pe dos, atunci era înăuntru în cifre, dar acum, dimpotrivă, avem atâtea universuri în afară câte numere erau și fiecare cutie este plină, ea însăși toată în cifre. La fel cum cureți o rodie, îndoiți crusta, boabele ies din interior, iar în boabe sunt din nou rodii. Am venit și eu cu ideea din mers, de ce nu, a fost o plimbare grozavă cu dokhulionul.

La ce ajung? Ar trebui să încetinești? Haide, hoba, și încă un flip! Și acum avem atâtea universuri câte numere au existat în universuri, al căror număr era egal cu până la un milion de numere care ne-au umplut Universul. Și imediat, fără să te oprești, flip din nou. Și al patrulea și al cincilea. A zecea, a miilea. Vă țineți pasul cu gândurile, vă mai puteți imagina imaginea?

Să nu pierdem timpul cu fleacuri, să deschidem aripile imaginației, să accelerăm la maxim și să flip flip flips. Întoarcem fiecare univers de atâtea ori câte zeci de universuri au fost în flip-ul precedent, care a fost un flip față de cel dinaintea ultimului, pe care... uh... ei bine, îl urmărești? Undeva ca asta. Numărul nostru să devină acum, să spunem, „dohuliard”.

Dohuliard = flip of flips

Nu ne oprim și continuăm să răsturnăm dohullions de dohuliards atâta timp cât avem puterea. Până se întunecă în ochii tăi, până când vrei să țipi. Aici fiecare este propriul său curajos Pinocchio, cuvântul sigur va fi „brânză”.

Deci aici este. Despre ce este vorba? Uriașii și infinitii dohullions de flip-uri și dohuliards de universuri de cifre complete nu pot fi comparate cu numărul lui Graham. Nici măcar nu răzuiesc suprafața. Dacă numărul lui Graham este reprezentat ca un băț, întins în mod tradițional pe întregul Univers Observabil, atunci ceea ce am venit aici se va dovedi a fi o crestătură de grosime... ei bine... cum pot să o spun ușor... .nedemn de menționat. Așa că l-am înmuiat cât am putut.

Acum să luăm o pauză și să luăm o pauză. Am citit, am numărat, ochii noștri erau obosiți. Să uităm de numărul lui Graham, este încă un drum lung de parcurs, să ne concentrăm ochii, să ne relaxăm, să medităm la un număr mult mai mic, chiar în miniatură, pe care îl vom numi g₁ și să-l notăm în doar șase caractere:
g₁ = 33

Numărul g₁ este egal cu „trei, patru săgeți, trei”. Ce înseamnă? Așa arată metoda de scriere numită notația săgeată a lui Knuth.

O săgeată înseamnă exponentiație obișnuită.

44 = 4⁴ = 256

1010 = 10¹⁰ = 10.000.000.000

Două săgeți înseamnă, în mod clar, ridicarea la puterea unei puteri.

Pe scurt, „săgeată săgeată un alt număr” arată ce înălțime a puterilor (matematicienii spun „turn”) este construită din primul număr. De exemplu, 58 înseamnă un turn de opt cinci și este atât de mare încât nu poate fi calculat pe niciun supercomputer, chiar și pe toate computerele de pe planetă în același timp.

Să trecem la cele trei săgeți. Dacă săgeata dublă ar indica înălțimea turnului de grade, atunci săgeata triplă ar părea să indice „înălțimea turnului de înălțimea turnului”? Ce naiba! În cazul a trei, avem înălțimea turnului înălțimea turnului înălțimea turnului (nu există un astfel de concept în matematică, am decis să-l numesc „fără turn”). Ceva de genul:

Adică 33 formează un turn nebun de tripleți, înalt de 7 trilioane. Ce sunt 7 trilioane trei stivuite unul peste altul și numiți „nebuni”? Dacă ați citit cu atenție acest text și nu ați adormit chiar de la început, probabil vă amintiți că de la Pământ la Saturn sunt 100 de trilioane de centimetri. Cele trei afișate pe ecran în al doisprezecelea font, acesta - 3 - are cinci milimetri înălțime. Asta înseamnă că o serie nebună de trei se va întinde de pe ecranul tău... ei bine, nu spre Saturn, desigur. Nici măcar nu va ajunge la Soare, doar un sfert dintr-o unitate astronomică, cam la distanța de la Pământ la Marte pe vreme bună. Permiteți-mi să vă atrag atenția (nu dormi!) că un turn nebun nu este un număr pe lungimea de la Pământ la Marte, este un turn de grade de asemenea înălțime. Ne amintim că cinci tripleți din acest turn acoperă googolplexul, calculând primul decimetru de tripleți arde toate siguranțele computerelor planetei, iar milioanele de kilometri de grade rămase par să nu fie de folos, pur și simplu își bat joc de cititor, este este inutil să le numărăm.

Acum este clar că 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 fără turn, (nu 3 la gradul de fără turn, ci „trei săgeți săgeată nebună”(!)), alias imprudența fără turn nu se va potrivi nici în lungime, nici în înălțime în Universul Observabil și nici măcar nu se va potrivi în presupusul Multivers.

La 35 = 33333 cuvintele se termină, iar la 36 = 333333 se termină interjecțiile, dar poți exersa dacă te interesează.

Este inutil să-l calculezi și nu va funcționa. Numărul de grade de aici nu poate fi numărat în mod semnificativ. Acest număr este imposibil de imaginat, este imposibil de descris. Nu se aplică analogii cu degetele™; pur și simplu nu există nimic cu care să comparați numărul. Putem spune că este uriaș, că este grandios, că este monumental și că privește dincolo de orizontul evenimentelor. Adică, dați-i niște epitete verbale. Dar vizualizarea, chiar și liberă și imaginativă, este imposibilă. Dacă cu trei săgeți mai era posibil să spui ceva, să atragi o nesăbuință de pe Pământ pe Marte, să o compari cumva cu ceva, atunci pur și simplu nu pot exista analogii. Încearcă să-ți imaginezi un turn subțire de tripleți de la Pământ la Marte, lângă altul aproape la fel, și altul, și altul... Un câmp nesfârșit de turnuri se duce în depărtare, în infinit, turnuri peste tot, turnuri peste tot. Și cel mai ofensator este că aceste turnuri nici măcar nu au legătură cu numărul, ele determină doar înălțimea altor turnuri care trebuie construite pentru a obține înălțimea turnurilor, pentru a obține înălțimea de turnurile... astfel încât după o perioadă inimaginabilă de timp și iterații să obțină numărul în sine.

Asta este g₁, asta este 33.

Te-ai odihnit? Acum, de la g₁, ne întoarcem cu vigoare reînnoită la asaltul asupra numărului lui Graham. Ați observat cum crește escalada de la săgeată la săgeată?

33 = 7 625 597 484 987

33 = turn, înălțimea Pământului până la Marte.

33 = un număr imposibil de imaginat sau descris.

Vă puteți imagina ce fel de coșmar digital se întâmplă când împușatorul se dovedește a fi cinci ani? Când sunt șase? Vă puteți imagina numărul când trăgătorul va fi o sută? Dacă puteți, permiteți-mi să vă ofer un număr g₂ în care numărul acestor săgeți se dovedește a fi egal cu g₁. Amintește-ți ce este g₁, nu?

Tot ce s-a scris până acum, toate aceste calcule, grade și turnuri care nu se încadrează în multiversurile multiversurilor, era nevoie doar pentru un singur lucru. Pentru a arăta NUMĂRUL DE SĂGĂȚI din numărul g₂. Nu este nevoie să numeri nimic aici, poți doar să râzi și să fluturi mâna.

Nu o voi ascunde, există și g₃, care conține shooter-ul g₂. Apropo, este încă clar că g₃ nu este g₂ „la puterea” lui g₂, ci numărul de nebuni care determină înălțimea nebunilor care determină înălțimea... și așa mai departe de-a lungul întregului lanț până la moartea termică a Universului? Aici poți începe să plângi.

De ce plangi? Pentru că este absolut adevărat. Există și un număr g₄, care conține săgeți g₃ între cele trei. Există și g₅, există g₆ și g₇ și g₁₇ și g₄₃...

Pe scurt, sunt 64 dintre aceste g. Fiecare precedent este numeric egal cu numărul de săgeți din următorul. Ultimul g₆₄ este numărul lui Graham, cu care totul a început atât de nevinovat. Acesta este numărul de dimensiuni ale hipercubului, care cu siguranță va fi suficient pentru a colora corect segmentele cu culori roșii și albastre. Poate mai puțin, aceasta este, ca să spunem așa, limita superioară. Este scris astfel:

și ei scriu așa.

Pentru a ne imagina cumva scara numărului, să ne uităm la notația lui mai detaliat.

1 . Deci, în matematică există conceptul de „hiperoperator” pentru a determina nivelul operațiilor aritmetice. Astfel, adunarea este un hiperoperator de primul nivel, iar un hiperoperator de al doilea nivel este înmulțirea, care este o adunare repetată. Adică, un multiplicator este un număr care ne spune de câte ori trebuie să adăugăm valoarea înmulțită. De exemplu: 3 3 = 3 + 3 + 3 = 9. Următorul hiperoperator este exponentiația, X n = X^n, care este în esență înmulțire repetată. Exemplu: 3 3 = 3 3 3 = 27. Scrierea 3 3 în notația Knuth va arăta ca 33. Aici, pentru claritate, trebuie spus că prima cifră din expresia 33 este valoarea cu care efectuăm acțiunea și numărul de săgeți dintre numere este o operație aritmetică; în acest caz, o săgeată înseamnă exponențiere. A doua cifră înseamnă la ce putere trebuie ridicată prima cifră (de câte ori se înmulțește singur).În consecință, expresia 74 înseamnă șapte la a patra putere. Cu alte cuvinte, 7 trebuie înmulțit cu 7 de patru ori.

2 . Hiperoperatorul de al patrulea nivel este tetrația, exponențiarea repetată. În intrarea lui Knuth există două săgeți între numere. Exemplu: 33 = 3 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987. Adică, a doua cifră în prezența a două săgeți înseamnă că de atâtea ori trebuie să ridici primul număr la puterea de sine. Cu alte cuvinte, ne arată înălțimea turnului de putere de la primul număr. De exemplu, intrarea 58 înseamnă un turn de opt cinci, îngrămădiți unul peste altul ca niște cuburi.

Cei al căror creier este complet umflat de grăsime sau sunt ocupați doar cu gânduri despre cum să-și găsească un chan, să-și pompeze elful sau să scape de acnee, ar trebui să-și amintească că în tetrare expresiile sunt calculate de sus în jos, sau de la dreapta la stânga. Pur și simplu, 3 3 3 înseamnă nu nenorocit de 27 3, ci la fel 3 27 . Acum vezi, micul meu prieten blănos, că tetrarea este deja un mod destul de puternic de a scrie, permițându-ți să scrii într-o expresie scurtă numere de 100500 de ori mai mari decât 100500. Dar asta nu este tot, pentru că nu este un hiperoperator suficient de puternic pentru a calculați numărul Graham.

3 . Să mergem mai departe: al cincilea hiperoperator este pentația (tetrarea repetată). Trei săgeți între numere. De aici începe prostiile, de la care oamenii care nu sunt matematicieni profesioniști scuipă pe toate prostiile astea și nu mai încearcă să o înțeleagă. Dar tu nu ești ca ei, nu-i așa? Dacă ai crezut că pentația numărului 3 este extinsă în 3 la puterea de 7.625.597.484.987, atunci te înșeli. Habar nu ai CAT de gresesti. Pentru că 3 la puterea lui 7.625.597.484.987 este doar 34. Și pentația este 33 = 3(33) = 3(7.625.597.484.987) = 33...( număr de exponențiații - de 7.625.597.484.987 ori)…3. Adică, un turn liniștit de tripleți se dovedește a avea mai mult de șapte trilioane și jumătate de etaje! Cu alte cuvinte, al doilea număr cu trei săgeți înseamnă cât de înalt va fi turnul de tetrare al primului număr. Pentru o mai mare claritate: 34 poate fi scris ca 3 3 3 3 sau 3 (3 (3 3)). Și principalul lucru aici este să înțelegem că acest turn al tetrațiilor nu este un turn al gradelor, aici escaladarea este mult mai rapidă. 34 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3.
În sfârșit am înțeles, cățea?! 34 este egal cu 3 în tetrarea numărului, care se obține prin calcularea turnului de putere din numărul 3 cu o înălțime de 7.625.597.484.987 etaje. În consecință, dacă 34 este scris ca un turn de putere de tripleți, atunci numărul de etaje din acest turn va fi egal cu numărul care ar fi obținut la calcularea unui turn de putere cu o înălțime de 7.625.597.484.987 de etaje. Ți-ai imaginat? Nu mi-am imaginat, desigur, astfel de cantități nu pot fi înțelese deodată.

Dacă încă începi să nu înțelegi ce dracu’ se întâmplă aici, atunci recitește paragraful 2.

4 . Iar ultimul hiperoperator de care avem nevoie este hexarea. După cum probabil ați ghicit, există patru săgeți între cele trei. Aceasta este, în consecință, pentație repetată. Al doilea număr, dacă există patru săgeți, înseamnă cât de înalt va fi turnul „pentației”.. 33 = 3(33) = 333…33, unde numărul de tetrații este rezultatul calculării pentației 33. Dacă tot nu înțelegeți nimic, citiți din nou punctele 3 și 2.
Dacă trecem la capătul acestui lanț de tetrații de neconceput și începem să-l calculăm, atunci a doua triplă de la sfârșit va fi egală cu 7.625.597.484.987 în tetrare. Și rezultatul tetrarii celui de-al treilea triplu de la sfârșit va fi numărul obtinut prin pentarea triplei din paragraful anterior. Și în fața noastră sunt mai multe googolplex-uri și googolplex-uri ale tetrațiilor repetate ale numărului 3. Aici este deja inutil să încercăm să înțelegem ceva, să înțelegem cumva rezultatul... Și aici te poți întreba: „Este acesta cu adevărat numărul lui Graham? Uau, cât de mare este!” Dar nu, acesta nu este numărul lui Graham. A fost doar o zicală matematică și este nesemnificativă, nemăsurat de mică în comparație cu numărul lui Graham.

Prin urmare, hexation înseamnă doar adăugarea unei săgeți de pișuri la pentație, dar rezultatul se dovedește a fi mai mare cu un număr inimaginabil de ordine de mărime. Și acum, de fapt, calculăm numărul Graham. Numărul trei din exemple a fost folosit dintr-un motiv, deoarece numărul lui Graham este în esență tripleți înmulțiți. Deci, să numim rezultatul hexației noastre (33) G1. Acesta va fi primul pas al calculelor. Doar primul. Iar pasul următor accelerează progresia, astfel încât adăugarea unei, zece, MILIoane de săgeți între numere este marcarea timpului. Pasul doi este calcularea G2. Acum luăm rezultatul hexației noastre a triplei și scriem o expresie în care numărul de săgeți de superputere va fi egal cu acest rezultat. G2 = 3...(numărul de săgeți de superputere - G1)...3. Mă întreb cum se numește hiperoperatorul ACESTUI nivel?...

Scrierea nu numai a rezultatului, ci chiar și a acestui hiperoperator nu mai este posibilă fără abreviere. Iar numărul rezultat din calculul său (dacă, desigur, ar fi posibil să-l calculăm) ar umple Universul, lumile paralele, subspațiul și orice alt plan astral cu numerele sale. Și nu uitați că în G1 numărul de săgeți a fost egal cu patru - și acesta este deja un număr care este inaccesibil pentru calcul și înregistrare în mod obișnuit! Și în G2 acest număr este doar numărul de supergrade. Asta este. Progresul este incredibil de rapid. Și acesta este doar începutul. Următorul pas este de a calcula numărul G3, unde numărul de săgeți de superputere va fi egal cu G2! În mod similar, aceasta este urmată de încă 62 de pași de calcul, în care rezultatul fiecărui pas este doar numărul de săgeți de superputere ale pasului următor, iar numărul lui Graham este G64!

Vaisten, matanul dă uneori mai rău decât orice drog.

Era un bătrân, timid ca un băiat,
Patriarh stângaci, timid...
Cine este spadasinul pentru onoarea naturii?
Ei bine, bineînțeles, înflăcăratul Lamarck.
Osip Mandelstam

În afară de a descrie numărul lui Graham și multe alte numere interesante, aș dori să discut despre câteva numere. Acum se grăbesc să descifreze genomul uman. În opinia mea, acest lucru va fi de puțin folos, ca orice date experimentale care nu au măcar o teorie (nu este clar ce se măsoară de fapt), dar cel puțin s-a știut că genomul uman este format din 3,1 miliarde. baze (tot felul de timină cu guanină și alți uracili) Fiecare creatură vie, din punctul de vedere al teoriei evoluției lui Darwin, este considerată un test pentru supraviețuirea unei combinații date de baze și principala ciocnire a religiei cu teoria lui Darwin. apare atunci când teoria lui Darwin, sau mai degrabă interpretarea sa modernă, declară că această căutare are loc aleatoriu. În afara acestei afirmații, nu există nicio contradicție între teoria evoluționistă și tabloul descris, de exemplu, în Geneza iudeo-creștină, indiferent de ceea ce susțin creaționiștii acolo.

De exemplu, dacă presupunem că prima creatură vie a avut întreaga evoluție de la această primă creatură la omul modern programată în primul ADN, atunci această imagine, care poate fi considerată o interpretare modernă a evoluției lui Lamarck, nu este diferită de Geneza și prima creatură vie din acest experiment de gândire nu ar trebui să fie numite Adam lui Brodsky, ci arhetipul lui Lamarck. Doar cuvintele „Dumnezeu a creat” din Geneza în în acest contextînseamnă că Dumnezeu a scris arhetipul lui Lamarck în program. Apropo, acest program și metoda de programare în sine au fost inventate de El.

Să presupunem că combinația de perechi de baze ale acestei prime creaturi vii este unică, apoi putem estima de mai jos rata evoluției lui Darwin. Să începem cu faptul că cea mai mică creatură vie a fost găsită recent (se presupune că virușii sunt și mai mici, dar nu pot fi considerați creaturi pe deplin vii, deoarece pentru reproducere au nevoie de mecanismul celular al altcuiva - tot felul de mitocondrii etc., etc.) Să ne imaginăm că întregul univers (10 la puterea de 26 de metri) este umplut până la refuz cu aceste ființe vii care măsoară 0,009 microni cubi care testează în mod constant combinații de ADN, fiecare cu propria lor unică. Test eliminând dublarea testării ADN de către diferite ființe vii, iar dacă ceva are succes, atunci toate ființele vii ale universului învață instantaneu despre asta și își schimbă sarcina de testare, astfel încât toate combinațiile bazate pe un test nereușit să fie respinse de la testele ulterioare. Să numim numărul lui Darwin numărul total de genomuri care trebuie testate în acest fel, iar dacă înmulțim numărul lui Darwin cu durata minimă de viață a creaturii testate - timpul Planck, care este cuantumul minim de timp - și împărțim la numărul total a unor astfel de creaturi, atunci putem determina un anumit timp caracteristic unei astfel de evoluții, pe care îmi propun să-l numim timpul lui Darwin. Și dacă împărțiți timpul lui Darwin la vârsta maximă a universului nostru, puteți obține un număr pe care vă propun să-l numim numărul lui William of Occam, deoarece el a fost primul care a dovedit că metodele științifice nu pot dovedi existența lui Dumnezeu, dar nu pot dovedi a lui. fie absența. Într-adevăr, numărul lui Occam arată, în cadrul teoriei lui Darwin, numărul maxim de intrări în evoluția darwiniană în Universul nostru, adică separă acele combinații de ADN care pot fi genomul unei creaturi vii de cele care sunt în mod evident fatale. Adică, acest număr arată diferența dintre viață și moarte în Universul nostru.

Desigur, îmi propun să numim raportul dintre numărul Occam și numărul Graham numărul Brodsky și îmi propun să numim această procedură paradoxul Brodsky.

Postat inițial de lyubimica_mira la Graham Finger Number™

Original preluat din viclean2m în Graham Finger Number™

epigraf
Dacă privești în abis mult timp,
te poți distra bine.
Inginer mecanic de suflet

De îndată ce un copil (și acest lucru se întâmplă în jurul vârstei de trei sau patru ani) înțelege că toate numerele sunt împărțite în trei grupe „unu, doi și mulți”, el încearcă imediat să-și dea seama: cat este prea mult, Cum mult difera de asa de mult, și s-ar putea să iasă atât de mult încât nu se mai întâmplă. Cu siguranță ai jucat un joc interesant (pentru acea vârstă) cu părinții tăi, care pot numi cel mai mare număr și dacă strămoșul a fost nu mai prost decât un elev de clasa a cincea, apoi a câștigat întotdeauna, răspunzând „două milioane” pentru fiecare „milion” și „două miliarde” sau „miliard plus unu” pentru fiecare „miliard”.

Deja în clasa întâi de școală, toată lumea știe că există un număr infinit de numere, nu se termină niciodată și nu există așa ceva ca cel mai mare număr. Catre oricine milioane trilioane miliarde Poți oricând să spui „plus unu” și totuși să câștigi. Și puțin mai târziu vine înțelegerea (ar trebui să vină!) că șirurile lungi de numere de la sine nu înseamnă nimic. Toate acestea trilioane miliarde Ele au sens doar atunci când servesc ca reprezentare a unui anumit număr de obiecte sau descriu un anumit fenomen. Nu este dificil să găsești un număr lung care să nu reprezinte altceva decât un set de numere lungi; număr infinit. Știința, într-o anumită măsură figurativă, este angajată în căutarea unor combinații foarte specifice de numere în acest abis vast, adăugându-le la un fenomen fizic, de exemplu, viteza luminii, numărul lui Avogadro sau constanta lui Planck.

Și imediat apare întrebarea, care este cel mai mare număr din lume care înseamnă ceva? În acest articol voi încerca să vorbesc despre monstrul digital numit Numărul Graham, deși strict vorbind, știința cunoaște un număr mai mare. Numărul lui Graham este cel mai hyped, s-ar putea spune un număr „auzit” în rândul publicului larg, pentru că este destul de simplu de explicat și totuși suficient de mare pentru a întoarce capetele. În general, aici este necesar să se declare o mică declinare a răspunderii ( rus. avertizare). Poate sună ca o glumă, dar nu glumesc deloc. Spun destul de serios - adâncirea meticuloasă în asemenea profunzimi matematice, cuplată cu extinderea neîngrădită a granițelor percepției, poate (și va avea) un impact serios asupra viziunii asupra lumii, asupra poziționării individului în societate și, în cele din urmă, asupra starea psihologică generală cules, sau, să numim un cazma un cazma - deschide calea spre prostie. Nu este nevoie să citiți cu prea multă atenție textul următor și nu ar trebui să vă imaginați lucrurile descrise în el prea viu și viu. Și nu spune mai târziu că nu ai fost avertizat!
Degete:
Înainte de a trece la numerele monstru, să exersăm mai întâi pe pisici. Permiteți-mi să vă reamintesc că pentru a descrie numere mari (nu monștri, ci pur și simplu numere mari) este convenabil să folosiți științifice sau așa-numitele. exponenţială metoda de înregistrare.

Când vorbesc, să zicem, despre numărul de stele din Univers (în Universul Observabil), niciun idiot nu se deranjează să calculeze câte sunt la propriu, până la ultima stea. Se crede că există aproximativ 10 21 de piese. Și aceasta este o estimare mai mică. Aceasta înseamnă că numărul total de stele poate fi exprimat printr-un număr care are 21 de zerouri după unul, adică. „1.000.000.000.000.000.000.000”.

Așa arată o mică parte dintre ele (aproximativ 100.000) din clusterul globular Omega Centauri.

Desigur, când vine vorba de astfel de scale, numerele reale din număr nu joacă un rol semnificativ, la urma urmei, totul este foarte condiționat și aproximativ. Pot fi De fapt numărul de stele din Univers este „1.564.861.615.140.168.357.973” sau poate „9.384.684.643.798.468.483.745”. Sau chiar „3 333 333 333 333 333 333 333”, de ce nu, deși este puțin probabil, desigur. În cosmologie, știința proprietăților Universului în ansamblu, nu se deranjează cu astfel de fleacuri. Principalul lucru este să-ți imaginezi asta aproximativ acest număr este format din 22 de cifre, ceea ce face mai convenabil să îl considerați unul urmat de 21 de zerouri și să îl scrieți ca 10 21. Regula este generală și foarte simplă. Indiferent de cifră sau număr care stă în locul gradului (imprimat cu litere mici peste 10 aici), câte zerouri după unitate vor fi în acest număr, dacă îl pictezi într-un mod simplu, cu semne pe rând și nu într-un mod științific. Unele numere au „nume de om”, de exemplu, numim 10 3 „mii”, 10 6 - „milion”, iar 10 9 - „miliard”, dar unele nu au. Să presupunem că 10 59 nu are un nume general acceptat. Și 10 21, apropo, are - acesta este un „sextilion”.

Tot ceea ce urcă până la un milion este intuitiv de înțeles pentru aproape orice persoană, pentru că care nu vrea să devină milionar? Apoi unii oameni încep să aibă probleme. Deși aproape toată lumea cunoaște un miliard (10 9). Poți chiar număra până la un miliard. Dacă, imediat după ce te-ai născut, literalmente în momentul nașterii, începi să numeri o dată pe secundă „unu, doi, trei, patru...” și nu dormi, nu bei, nu mănânci, ci doar numără, numără, numără neobosit zi și noapte, apoi când împlinești 32 de ani, poți număra până la un miliard, pentru că 32 de rotații ale Pământului în jurul Soarelui durează aproximativ un miliard de secunde.

7 miliarde este numărul de oameni de pe planetă. Pe baza celor de mai sus, este absolut imposibil să le numeri pe toate în ordine în timpul vieții umane; va trebui să trăiești mai mult de două sute de ani.

100 de miliarde (10 11) - iată cât de mulți oameni au trăit pe planetă de-a lungul istoriei sale. McDonald's a vândut 100 de miliarde de hamburgeri până în 1998 în cei 50 de ani de existență. Există 100 de miliarde de stele (ei bine, puțin mai multe) în galaxia noastră Calea Lactee, iar Soarele este una dintre ele. Universul observabil conține același număr de galaxii. Există 100 de miliarde de neuroni în creierul uman. Și tot același număr de bacterii anaerobe trăiesc în cecumul tuturor celor care citesc aceste rânduri.

Trilion (10 12) este un număr care este rar folosit. Este imposibil de numărat până la un trilion; va dura 32 de mii de ani. Cu un trilion de secunde în urmă, oamenii trăiau în peșteri și vânau mamuți cu sulițe. Da, acum un trilion de secunde, mamuții trăiau pe Pământ. Există aproximativ un trilion de pești în oceanele planetei. Galaxia noastră vecină Andromeda are aproximativ un trilion de stele. O persoană este formată din 10 trilioane de celule. PIB-ul Rusiei în 2013 s-a ridicat la 66 de trilioane de ruble (în 2013 de ruble). De la Pământ la Saturn, 100 de trilioane de centimetri și același număr de litere în total au fost tipărite în toate cărțile publicate vreodată.
Cadrilion (10 15, milioane de miliarde) - atâtea furnici sunt pe planetă. Oamenii normali nu rostesc acest cuvânt cu voce tare, ei bine, recunoașteți-l, când ați auzit ultima dată „un cvadrilion de ceva” într-o conversație?
Quintillion (10 18, miliarde de miliarde) - iată câte configurații posibile există atunci când rezolvăm un cub Rubik 3x3x3. De asemenea, numărul de metri cubi de apă din oceanele lumii.
Sextillion (10 21) - am întâlnit deja acest număr. Numărul de stele din Universul Observabil. Numărul de boabe de nisip din toate deșerturile de pe Pământ. Numărul de tranzistori din toate dispozitivele electronice existente ale omenirii, dacă Intel nu ne-a mințit.
10 sextilioane (10 22) este numărul de molecule dintr-un gram de apă.
10 24 este masa Pământului în kilograme.
10 26 este diametrul Universului Observabil în metri, dar numărarea în metri nu este foarte convenabilă; limitele general acceptate ale Universului Observabil sunt de 93 de miliarde de ani lumină.

Știința nu operează cu dimensiuni mai mari decât Universul Observabil. Știm cu siguranță că Universul Observabil nu este întregul, întregul, întregul Univers. Aceasta este partea pe care noi, cel puțin teoretic, o putem vedea și observa. Sau poate că l-au văzut în trecut. Sau o vom putea vedea cândva în viitorul îndepărtat, rămânând în cadrul științei moderne. Din restul Universului, nici măcar cu viteza luminii, semnalele nu vor putea ajunge la noi, motiv pentru care aceste locuri, din punctul nostru de vedere, par să nu existe. Cât de mare este universul ăla mare De fapt Nimeni nu stie. Poate de un milion de ori mai mult decât Observable. Sau poate un miliard. Sau poate chiar fără sfârșit. Vă spun că aceasta nu mai este știință, ci ghicire pe zaț de cafea. Oamenii de știință au câteva presupuneri, dar aceasta este mai mult fantezie decât realitate.
Pentru a vizualiza proporțiile cosmice, este util să studiezi această imagine, extinzând-o la ecran complet.

Cu toate acestea, chiar și în Universul Observabil puteți înghesui mult mai mult altceva decât metri.
1051 de atomi alcătuiesc planeta Pământ.
10 80 este numărul aproximativ de particule elementare din Universul Observabil.
10 90 este numărul aproximativ de fotoni din Universul Observabil. Sunt de aproape 10 miliarde de ori mai multe decât particulele elementare, electronii și protonii.
10 100 - googol. Acest număr nu înseamnă nimic fizic, este doar rotund și frumos. Compania care și-a propus obiectivul de a indexa link-urile Google (doar glumesc, desigur, acesta este mai mult decât numărul de particule elementare din Univers!) în 1998 a luat numele Google.
Vor fi necesari 10.122 de protoni pentru a umple Universul Observabil la capacitate maximă, strâns, de proton la proton, de la capăt la capăt.
Universul Observabil ocupă 10.185 de volume Planck. Știința noastră nu cunoaște cantități mai mici decât volumul Planck (un cub cu o lungime Planck de 10–35 de metri). Cu siguranță, ca și în Univers, există ceva și mai mic acolo, dar oamenii de știință nu au venit încă cu formule sănătoase pentru astfel de fleacuri, sunt doar speculații pure.

Se dovedește că aproximativ 10.185 este cel mai mare număr care, în principiu, poate însemna ceva în știința modernă. Într-o știință care poate atinge și măsura. Este ceva care există sau ar putea exista dacă s-ar fi întâmplat că am fi învățat tot ce era de știut despre Univers. Numărul este format din 186 de cifre, aici este:
100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Știința, desigur, nu se termină aici, dar dincolo de asta există teorii libere, presupuneri și chiar doar zgârieturi și curse pseudoștiințifice. De exemplu, probabil ați auzit despre teoria inflaționistă, conform căreia, poate, Universul nostru este doar o parte dintr-un Multivers mai general, în care aceste universuri sunt ca bulele într-un ocean de șampanie.

Sau ai auzit despre teoria corzilor, conform căreia pot exista aproximativ 10.500 de configurații de vibrații ale corzilor, ceea ce înseamnă același număr de universuri potențiale, fiecare cu propriile legi.

Cu cât mai departe în pădure, cu atât fizica și știința în general mai puțin teoretică rămân în număr tot mai mare, iar în spatele coloanelor de zerouri începe să apară o regină a științelor din ce în ce mai pură, neînnoră. Matematica nu este fizică, nu există restricții și nu e de ce să-ți fie rușine, distrează-te, scrie zerouri în formule până scapi.
Voi aminti doar cele binecunoscute googolplex. Un număr care are cifre googol, zece la puterea lui googol (10 googol) sau zece la puterea lui zece la puterea lui o sută (10 10 100).
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Nu o voi scrie în cifre. Googolplex nu înseamnă absolut nimic. O persoană nu își poate imagina un googolplex de nimic, este fizic imposibil. Pentru a nota un astfel de număr, veți avea nevoie de întregul Univers Observabil, dacă scrieți cu un „nano-pen” direct peste vid, de fapt în celulele Planck ale cosmosului. Să transformăm toată materia în cerneală și să umplem Universul doar cu numere solide, apoi vom obține un googolplex. Dar matematicienii (oameni groaznici!) tocmai se încălzesc cu Googolprex, acesta este bara cea mai de jos de la care încep nimeni adevărați pentru ei. Și dacă credeți că googolplex la puterea googolplex este ceea ce vorbim, habar nu aveți CÂT de greșiți.

După googolplex există multe numere interesante care au un rol sau altul în dovezile matematice, dar să trecem direct la numărul Graham, numit după (bine, firesc) matematicianul Ronald Graham. În primul rând, vă voi spune ce este și de ce este necesar, apoi la figurat și pe degetele tale™ Voi descrie care este dimensiunea sa și apoi voi scrie numărul în sine. Mai precis, voi încerca să explic ce am scris.

Numărul lui Graham a apărut într-o lucrare dedicată rezolvării uneia dintre problemele din teoria Ramsey, iar „Ramsey” aici nu este un gerunziu imperfect, ci numele de familie al unui alt matematician, Frank Ramsey. Sarcina, desigur, este destul de exagerată din punctul de vedere al unui profan, deși nu este foarte complicată și chiar ușor de înțeles.
Imaginați-vă un cub, ale cărui vârfuri sunt conectate prin linii-segmente de două culori, roșu sau albastru. Conectat și colorat în ordine aleatorie. Unii oameni au ghicit deja că vom vorbi despre o ramură a matematicii numită combinatorică.

Putem fi deștepți și să alegem o configurație de culori (și sunt doar două dintre ele - roșu și albastru) astfel încât atunci când colorăm aceste segmente să NU ajungem cu toate segmentele de aceeași culoare să conecteze cele patru vârfuri situate în același avion? În acest caz, ele NU reprezintă o astfel de cifră:

Poți să te gândești singur, să învârți cubul în imaginația ta în fața ochilor tăi, nu este atât de greu să faci asta. Sunt două culori, cubul are 8 vârfuri (colțuri), ceea ce înseamnă că sunt 28 de segmente care le conectează.Puteți alege configurația de colorare în așa fel încât să nu ajungem nicăieri figura de mai sus, vor fi linii multicolore în toate planurile posibile.
Dacă avem mai multe dimensiuni? Ce se întâmplă dacă nu luăm un cub, ci un cub cu patru dimensiuni, adică tesseract? Putem realiza același truc pe care l-am făcut cu 3D?

Nici nu voi începe să explic ce este un cub cu patru dimensiuni, știe toată lumea? Un cub cu patru dimensiuni are 16 vârfuri. Și nu trebuie să-ți strângi creierul și să încerci să-ți imaginezi un cub cu patru dimensiuni. Aceasta este matematică pură. M-am uitat la numărul de dimensiuni, l-am conectat în formulă și am obținut numărul de vârfuri, muchii, fețe și așa mai departe. Ei bine, sau ați căutat-o pe Wikipedia dacă nu vă amintiți formula. Deci un cub cu patru dimensiuni are 16 vârfuri și 120 de segmente care le conectează. Numărul de combinații de colorare în cazul cu patru dimensiuni este mult mai mare decât în cazul tridimensional, dar nici aici nu este foarte dificil de numărat, împărțit, redus și altele asemenea. Pe scurt, află că în spațiul cu patru dimensiuni poți deveni creativ și colorând segmentele unui hipercub în așa fel încât toate liniile de aceeași culoare care leagă 4 vârfuri să nu se afle în același plan.
În a cincea dimensiune? Și în a cincea dimensiune, unde cubul este numit penteract sau pentacub, este și posibil.
Și în șase dimensiuni.
Și apoi sunt dificultăți. Graham nu a putut demonstra matematic că un hipercub cu șapte dimensiuni ar putea efectua o astfel de operație. Atât opt-dimensionale, cât și nouă-dimensionale și așa mai departe. Dar acest „și așa mai departe”, s-a dovedit, nu merge la infinit, ci se termină cu un număr foarte mare, care a fost numit „numărul Graham”.
Adică există unele dimensiunea minima hipercub, în care condiția este încălcată și nu mai este posibilă evitarea combinației de colorare a segmentelor astfel încât patru puncte de aceeași culoare să se afle în același plan. Și această dimensiune minimă este cu siguranță mai mare de șase și cu siguranță mai mică decât numărul lui Graham, aceasta este dovada matematică a omului de știință.

Și acum definiția a ceea ce am descris mai sus în câteva paragrafe, în limbajul sec și plictisitor (dar încăpător) al matematicii. Nu este nevoie să înțeleg, dar nu pot să nu aduc în discuție.
Luați în considerare un hipercub n-dimensional și conectați toate perechile de vârfuri pentru a obține un grafic complet cu 2n vârfuri. Să colorăm fiecare margine a acestui grafic fie cu roșu, fie cu albastru. Căci care este cea mai mică valoare a lui n, fiecare astfel de colorare conține în mod necesar un subgraf complet cu o singură culoare cu patru vârfuri, toate situate în același plan?

În 1971, Graham a dovedit că această problemă are o soluție și că această soluție (numărul de dimensiuni) se află între numărul 6 și un număr mai mare, care mai târziu (nu de către autor însuși) a fost numit după el. În 2008, dovada a fost îmbunătățită, limita inferioară a fost ridicată, iar acum numărul necesar de dimensiuni se află între numărul 13 și numărul lui Graham. Matematicienii nu dorm, munca continuă, domeniul de aplicare se îngustează.
Au trecut mulți ani de la anii 70, s-au găsit probleme de matematică în care apar numere mai mari decât Graham, dar acest prim număr monstru i-a uimit atât de mult pe contemporani care au înțeles scara despre care vorbim, încât în 1980 a fost inclus în Cartea Recordurilor Guinness ca „cel mai mare număr implicat vreodată într-o demonstrație matematică riguroasă” la acel moment.

Să încercăm să ne dăm seama cât de mare este. Cel mai mare număr care poate avea vreo semnificație fizică este 10.185, iar dacă întregul Univers observabil este umplut cu un set aparent nesfârșit de numere minuscule, obținem ceva proporțional cu googolplex.

Vă puteți imagina această vastitate? Înainte, înapoi, sus, jos, cât poate vedea ochiul și cât poate vedea telescopul Hubble, și chiar cât poate telescopul Hubble, până la cele mai îndepărtate galaxii și privind dincolo de ele - numere, numere, numere mult mai mic decât un proton. Un astfel de Univers, desigur, nu va putea exista pentru mult timp; se va prăbuși imediat într-o gaură neagră. Îți amintești câte informații se pot încadra teoretic în Univers? Ţi-am spus.

Numărul este cu adevărat uriaș, îți supără mintea. Nu este exact egal cu googolplex și nu are un nume, așa că îl voi numi " dochulion". M-am gândit la asta, de ce nu. Numărul de celule Planck din Universul Observabil și fiecare celulă conține o cifră. Numărul conține 10.185 de cifre, poate fi descris ca 10 10 185.
dochulion = 10 10 185
Să deschidem puțin mai larg ușile percepției. Îți amintești teoria inflației? Că Universul nostru este doar una dintre multele bule din Multivers. Și dacă vă imaginați dochulion asemenea bule? Să luăm un număr atâta timp cât există tot ceea ce există și să ne imaginăm un Multivers cu un număr similar de universuri, fiecare dintre ele acoperit până la refuz cu numere - obținem dochulion dokhulion. Vă puteți imagina asta? Cum plutești în inexistența unui câmp scalar, iar în jurul tău sunt universuri-universuri și în ele numere-numere-numere... Sper că un astfel de coșmar (totuși, de ce un coșmar?) nu va chinui ( și de ce chinui?) un cititor prea impresionabil noaptea.

Pentru comoditate, să numim această operațiune „ flip„. O interjecție atât de frivolă, de parcă au luat Universul și l-au întors pe dos, atunci era înăuntru în cifre, dar acum, dimpotrivă, afară avem atâtea universuri câte numere au fost și fiecare cutie este plină, plin de numere.Ca decojirea unei rodii, Indoi asa crusta, boabele ies dinauntru, iar in boabe sunt iar rodii.A iesit si din mers de ce nu, cu dochulion la urma urmei, a fost o plimbare.
La ce ajung? Ar trebui să încetinești? Haide, hoba, și încă unul flip! Și acum avem atâtea universuri câte numere au existat în universuri, al căror număr era egal cu până la un milion de numere care ne-au umplut Universul. Și imediat, fără să te oprești, flip din nou. Și al patrulea și al cincilea. A zecea, a miilea. Vă țineți pasul cu gândurile, vă mai puteți imagina imaginea?

Să nu pierdem timpul cu fleacuri, să deschidem aripile imaginației, să accelerăm la maxim și să răsturnăm flip flips. Întoarcem fiecare univers de atâtea ori câte zeci de universuri au fost în flip-ul precedent, care a fost un flip față de cel dinaintea ultimului, pe care... uh... ei bine, îl urmărești? Undeva ca asta. Să presupunem că numărul nostru devine acum „ dohuliard".
dohuliard = flip flips
Nu ne oprim și continuăm să răsturnăm dohullions de dohuliards atâta timp cât avem puterea. Până se întunecă în ochii tăi, până când vrei să țipi. Aici fiecare este propria sa curajoasă Buratina, cuvântul sigur va fi „brânză”.
Deci aici este. Despre ce este vorba? Uriașii și infinitii dohullions de flip-uri și dohuliards de universuri de cifre complete nu pot fi comparate cu numărul lui Graham. Nici măcar nu răzuiesc suprafața. Dacă numărul lui Graham este reprezentat ca un băț, întins conform tradiției în întregul Univers Observabil, atunci suntem aici cu tine încurcat se va dovedi a fi o crestătură de grosime... ei bine... cum să-l spun așa, ca să spun ușor... nedemn de menționat. Așa că l-am înmuiat cât am putut.

Acum să luăm o pauză și să luăm o pauză. Am citit, am numărat, ochii noștri erau obosiți. Să uităm de numărul lui Graham, mai avem un drum lung de parcurs, să ne concentrăm privirea, să ne relaxăm, să medităm la un număr mult mai mic, chiar în miniatură, pe care îl vom numi g 1 și să-l notăm în doar șase caractere:
g 1 = 33
Numărul g 1 este egal cu „trei, patru săgeți, trei”. Ce înseamnă? Așa arată o metodă de înregistrare numită notație cu săgeți Knuth.
Pentru detalii și detalii puteți citi articolul de pe Wikipedia, dar există formule acolo, îl voi repeta pe scurt în cuvinte simple. O săgeată înseamnă exponentiație obișnuită.
22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000

Două săgeți înseamnă, în mod clar, ridicarea la puterea unei puteri.
23 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16
33 = 333 = 3 3 3 = 3 27 = 7.625.597.484.987 (mai mult de 7 trilioane)
34 = 3333 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = un număr cu aproximativ 3 trilioane de cifre

Pe scurt, „săgeată săgeată un alt număr” arată care este înălțimea puterilor (matematicienii spun „ turn") este construit de la primul număr. De exemplu, 58 înseamnă un turn de opt cinci și este atât de mare încât nu poate fi calculat pe niciun supercomputer, nici măcar pe toate computerele de pe planetă în același timp.
5 5 5 5 5 5 5 5
Să trecem la cele trei săgeți. Dacă săgeata dublă ar indica înălțimea turnului de grade, atunci săgeata triplă ar părea să indice „înălțimea turnului de înălțimea turnului”? Ce naiba! În cazul a trei, avem înălțimea turnului înălțimea turnului înălțimea turnului (nu există un astfel de concept în matematică, am decis să-l numesc " nebun"). Ceva de genul:

Adică 33 formează un turn nebun de tripleți, înalt de 7 trilioane. Ce sunt 7 trilioane de tripleți stivuiți unul peste altul și numiti „nebuni”? Dacă ați citit cu atenție acest text și nu ați adormit chiar de la început, probabil vă amintiți că de la Pământ la Saturn sunt 100 de trilioane de centimetri. Cele trei afișate pe ecran în al doisprezecelea font, acesta - 3 - are cinci milimetri înălțime. Asta înseamnă că o serie nebună de trei se va întinde de pe ecranul tău... ei bine, nu spre Saturn, desigur. Nici măcar nu va ajunge la Soare, doar un sfert dintr-o unitate astronomică, cam la distanța de la Pământ la Marte pe vreme bună. Vă rugăm să rețineți (nu dormi!) că imprudența nu este un număr pe lungimea de la Pământ la Marte, ci este turn de grade atât de înalt. Ne amintim că cinci tripleți din acest turn acoperă googolplexul, calculând primul decimetru de tripleți arde toate siguranțele computerelor planetei, iar milioanele de kilometri de grade rămase par să nu fie de folos, pur și simplu își bat joc de cititor, este este inutil să le numărăm.

Acum este clar că 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 fără turn, (nu 3 la gradul de fără turn, ci „trei săgeți, săgeată fără turn”(!)), alias nebun nebun nu se va potrivi nici în lungime, nici în înălțime în Universul Observabil și nici măcar nu se va potrivi în presupusul Multivers.
La 35 = 33333 cuvintele se termină, iar la 36 = 333333 se termină interjecțiile, dar poți exersa dacă te interesează.

Să trecem la cele patru săgeți. După cum ați ghicit deja, aici nebunul stă pe nebun, el îl conduce pe nebun și chiar și cu un turn, este la fel și fără un turn. Voi oferi doar o imagine în tăcere care dezvăluie schema de calcul a patru săgeți, când fiecare număr ulterior al turnului de grade determină înălțimea turnului de grade, care determină înălțimea turnului de grade, care determină înălțimea turnului de grade. turnul gradelor... și așa mai departe până la auto-uitare.

Este inutil să-l calculezi și nu va funcționa. Numărul de grade de aici nu poate fi numărat în mod semnificativ. Acest număr este imposibil de imaginat, este imposibil de descris. Fara analogii pe degetele tale™ nu sunt aplicabile, numărul pur și simplu nu are cu ce să se compare. Putem spune că este uriaș, că este grandios, că este monumental și că privește dincolo de orizontul evenimentelor. Adică, dați-i niște epitete verbale. Dar vizualizarea, chiar și liberă și imaginativă, este imposibilă. Dacă cu trei săgeți mai era posibil să spui ceva, să atragi o nesăbuință de pe Pământ pe Marte, să o compari cumva cu ceva, atunci pur și simplu nu pot exista analogii.
Acum, de la g 1, ne întoarcem cu vigoare reînnoită la asaltul asupra numărului lui Graham. Ați observat cum crește escalada de la săgeată la săgeată?
33 = 27
33 = 7 625 597 484 987
33 = turn, înălțimea Pământului până la Marte.
33 = un număr imposibil de imaginat sau descris.

Vă puteți imagina ce fel de coșmar digital se întâmplă când împușatorul se dovedește a fi cinci ani? Când sunt șase? Vă puteți imagina numărul când trăgătorul va fi o sută? Dacă puteți, permiteți-mi să vă aduc la cunoștință numărul g 2 în care numărul acestor săgeți se dovedește a fi egal cu g 1. Amintește-ți ce este g 1, nu?

Tot ce s-a scris până acum, toate aceste calcule, grade și turnuri care nu se încadrează în multiversurile multiversurilor, era nevoie doar pentru un singur lucru. Pentru a afișa NUMĂRUL DE SĂGĂȚI din numărul g 2. Nu este nevoie să numeri nimic aici, poți doar să râzi și să fluturi mâna.
Nu o voi ascunde, există și g 3, care conține g 2 săgeți. Apropo, este încă clar că g 3 nu este g 2 „la puterea” lui g 2, ci numărul de nebuni care determină înălțimea turnurilor nebune care determină înălțimea... și așa mai departe de-a lungul întregului lanț până la moartea termică a Universului? Aici poți începe să plângi.

De ce plangi? Pentru că este absolut adevărat. Există și numărul g 4, care conține g 3 săgeți între tripleți. Există și g 5, există g 6 și g 7 și g 17 și g 43...
Pe scurt, sunt 64 dintre aceste g. Fiecare precedent este numeric egal cu numărul de săgeți din următorul. Ultimul g 64 este numărul lui Graham, cu care totul a început atât de nevinovat. Acesta este numărul de dimensiuni ale hipercubului, care cu siguranță va fi suficient pentru a colora corect segmentele cu culori roșii și albastre. Poate mai puțin, aceasta este, ca să spunem așa, limita superioară. Este scris astfel:
si ei scriu asa:

Asta e, acum te poți relaxa sincer. Nu mai este nevoie să ne imaginăm sau să calculezi nimic. Dacă ați citit până aici, totul ar trebui să cadă deja la locul lor. Sau nu te trezi. Sau nu pe cont propriu.

Dar știi, există o astfel de teorie, de asemenea foarte efemeră și filozofică, poate ai auzit - tot ceea ce o persoană și-ar putea imagina sau imagina cu siguranță se va împlini într-o zi. Pentru că dezvoltarea unei civilizații este determinată de măsura în care a fost capabilă să transpună fanteziile trecutului în realitate.

Nimeni nu știe ce ne rezervă viitorul. Civilizația umană are mii de moduri de a pune capăt: războaie nucleare, dezastre ecologice, pandemii mortale, orice asteroid ar putea sosi, dinozaurii nu te vor lăsa să minți. Dar natura are o singură lege de nezdruncinat, cunoscută nouă încă din cele mai vechi timpuri. Indiferent ce s-ar întâmpla, indiferent ce credem noi înșine, timpul nu va trece, va trece. Fie că vrem sau nu, cu sau fără noi, vor trece o mie și 10 mii de ani.

Dacă trec un milion de ani? Dar va merge oriunde va merge. Numărul lui Graham și, în general, tot ceea ce o persoană este capabilă să se gândească, să-și imagineze, să scoată din uitare și să facă, dacă nu palpabil, dar măcar o entitate care are o anumită semnificație, cu siguranță se va concretiza mai devreme sau mai târziu. Pur și simplu pentru că astăzi avem suficientă forță pentru a dezvolta capacitatea de a realiza acest lucru.

Astăzi, mâine, când ai ocazia, aruncă-ți capul înapoi pe cerul nopții. Îți amintești acel moment în care ai simțit propria ta nesemnificație? Simți cât de mică este o persoană? O bucată de praf, un atom în comparație cu Universul nemărginit, care este plin de nenumărate stele, iar abisul, în consecință, nu este nici măcar.

Data viitoare, încearcă să simți cum Universul este un grăunte de nisip în comparație cu ceea ce se întâmplă în capul tău. Ce abis se deschide, ce concepte incomensurabile se nasc, ce lumi sunt construite, cum se răstoarnă Universul cu o singură mișcare de gândire, cum și cum se deosebește materia vie, inteligentă de materia moartă și irațională.

Cred că după ceva timp o persoană va ajunge la numărul lui Graham, îl va atinge cu mâna sau orice va avea în loc de mână până atunci. Acesta nu este un gând valid, dovedit științific, este într-adevăr doar o speranță, ceva care mă inspiră. Nu Credință cu F mare, nu extaz religios, nu doctrină și nu practică spirituală. Asta mă aștept de la umanitate. Mă străduiesc să ajut, cât pot. Deși, din prudență, continui să mă clasific drept agnostic.

Cea mai mare constantă matematică
Este greu să-ți imaginezi Infinity corect fără să-ți imaginezi mai întâi numere cu adevărat mari. Nu vorbesc de numere minuscule care diferă puțin de zero, cum ar fi numărul de atomi din univers sau numărul de ani în care ar trebui unei maimuțe să copieze complet lucrările lui Shakespeare. Vă invit să luați în considerare care a fost, în jurul anului 1977, cel mai mare număr folosit vreodată într-o demonstrație matematică serioasă. Această dovadă, realizată de Ronald Graham, oferă o limită superioară a răspunsurilor la o anumită întrebare din teoria lui Ramsey. Pentru a înțelege dovada, trebuie să introducem un nou concept din lucrarea lui Donald Knuth „studiul numerelor finite”. Acest concept este de obicei reprezentat de o mică săgeată în sus, pe care o vom eticheta aici ca ^

3^3 = 3 * 3 * 3 = 27. Acest număr este suficient de mic pentru a fi imaginat.

3^^3 = 3^(3^3) = 3^27 = 7.625.597.484.987. Mai mult de 27, dar suficient de mic încât să-l pot imprima. Nimeni nu-și poate imagina șapte trilioane, dar putem înțelege cu ușurință acest număr, care corespunde aproximativ ca volumul PIB-ului.

3^^^3 = 3^^(3^^3) = 3^(3^(3^(3^...^(3^3)...))). Intervalul „...” este format din 7.625.597.484.987 tripleți. Cu alte cuvinte, 3^^^3 sau săgeata (3, 3, 3) este un turn exponențial de tripleți 7.625.597.484.987 de niveluri înalte. Acest număr este dincolo de înțelegerea umană, dar procedura de creare a acestuia poate fi vizualizată. Să luăm x=1. Setați x la 3^x. Repetați acest lucru de șapte trilioane de ori. Deși cel mai mult primele etape aceste numere sunt prea mari pentru a fi conținute în întregul univers, turnul exponențial în sine, scris ca „3^3^3^3...^3” este suficient de mic pentru a fi conținut într-un supercalculator modern.

3^^^^3 = 3^^^(3^^^3) = 3^^(3^^(3^^...^^(3^^3)...)). Acum, atât numărul, cât și procedura de creare a acestuia depășesc capacitatea umană de a concepe, deși procedura poate fi înțeleasă. Luați x=1. Atribuiți x valoarea unui turn exponențial de lungime x. Repetați acest lucru de 3^^^3 ori, ceea ce este egal cu un turn exponențial de șapte trilioane de tripleți.

Și rezultatul este, în cuvintele lui Martin Gardner, „3^^^^3 este de neconceput mai mare decât 3^^^3, dar este încă mic, deoarece majoritatea numerelor finite sunt mai mari.”

Și apoi numărul lui Graham. Fie x egal cu 3^^^^3, numărul neconceput de mare descris mai sus. Apoi atribuiți lui x valoarea 3^^^^^^^(x săgeată)^^^^^^^3. Repetați același lucru, dar înlocuiți x cu (3^^^^^^^(x săgeată)^^^^^^^3) Repetați acest lucru de 63 de ori sau de 64 de ori, ținând cont de secvența inițială 3^^^ ^3.

Numărul lui Graham depășește cu mult capacitatea mea de a înțelege. Pot să o descriu, dar nu o pot percepe corect. (Poate că Graham o poate accepta, deoarece a scris o demonstrație matematică folosind-o). Acest număr este mult mai mare decât conceptul de infinit al majorității oamenilor. Știu că a fost mai mare decât imaginația mea.

Adevăratul răspuns la problema lui Ramsey, care a dat naștere acestui număr ca limită superioară, a fost probabil numărul 6.

P.s Pe lângă groaza mea superstițioasă, acest număr a dat naștere unei mici glume: Onotole Wasserman pătratează cu ușurință numărul lui Graham în câteva secunde.

Există numere care sunt atât de incredibil, incredibil de mari încât ar fi nevoie de întregul univers chiar și pentru a le scrie. Dar iată ce este cu adevărat nebunesc... unele dintre aceste numere nespus de mari sunt cruciale pentru înțelegerea lumii.

Când spun „cel mai mare număr din univers”, mă refer cu adevărat la cel mai mare semnificativ număr, numărul maxim posibil care este util într-un fel. Sunt mulți concurenți pentru acest titlu, dar vă avertizez imediat: există într-adevăr riscul ca încercarea de a înțelege totul să vă explodeze mintea. Și în plus, cu prea multă matematică, nu te vei distra prea mult.

Googol și googolplex

Edward Kasner

Am putea începe cu cele care sunt, probabil, cele mai mari două numere despre care ai auzit vreodată, iar acestea sunt într-adevăr cele mai mari două numere care au definiții general acceptate în Limba engleză. (Există o nomenclatură destul de precisă folosită pentru a desemna numere atât de mari pe cât ați dori, dar aceste două numere nu le veți găsi în dicționare în zilele noastre.) Googol, de când a devenit celebru în lume (deși cu erori, rețineți. de fapt este googol). ) sub forma Google, născut în 1920 ca o modalitate de a-i face pe copii interesați de numerele mari.

În acest scop, Edward Kasner (foto) și-a luat pe cei doi nepoți, Milton și Edwin Sirott, la o plimbare prin New Jersey Palisades. I-a invitat să vină cu orice idee, iar apoi Milton, în vârstă de nouă ani, le-a sugerat „googol”. Nu se știe de unde a primit acest cuvânt, dar Kasner a decis asta sau un număr în care o sută de zerouri urmează unității se va numi de acum înainte googol.

Dar tânărul Milton nu s-a oprit aici; a propus un număr și mai mare, googolplex. Acesta este un număr, potrivit lui Milton, în care primul loc este 1 și apoi câte zerouri ai putea scrie înainte să te obosești. Deși ideea este fascinantă, Kasner a decis că este nevoie de o definiție mai formală. După cum a explicat în cartea sa din 1940, Mathematics and the Imagination, definiția lui Milton lasă deschisă posibilitatea riscantă ca un bufon accidental să devină un matematician superior lui Albert Einstein pur și simplu pentru că are o rezistență mai mare.

Așa că Kasner a decis că un googolplex ar fi , sau 1, și apoi un googol de zerouri. În caz contrar, și în notație similară cu cea cu care ne vom ocupa pentru alte numere, vom spune că un googolplex este . Pentru a arăta cât de fascinant este acest lucru, Carl Sagan a remarcat odată că este imposibil din punct de vedere fizic să notezi toate zerourile unui googolplex, deoarece pur și simplu nu există suficient spațiu în univers. Dacă umplem întregul volum al Universului observabil cu particule mici de praf de aproximativ 1,5 microni, atunci numărul în diverse moduri locația acestor particule va fi aproximativ egală cu un googolplex.

Din punct de vedere lingvistic, googol și googolplex sunt probabil cele mai mari două numere semnificative (cel puțin în limba engleză), dar, așa cum vom stabili acum, există infinite moduri de a defini „semnificația”.

Lumea reala

Dacă vorbim despre cel mai mare număr semnificativ, există un argument rezonabil că asta înseamnă cu adevărat că trebuie să găsim cel mai mare număr cu o valoare care există de fapt în lume. Putem începe cu populația umană actuală, care este în prezent în jur de 6920 de milioane. PIB-ul mondial în 2010 a fost estimat la aproximativ 61.960 de miliarde de dolari, dar ambele aceste cifre sunt nesemnificative în comparație cu cele aproximativ 100 de trilioane de celule care alcătuiesc corpul uman. Desigur, niciunul dintre aceste numere nu se poate compara cu numărul total de particule din Univers, care este în general considerat a fi aproximativ , iar acest număr este atât de mare încât limba noastră nu are un cuvânt pentru el.

Ne putem juca puțin cu sistemele de măsuri, făcând numerele din ce în ce mai mari. Astfel, masa Soarelui în tone va fi mai mică decât în lire sterline. O modalitate excelentă de a face acest lucru este să utilizați sistemul Planck de unități, care sunt cele mai mici măsuri posibile, pentru care raman in vigoare legile fizicii. De exemplu, vârsta Universului în timpul Planck este de aproximativ . Dacă ne întoarcem la prima unitate de timp Planck după Big Bang, vom vedea că densitatea Universului era atunci. Primim din ce în ce mai mult, dar nici măcar nu am ajuns la googol.

Cel mai mare număr cu orice aplicație din lumea reală - sau în acest caz aplicație din lumea reală - este probabil una dintre cele mai recente estimări ale numărului de universuri din multivers. Acest număr este atât de mare încât creierul uman literalmente nu va putea percepe toate aceste universuri diferite, deoarece creierul este capabil doar de configurații aproximative. De fapt, acest număr este probabil cel mai mare număr care are sens practic, cu excepția cazului în care țineți cont de ideea multiversului în ansamblu. Cu toate acestea, există încă un număr mult mai mare care pândește acolo. Dar pentru a le găsi trebuie să mergem în domeniul matematicii pure și nu există un loc mai bun pentru a începe decât numerele prime.

numere prime de Mersenne

O parte din dificultate vine cu buna definitie ce este un număr „semnificativ”. O modalitate este de a gândi în termeni de numere prime și compuse. Un număr prim, după cum probabil vă amintiți de la matematica școlii, este oricare numar natural(notă nu este egală cu unu), care este divizibil numai prin sine. Deci, și sunt numere prime și și sunt numere compuse. Aceasta înseamnă că orice număr compus poate fi reprezentat în cele din urmă de factorii săi primi. În anumite privințe, numărul este mai important decât, să zicem, , deoarece nu există nicio modalitate de a-l exprima în termeni de produs al unor numere mai mici.

Evident că putem merge puțin mai departe. , de exemplu, este de fapt doar , ceea ce înseamnă că într-o lume ipotetică în care cunoștințele noastre despre numere sunt limitate la , un matematician poate încă exprima numărul . Dar următorul număr este prim, ceea ce înseamnă că singura modalitate de a-l exprima este să știi direct despre existența lui. Aceasta înseamnă că cele mai mari numere prime cunoscute joacă un rol important, dar, să zicem, un googol - care în cele din urmă este doar o colecție de numere și , înmulțite împreună - de fapt nu are. Și deoarece numerele prime sunt practic aleatoare, nu există nicio modalitate cunoscută de a prezice că un număr incredibil de mare va fi de fapt prim. Până astăzi, descoperirea de noi numere prime este o întreprindere dificilă.

Matematicienii Greciei Antice aveau un concept de numere prime cel puțin încă din 500 î.Hr., iar 2000 de ani mai târziu oamenii încă știau care numere erau prime doar până la aproximativ 750. Gânditorii din vremea lui Euclid vedeau posibilitatea simplificării, dar nu era așa. până când matematicienii Renașterii nu l-au putut folosi cu adevărat în practică. Aceste numere sunt cunoscute ca numere Mersenne, numite după omul de știință francez Marin Mersenne din secolul al XVII-lea. Ideea este destul de simplă: un număr Mersenne este orice număr de forma . Deci, de exemplu, , și acest număr este prim, același lucru este valabil și pentru .

Este mult mai rapid și mai ușor să determinați numerele prime Mersenne decât orice alt tip de număr prim, iar computerele au lucrat din greu în căutarea lor în ultimele șase decenii. Până în 1952, cel mai mare număr prim cunoscut a fost un număr – un număr cu cifre. În același an, computerul a calculat că numărul este prim, iar acest număr este format din cifre, ceea ce îl face mult mai mare decât un googol.

Calculatoarele au fost la vânătoare de atunci, iar în prezent numărul Mersenne este cel mai mare număr prim cunoscut de omenire. Descoperit în 2008, se ridică la un număr cu aproape milioane de cifre. Este cel mai mare număr cunoscut care nu poate fi exprimat în termeni de numere mai mici, iar dacă doriți ajutor pentru a găsi un număr Mersenne și mai mare, dvs. (și computerul dvs.) vă puteți conecta oricând la căutare la http://www.mersenne.org. /.

Număr înclinat

Stanley Skews

Să ne uităm din nou la numerele prime. După cum am spus, ei se comportă fundamental greșit, ceea ce înseamnă că nu există nicio modalitate de a prezice care va fi următorul număr prim. Matematicienii au fost forțați să recurgă la unele măsurători destul de fantastice pentru a găsi o modalitate de a prezice numere prime viitoare, chiar și într-un mod nebulos. Cea mai reușită dintre aceste încercări este probabil funcția de numărare a numerelor prime, care a fost inventată la sfârșitul secolului al XVIII-lea de legendarul matematician Carl Friedrich Gauss.

Vă scutesc de matematica mai complicată - mai avem mult mai multe de făcut oricum - dar esenta funcției este aceasta: pentru orice număr întreg, puteți estima câte numere prime există care sunt mai mici decât . De exemplu, dacă , funcția prezice că ar trebui să existe numere prime, dacă ar trebui să existe numere prime mai mici decât , și dacă , atunci ar trebui să existe numere mai mici care sunt prime.

Dispunerea numerelor prime este într-adevăr neregulată și este doar o aproximare a numărului real de numere prime. De fapt, știm că există numere prime mai mici decât , numere prime mai mici decât , și numere prime mai mici decât . Aceasta este o estimare excelentă, cu siguranță, dar este întotdeauna doar o estimare... și, mai precis, o estimare de sus.

În toate cazurile cunoscute până la , funcția care găsește numărul de numere prime supraestimează ușor numărul efectiv de numere prime mai mici decât . Matematicienii s-au gândit cândva că acesta va fi întotdeauna cazul, la infinit, și că acest lucru s-ar aplica cu siguranță unor numere neînchipuit de uriașe, dar în 1914 John Edensor Littlewood a demonstrat că pentru un număr necunoscut, neînchipuit de mare, această funcție va începe să producă mai puține numere prime. , iar apoi va comuta între estimarea de sus și estimarea de jos de un număr infinit de ori.

Vânătoarea a fost pentru punctul de plecare al curselor, iar apoi a apărut Stanley Skewes (vezi foto). În 1933, el a demonstrat că limita superioară atunci când o funcție care aproximează numărul de numere prime produce mai întâi o valoare mai mică este numărul . Este greu de înțeles cu adevărat chiar și în cel mai abstract sens ce reprezintă de fapt acest număr și din acest punct de vedere a fost cel mai mare număr folosit vreodată într-o demonstrație matematică serioasă. De atunci, matematicienii au reușit să reducă limita superioară la un număr relativ mic, dar numărul inițial rămâne cunoscut sub numele de numărul Skewes.

Deci, cât de mare este numărul care depășește chiar și puternicul googolplex? În Dicționarul Penguin al numerelor curioase și interesante, David Wells relatează un mod în care matematicianul Hardy a putut să conceptualizeze dimensiunea numărului Skuse:

„Hardy a crezut că este „cel mai mare număr servit vreodată pentru un anumit scop în matematică” și a sugerat că, dacă un joc de șah s-ar juca cu toate particulele Universului ca piese, o mișcare ar consta în schimbarea a două particule și jocul s-ar opri când aceeași poziție s-ar repeta a treia oară, apoi numărul tuturor jocurilor posibile ar fi aproximativ egal cu numărul lui Skuse.'

Un ultim lucru înainte de a trece mai departe: am vorbit despre cel mai mic dintre cele două numere Skewes. Există un alt număr Skuse, pe care matematicianul l-a descoperit în 1955. Primul număr este derivat din faptul că așa-numita ipoteză Riemann este adevărată - aceasta este o ipoteză deosebit de dificilă în matematică care rămâne nedovedită, foarte utilă când vine vorba de numere prime. Totuși, dacă ipoteza Riemann este falsă, Skuse a constatat că punctul de plecare al salturilor crește la .

Problemă de amploare

Înainte de a ajunge la numărul care face chiar și numărul Skewes să pară mic, trebuie să vorbim puțin despre scară, pentru că altfel nu avem cum să evaluăm unde vom ajunge. Mai întâi să luăm un număr - este un număr mic, atât de mic încât oamenii pot înțelege în mod intuitiv ce înseamnă. Există foarte puține numere care se potrivesc acestei descrieri, deoarece numerele mai mari de șase încetează să mai fie numere separate și devin „mai multe”, „multe”, etc.

Acum să luăm , i.e. . Deși de fapt nu putem în mod intuitiv, așa cum am făcut pentru număr, să înțelegem ce este acesta, este foarte ușor să ne imaginăm ce este. Până acum, bine. Dar ce se întâmplă dacă ne mutăm la? Aceasta este egală cu , sau . Suntem foarte departe de a ne putea imagina această cantitate, ca orice alta foarte mare - pierdem capacitatea de a înțelege părți individuale undeva în jur de un milion. (Serios, este o nebunie un numar mare de Ar dura ceva timp pentru a număra de fapt până la un milion de orice, dar adevărul este că suntem încă capabili să percepem acel număr.)

Cu toate acestea, deși nu ne putem imagina, suntem cel puțin capabili să înțelegem în termeni generali ce este 7600 de miliarde, poate comparându-l cu ceva de genul PIB-ului SUA. Am trecut de la intuiție la reprezentare la o simplă înțelegere, dar cel puțin mai avem o oarecare lacună în înțelegerea noastră a ceea ce este un număr. Asta e pe cale să se schimbe pe măsură ce urcăm o altă treaptă pe scară.

Pentru a face acest lucru, trebuie să trecem la o notație introdusă de Donald Knuth, cunoscută sub numele de notație cu săgeți. Această notație poate fi scrisă ca . Atunci când mergem la , numărul pe care îl obținem va fi . Acesta este egal cu unde este totalul de trei. Acum am depășit cu mult și cu adevărat toate celelalte cifre despre care am vorbit deja. La urma urmei, chiar și cel mai mare dintre ei avea doar trei sau patru termeni în seria de indicatori. De exemplu, chiar și numărul super-Skuse este „doar” - chiar și ținând cont de faptul că atât baza, cât și exponenții sunt mult mai mari decât , este încă absolut nimic în comparație cu dimensiunea unui turn de numere cu un miliard de membri .

Evident, nu există nicio modalitate de a înțelege numere atât de mari... și totuși, procesul prin care sunt create poate fi înțeles în continuare. Nu am putut înțelege cantitatea reală care este dată de un turn de puteri cu un miliard de tripleți, dar practic ne putem imagina un astfel de turn cu mulți termeni, iar un supercomputer cu adevărat decent ar fi capabil să stocheze astfel de turnuri în memorie chiar dacă ar fi nu a putut calcula valorile lor reale.

Acest lucru devine din ce în ce mai abstract, dar se va înrăutăți. Ai putea crede că un turn de grade a cărui lungime a exponentului este egală (într-adevăr, în versiunea anterioară a acestei postări am făcut exact această greșeală), dar este simplu. Cu alte cuvinte, imaginați-vă că puteți calcula valoarea exactă a unui turn de putere de tripleți care este alcătuit din elemente, apoi ați luat acea valoare și ați creat un nou turn cu tot atâtea câte... asta dă .

Repetați acest proces cu fiecare număr următor ( Notă incepand de la dreapta) pana cand o faci de ori, si apoi in cele din urma obtii . Acesta este un număr care este pur și simplu incredibil de mare, dar cel puțin pașii pentru a-l obține par de înțeles dacă faci totul foarte încet. Nu mai putem înțelege numerele și nici nu ne putem imagina procedura prin care sunt obținute, dar cel puțin putem înțelege algoritmul de bază, doar într-un timp suficient de lung.

Acum haideți să pregătim mintea să o sufle cu adevărat.

Numărul Graham (Graham)

Ronald Graham

Așa obțineți numărul lui Graham, care deține un loc în Cartea Recordurilor Guinness ca cel mai mare număr folosit vreodată într-o demonstrație matematică. Este absolut imposibil de imaginat cât de mare este și la fel de dificil de explicat exact ce este. Practic, numărul lui Graham apare atunci când avem de-a face cu hipercuburi, care sunt teoretice forme geometrice cu mai mult de trei dimensiuni. Matematicianul Ronald Graham (vezi fotografia) a vrut să afle la ce număr cel mai mic de dimensiuni ar rămâne stabile anumite proprietăți ale unui hipercub. (Îmi pare rău pentru o explicație atât de vagă, dar sunt sigur că toți trebuie să obținem cel puțin două grade în matematică pentru a o face mai exactă.)

În orice caz, numărul lui Graham este o estimare superioară a acestui număr minim de dimensiuni. Deci, cât de mare este această limită superioară? Să revenim la numărul, atât de mare încât nu putem înțelege decât vag algoritmul pentru obținerea lui. Acum, în loc să mai sărim un nivel până la , vom număra numărul care are săgeți între primele și ultimele trei. Acum depășim chiar și cea mai mică înțelegere a ceea ce este acest număr sau chiar ce trebuie să facem pentru a-l calcula.

Acum să repetăm acest proces o dată ( Notă la fiecare pas următor scriem numărul de săgeţi egal cu numărul obţinut la pasul precedent).

Acesta, doamnelor și domnilor, este numărul lui Graham, care este cu un ordin de mărime mai mare decât punctul de înțelegere umană. Este un număr care este mult mai mare decât orice număr pe care ți-l poți imagina - este mult mai mare decât orice infinit pe care ai putea spera vreodată să-l imaginezi - sfidează pur și simplu chiar și cea mai abstractă descriere.

Dar iată un lucru ciudat. Deoarece numărul Graham este practic doar tripleți înmulțiți împreună, cunoaștem unele dintre proprietățile sale fără a-l calcula efectiv. Nu putem reprezenta numărul Graham folosind vreo notație familiară, chiar dacă am folosit întregul univers pentru a-l scrie, dar vă pot spune ultimele douăsprezece cifre ale numărului Graham chiar acum: . Și asta nu este tot: știm cel puțin ultimele cifre ale numărului lui Graham.

Desigur, merită să ne amintim că acest număr este doar o limită superioară în problema inițială a lui Graham. Este foarte posibil ca numărul real de măsurători necesare pentru a atinge proprietatea dorită să fie mult, mult mai mic. De fapt, se crede încă din anii 1980, conform celor mai mulți experți în domeniu, că există de fapt doar șase dimensiuni – un număr atât de mic încât îl putem înțelege intuitiv. Limita inferioară a fost ridicată de atunci la , dar există încă șanse foarte mari ca soluția la problema lui Graham să nu fie aproape de un număr la fel de mare ca numărul lui Graham.

Spre infinit

Deci, există numere mai mari decât numărul lui Graham? Există, desigur, pentru început există numărul Graham. În ceea ce privește numărul semnificativ... ei bine, există câteva domenii diabolic de complexe ale matematicii (în special domeniul cunoscut sub numele de combinatorie) și informatică în care apar numere chiar mai mari decât numărul lui Graham. Dar aproape că am atins limita a ceea ce pot să sper că va fi vreodată explicat rațional. Pentru cei suficient de nesăbuiți pentru a merge și mai departe, lecturi suplimentare sunt sugerate pe propriul risc.

Ei bine, acum un citat uimitor care este atribuit lui Douglas Ray ( Notă Sincer, sună destul de amuzant:

„Văd grupuri de numere vagi care sunt ascunse acolo în întuneric, în spatele micului punct de lumină pe care îl dă lumânarea rațiunii. Ei șoptesc unul altuia; conspirând despre cine știe ce. Poate că nu ne plac foarte mult pentru că i-am capturat pe frații lor mai mici în mintea noastră. Sau poate pur și simplu duc o viață cu o singură cifră, acolo, dincolo de înțelegerea noastră.