EXPLICAȚIA TEXTULUI A LECȚIEI:
Ideea unui avion în spațiu vă permite să obțineți, de exemplu, suprafața unei mese sau a unui perete. Cu toate acestea, o masă sau un perete are dimensiuni finite, iar planul se extinde dincolo de limitele lor până la infinit.
Luați în considerare două plane care se intersectează. Când se intersectează, formează patru unghiuri diedrice cu o margine comună.
Să ne amintim ce este un unghi diedru.
În realitate, întâlnim obiecte care au forma unui unghi diedru: de exemplu, o ușă întredeschisă sau un dosar întredeschis.
La intersecția a două plane alfa și beta, obținem patru unghiuri diedrice. Fie unul dintre unghiurile diedrice egal cu (phi), apoi al doilea este egal cu (1800 -), al treilea, al patrulea (1800-).
Luați în considerare cazul în care unul dintre unghiurile diedrice este egal cu 900.
Apoi, toate unghiurile diedrice în acest caz sunt egale cu 900.
Să introducem definiția planurilor perpendiculare:
Se spune că două plane sunt perpendiculare dacă unghiul diedric dintre ele este de 90°.
Unghiul dintre planurile sigma și epsilon este de 90 de grade, ceea ce înseamnă că planurile sunt perpendiculare
Să dăm exemple de planuri perpendiculare.
Perete și tavan.
Peretele lateral și blatul mesei.
Să formulăm un semn de perpendicularitate a două plane:
TEOREMA: Dacă unul dintre cele două plane trece printr-o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan, atunci aceste plane sunt perpendiculare.
Să demonstrăm această caracteristică.
Prin condiție, se știe că linia AM se află în planul α, linia AM este perpendiculară pe planul β,
Demonstrați: planele α și β sunt perpendiculare.
Dovada:
1) Planele α și β se intersectează de-a lungul dreptei AR, în timp ce AM AR, deoarece AM β prin condiția, adică AM este perpendiculară pe orice dreaptă situată în planul β.
2) Să trasăm o dreaptă AT perpendiculară pe AP în planul β.
Obținem unghiul TAM - unghiul liniar al unghiului diedric. Dar unghiul TAM = 90°, deoarece MA β. Prin urmare, α β.
Q.E.D.
Din semnul perpendicularității a două plane, avem o consecință importantă:
CONSECINȚĂ: Un plan perpendicular pe o dreaptă de-a lungul căreia două plane se intersectează este perpendicular pe fiecare dintre aceste planuri.
Adică: dacă α∩β=с și γ с, atunci γ α și γ β.
Să demonstrăm acest corolar: dacă planul gamma este perpendicular pe dreapta c, atunci după semnul de paralelism al celor două plane, gamma este perpendicular pe alfa. În mod similar, gamma este perpendicular pe beta.
Să reformulăm acest corolar pentru un unghi diedru:
Planul care trece prin unghiul liniar al unghiului diedru este perpendicular pe muchia și fețele acestui unghi diedru. Cu alte cuvinte, dacă am construit un unghi liniar al unui unghi diedru, atunci planul care trece prin el este perpendicular pe muchia și fețele acestui unghi diedru.
Având în vedere: ΔABC, C = 90°, AC se află în planul α, unghiul dintre planele α și ABC = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.
Aflați: distanța de la punctul B la planul α.
1) Să construim VC α. Atunci CS este proiecția BC pe acest plan.
2) BC AS (prin condiție), deci, prin teorema celor trei perpendiculare (TTP), CS AS. Prin urmare, VSK este unghiul liniar al unghiului diedric dintre planul α și planul triunghiului ABC. Adică WSC = 60°.
3) Din ΔBCA conform teoremei lui Pitagora:
Răspunsul VK este egal cu 6 rădăcini de trei cm
Utilizarea practică (caracterul aplicat) a perpendicularității a două planuri.
Construirea a două plane reciproc perpendiculare. După cum se știe, Un plan este perpendicular dacă o dreaptă dintr-un plan este perpendiculară pe alt plan. Prin urmare, un plan perpendicular pe unul dat poate fi trasat printr-o linie perpendiculară pe un plan dat sau perpendicular pe o dreaptă situată într-un plan dat.
Prezentat în fig. 4.12 planele (planul triunghiului ABC și planul P) sunt reciproc perpendiculare, deoarece planul P este perpendicular pe dreapta A1 situată în planul triunghiului. Sunt prezentate proiecțiile planului P care trece prin dreapta cu proiecțiile m 2 n 2 , m 1 n 1 și perpendiculare pe planul dat de proiecțiile a 2 b 2 c 2 , a 1 b 1 c 1 ale triunghiului. în fig. 4.12.
Construcție: 1. Desenați liniile principale ale planului, C1 - orizontală, C2 - frontală.
2. Printr-un punct arbitrar E (situat în afara triunghiului ABC), trageți o dreaptă EF perpendiculară pe liniile principale ale planului (c 2 f 2 este perpendicular pe c 2 2 2 și c 1 f 1 este perpendicular pe 1 1 1 ).
3. Prin punctul N se trasează o dreaptă arbitrară EM care se intersectează cu EF, obținem planul P dat de două drepte care se intersectează (EM X EF).
Astfel planul P(ME X EF) este perpendicular pe planul Q(triunghiul ABC).
Trebuie remarcat faptul că pentru planurile reciproc perpendiculare în poziție generală, urmele lor cu același nume nu sunt niciodată perpendiculare. Dar dacă unul dintre planurile date (sau ambele) este un plan de poziție generală, atunci perpendicularitatea reciprocă pe diagrama unei perechi de urme indică perpendicularitatea planurilor în spațiu.
18) O dreaptă de intersecție a două plane poate fi determinată de cele două puncte comune ale acestora. Pentru a face acest lucru, determinați punctele de intersecție a oricăror două drepte ale unui plan cu alt plan sau punctele de intersecție ale unei drepte pe fiecare dintre planurile cu alt plan.
Secvență de construcție:
Linia de intersecție a două plane poate fi găsită folosind planuri de tăiere auxiliare la rezolvare. Planurile de proiecție sunt de obicei alese (adesea orizontale sau frontale)
Se alege un plan orizontal auxiliar secant arbitrar Ф1; acesta intersectează planurile date de-a lungul liniilor drepte (12 și 34) care (pe n1 se intersectează în punctul k)
Al doilea plan orizontal de tăiere intersectează planurile date și de-a lungul orizontalelor, ele, la rândul lor, se intersectează în punctul E
Linia dreaptă KE este linia de intersecție a planurilor date.
Luați în considerare soluția acestei probleme pe un desen plat.
Etapa 1 a soluției Pentru construirea punctului M s-a folosit un plan proiectat orizontal - intermediarul ("), în care este închisă latura AB a triunghiului ABC.
Etapa a 2-a a soluției Construim linia de intersecție (pe desen este dată de punctele 1 și 2) a planului intermediar (") și a planului DEK.
Etapa a 3-a a soluției Aflați punctul M al intersecției dreptei 1 - 2 cu dreapta AB.
S-a găsit un punct M al dreptei de intersecție dorită.
Pentru a construi punctul N, se folosește un plan proiectat orizontal ("), în care latura AC a triunghiului ABC este închisă.
Construcțiile sunt similare cu cele anterioare.
Definirea vizibilității pe planul H se face folosind punctele 4 și 8 concurente orizontal
Punctul 4 este situat deasupra punctului 8 (4" și 8"), prin urmare, pe planul H, partea de triunghi DEK, situată spre punctul 4, acoperă partea de triunghi ABC, situată de la linia de intersecție spre punctul 8. Folosind o perechea de puncte concurente frontal 6 si 7 se defineste vizibilitatea pe planul V.
Intersecția a două plane proiectate frontal (?)
Intersecția a două plane care se proiectează orizontal (?)
19) O tăietură este o imagine a unui obiect disecat mental de unul sau mai multe planuri, în timp ce disecția mentală a unui obiect se referă doar la această tăietură și nu implică o modificare a altor imagini ale aceluiași obiect. Secțiunea arată ce se află în planul de tăiere și ce se află în spatele acestuia.
În funcție de numărul de planuri de tăiere, secțiunea este împărțită în:
Simplu (cu un singur plan de tăiere)
Complex (cu mai multe planuri de tăiere)
În funcție de poziția planului de tăiere față de planul orizontal al proiecției, secțiunile sunt împărțite în:
ORIZONTAL - planul de tăiere este paralel cu planul de proiecție orizontal
VERTICAL - planul de tăiere este perpendicular pe planul de proiecție orizontal
SLANT - planul de tăiere este un unghi nedrept cu planul orizontal =) Tăierea VERTICAL se numește frontal dacă planul de tăiere este paralel cu planul de proiecție frontală. Și de specialitate dacă planul de tăiere este paralel cu planul de proiecție a profilului.
Tăierile COMPLEXE sunt LONGITUDINALE dacă planurile de tăiere sunt direcționate pe lungimea sau înălțimea obiectului. ȘI TRANSVERSAL DACĂ planurile de tăiere sunt direcționate PERPENDICULAR pe lungimea sau înălțimea obiectului.
PAS - dacă planurile secante sunt paralele între ele
POLILINE - dacă planurile secante se intersectează.
Decupările LOCAL sunt folosite pentru a dezvălui structura internă a unui obiect într-un loc limitat separat. SECȚIUNEA LOCALĂ este evidențiată în vizualizare ca o linie solidă, ondulată, subțire.
Desemnarea secțiunilor - Poziția planului de tăiere este indicată printr-o linie de secțiune deschisă. Cursele de început și de sfârșit ale liniei de secțiune nu trebuie să traverseze conturul imaginii corespunzătoare. Săgețile care indică direcția vizuală trebuie plasate pe cursa inițială și finală. Săgețile trebuie aplicate la o distanță de 2 ... 3 mm de capătul exterior al cursei.
PENTRU O TĂIERE COMPLEXĂ, cursele unei linii de secțiune deschisă sunt, de asemenea, efectuate la îndoirile liniei de secțiune.
Lângă săgețile care indică direcția de vedere, din exteriorul colțului sunt aplicate majuscule ale alfabetului rus. Denumirile literelor sunt atribuite în ordine alfabetică, fără repetări și fără omisiuni.
Incizia în sine ar trebui să fie marcată cu o inscripție de tip A-A
Dacă planul de tăiere coincide cu planul de simetrie al obiectului, iar tăierea se face în locul vederii corespunzătoare în relația de proiecție, atunci pentru tăieturi orizontale, frontale și de profil nu este necesar să se marcheze poziția tăierii plan și tăierea nu este însoțită de o inscripție.
Dacă linia de contur a obiectului coincide cu axa de simetrie, atunci granița dintre vedere și secțiune este indicată printr-o linie ondulată care este desenată astfel încât imaginea marginii să fie păstrată.
Două plane care se intersectează sunt numite perpendicular, dacă al treilea plan, perpendicular pe linia de intersecție a acestor două plane, le intersectează de-a lungul unor drepte perpendiculare (vezi figura).Orice plan perpendicular pe linia de intersecție a planurilor perpendiculare le intersectează de-a lungul liniilor perpendiculare.
Semn de perpendicularitate a planurilor
Teorema 1. Dacă un plan trece printr-o dreaptă perpendiculară pe un alt plan, atunci aceste plane sunt perpendiculare (vezi figura). 
Teorema 2. Dacă o dreaptă situată într-unul din cele două plane perpendiculare este perpendiculară pe dreapta intersecției lor, atunci este și perpendiculară pe al doilea plan (vezi figura).
Un exemplu de aplicare a teoremei 2
Să fie două plane perpendiculare și , care se intersectează într-o linie dreaptă A(Vezi poza). Găsiți distanța de la punct A, care se află în avion și nu se află în avion , avionul .
În plan construim o perpendiculară pe A printr-un punct A. Lasă-l să traverseze A la punct B. AB- distanta dorita.
Fii atent la asta.
1. Printr-un punct din afara planului, puteți desena multe plane perpendiculare pe acest plan (vezi figura). (Dar toate vor trece printr-o dreaptă perpendiculară pe acest plan care trece printr-un punct dat.)
2. Dacă un plan este perpendicular pe un plan dat, atunci aceasta nu înseamnă că este și perpendicular pe o dreaptă arbitrară paralelă cu acest plan.
De exemplu, în figura de mai jos și se intersectează într-o linie dreaptă b, și A intră într-unul din avioane şi . Prin urmare, o linie dreaptă Aîn acelaşi timp paralel cu două plane perpendiculare.
Conceptul de planuri perpendiculare
Când două plane se intersectează, obținem unghiuri diedrice de $4$. Două dintre colțuri sunt $\varphi $ și celelalte două sunt $(180)^0-\varphi $.
Definiția 1
Unghiul dintre plane este cel mai mic dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane.
Definiția 2
Două plane care se intersectează se numesc perpendiculare dacă unghiul dintre aceste plane este egal cu $90^\circ$ (Fig. 1).
Figura 1. Planuri perpendiculare
Semn de perpendicularitate a două plane
Teorema 1
Dacă o dreaptă a unui plan este perpendiculară pe alt plan, atunci aceste planuri sunt perpendiculare între ele.
Dovada.
Să ni se dea planele $\alpha $ și $\beta $ care se intersectează de-a lungul liniei $AC$. Fie dreptia $AB$ aflată în planul $\alpha $ perpendiculară pe planul $\beta $ (Fig. 2).
Figura 2.
Deoarece linia $AB$ este perpendiculară pe planul $\beta $, este și perpendiculară pe dreapta $AC$. În plus, să desenăm linia $AD$ în planul $\beta $, perpendicular pe dreapta $AC$.
Obținem că unghiul $BAD$ este unghiul liniar al unghiului diedric egal cu $90^\circ$. Adică, prin definiția 1, unghiul dintre plane este egal cu $90^\circ$, ceea ce înseamnă că aceste plane sunt perpendiculare.
Teorema a fost demonstrată.
Din această teoremă rezultă următoarea teoremă.
Teorema 2
Dacă un plan este perpendicular pe o dreaptă de-a lungul căreia alte două plane se intersectează, atunci este și perpendicular pe aceste plane.
Dovada.
Să ni se dea două plane $\alpha $ și $\beta $ care se intersectează de-a lungul dreptei $c$. Planul $\gamma $ este perpendicular pe dreapta $c$ (Fig. 3)
Figura 3
Deoarece dreapta $c$ aparține planului $\alpha $ și planul $\gamma $ este perpendicular pe dreapta $c$, atunci, după teorema 1, planele $\alpha $ și $\gamma $ sunt perpendiculare.
Deoarece dreapta $c$ aparține planului $\beta $ și planul $\gamma $ este perpendicular pe dreapta $c$, atunci, după teorema 1, planele $\beta $ și $\gamma $ sunt perpendiculare.
Teorema a fost demonstrată.
Pentru fiecare dintre aceste teoreme, afirmațiile inverse sunt de asemenea adevărate.
Exemple de sarcini
Exemplul 1
Să ni se dea o cutie dreptunghiulară $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Găsiți toate perechile de plane perpendiculare (Fig. 5).
Figura 4
Soluţie.
Prin definiția unui plan cuboid și perpendicular, vedem următoarele opt perechi de plane perpendiculare între ele: $(ABB_1)$ și $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ și $(A_1B_1C_1)$, $(ABB_1) $ și $(BCC_1) $, $(ABB_1)$ și $(ABC)$, $(DCC_1)$ și $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ și $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1)$ și $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ și $(ABC)$.
Exemplul 2
Să ni se dea două plane reciproc perpendiculare. Dintr-un punct dintr-un plan, o perpendiculară este trasată pe alt plan. Demonstrați că această dreaptă se află în planul dat.
Dovada.
Să ni se dea $\alpha $ și $\beta $ perpendiculare pe plane și care se intersectează de-a lungul dreptei $c$. Din punctul $A$ al planului $\beta $ se trasează o perpendiculară $AC$ pe planul $\alpha $. Să presupunem că $AC$ nu se află în planul $\beta $ (Fig. 6).
Figura 5
Luați în considerare triunghiul $ABC$. Este dreptunghiular cu unghi drept $ACB$. Prin urmare $\unghiul ABC\ne (90)^0$.
Dar, pe de altă parte, $\angle ABC$ este unghiul liniar al unghiului diedric format de aceste plane. Adică unghiul diedric format de aceste plane nu este egal cu 90 de grade. Obținem că unghiul dintre plane nu este egal cu $90^\circ$. Contradicţie. Prin urmare, $AC$ se află în planul $\beta $.
Perpendicularitatea în spațiu poate avea:
1. Două linii drepte
3. Două avioane
Să luăm pe rând aceste trei cazuri: toate definițiile și enunțurile teoremelor legate de acestea. Și apoi vom discuta o teoremă foarte importantă despre trei perpendiculare.
Perpendicularitatea a două drepte.
Definiție:
Puteți spune: mi-au deschis și mie America! Dar amintiți-vă că în spațiu totul nu este chiar la fel ca într-un avion.
Pe un plan, numai astfel de linii (care se intersectează) pot fi perpendiculare:
Dar perpendicularitatea în spațiu a două drepte poate fi chiar dacă nu se intersectează. Uite:
o dreaptă este perpendiculară pe o dreaptă, deși nu o intersectează. Cum așa? Reamintim definiția unghiului dintre linii: pentru a găsi unghiul dintre liniile care se intersectează și, trebuie să trasați o linie printr-un punct arbitrar pe linia a. Și atunci unghiul dintre și (prin definiție!) va fi egal cu unghiul dintre și.
Amintit? Ei bine, în cazul nostru, dacă liniile și se dovedesc a fi perpendiculare, atunci liniile și ar trebui considerate perpendiculare.
Pentru a fi complet clar, să ne uităm la exemplu. Să fie un cub. Și vi se cere să găsiți unghiul dintre linii și. Aceste linii nu se intersectează - se intersectează. Pentru a găsi unghiul dintre și, desenați.
Datorită faptului că - un paralelogram (și chiar un dreptunghi!), Se dovedește că. Și datorită faptului că - un pătrat, se dovedește că. Ei bine, asta înseamnă.
Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan.
Definiție:
Iată poza:
o dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe toate liniile din acest plan: și, și, și, și chiar! Și alte un miliard de rânduri!
Da, dar atunci cum poți verifica în general perpendicularitatea într-o linie dreaptă și un plan? Deci viața nu este suficientă! Dar, din fericire pentru noi, matematicienii ne-au salvat de coșmarul infinitului inventând semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan.
Formulăm:
Vezi cât de grozav:
dacă există doar două drepte (u) în planul pe care linia este perpendiculară, atunci această dreaptă se va dovedi imediat a fi perpendiculară pe plan, adică pe toate liniile din acest plan (inclusiv o linie care stă în lateral). ). Aceasta este o teoremă foarte importantă, așa că îi vom desena și semnificația sub forma unei diagrame.
Și să ne uităm din nou exemplu.
Să ni se dea un tetraedru obișnuit.
Sarcina: să dovedească asta. Veți spune: acestea sunt două linii drepte! Ce legătură are cu ea perpendicularitatea unei drepte și a unui plan?!
Dar uite:
să marchem mijlocul marginii și să desenăm și. Acestea sunt medianele în și. Triunghiurile sunt regulate și.
Iată, un miracol: se dovedește că, la fel și. Și mai departe, la toate liniile drepte din plan și, prin urmare, și. Demonstrat. Și cel mai important punct a fost tocmai folosirea semnului de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan.
Când planurile sunt perpendiculare
Definiție:
Adică (pentru mai multe detalii, vezi subiectul „unghi diedru”), două plane (plane) sunt perpendiculare dacă se dovedește că unghiul dintre cele două perpendiculare (e) la linia de intersecție a acestor plane este egal. Și există o teoremă care leagă conceptul de planuri perpendiculare cu conceptul de perpendicularitate în spațiul unei drepte și al unui plan.
Această teoremă se numește
Criteriul de perpendicularitate a planurilor.
Să formulăm:
Ca întotdeauna, decodificarea cuvintelor „atunci și numai atunci” arată astfel:
- Dacă, atunci trece prin perpendiculară pe.
- Dacă trece prin perpendiculară pe, atunci.
(natural, aici și sunt avioane).
Această teoremă este una dintre cele mai importante în stereometrie, dar, din păcate, una dintre cele mai greu de aplicat.
Deci trebuie să fii foarte atent!
Deci formularea este:
Și din nou, descifrând cuvintele „atunci și numai atunci”. Teorema spune două lucruri deodată (uitați-vă la imagine):
Să încercăm să aplicăm această teoremă pentru a rezolva problema.
O sarcină: este dată o piramidă hexagonală regulată. Găsiți unghiul dintre drepte și.
Soluţie:
Datorită faptului că, într-o piramidă obișnuită, vârful cade în centrul bazei în timpul proiecției, se dovedește că linia este proiecția dreptei.
Dar știm asta într-un hexagon obișnuit. Aplicam teorema celor trei perpendiculare:
Și scrieți răspunsul:
PERPENDICULARITATEA LINIILOR ÎN SPAȚIU. SCURT DESPRE PRINCIPALA
Perpendicularitatea a două drepte.
Două drepte din spațiu sunt perpendiculare dacă unghiul este între ele.
Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan.
O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe toate dreptele din acel plan.
Perpendicularitatea planului.
Planele sunt perpendiculare dacă unghiul diedric dintre ele este egal.
Criteriul de perpendicularitate a planurilor.
Două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă unul dintre ele trece prin perpendiculară pe celălalt plan.
Teorema celor trei perpendiculare:
Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.
Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!
Acum cel mai important lucru.
Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.
Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...
Pentru ce?
Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.
Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...
Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.
Dar acesta nu este principalul lucru.
Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...
Dar gandeste-te singur...
Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?
UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.
La examen nu vi se va cere teorie.
Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.
Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.
Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.
Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!
Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.
Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.
Cum? Există două opțiuni:
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol -
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - Cumpărați un manual - 899 de ruble
Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.
Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.
In concluzie...
Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.
„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.
Găsiți probleme și rezolvați!