Grahamovo číslo a ďalšie čísla. Najväčšie číslo alebo „gramové číslo“ na prstoch Čísla väčšie ako gramové číslo

Aké najväčšie číslo na svete niečo znamená? V tomto článku sa pokúsim hovoriť o digitálnom monštre s názvom Grahamovo číslo,

Píše sly2m.livejournal.com

Zdroj:

Ak budete dlho nazerať do priepasti, môžete sa dobre zabaviť.
Mechanický inžinier duší

Grahamovo číslo na prstoch™

Akonáhle dieťa (a to sa stane niekde okolo troch alebo štyroch rokov) pochopí, že všetky čísla sú rozdelené do troch skupín „jeden, dva a veľa“, okamžite sa snaží zistiť: koľko je veľa, koľko sa líši z množstva a môže ich byť toľko, že už nie je. Určite ste si zahrali zaujímavú (na ten vek) hru s rodičmi, ktorí budú menovať najviac viac a ak predok nebol o nič hlúpejší ako žiak piateho ročníka, potom vždy vyhral a odpovedal „dva milióny“ za každý „milión“ a „dve miliardy“ alebo „miliarda plus jedna“ za každú „miliardu“.

Už na prvom stupni školy každý vie, že čísel je nekonečne veľa, nikdy nekončia a najväčšie číslo neexistuje. Každému miliónu biliónov miliárd môžete vždy povedať „plus jeden“ a vyhrať. A o niečo neskôr príde (malo by prísť!) Pochopenie, že dlhé reťazce čísel samy osebe nič neznamenajú. Všetky tieto bilióny miliárd majú zmysel len vtedy, keď slúžia ako znázornenie určitého počtu objektov alebo opisujú určitý jav. Nie je problém vymyslieť dlhé číslo, ktoré nie je ničím iným ako množinou dlho znejúcich čísel, už ich je nekonečne veľa. Veda sa do istej miery obrazne zaoberá hľadaním veľmi špecifických kombinácií čísel v tejto bezhraničnej priepasti, pridávajúc k tomu nejaký fyzikálny jav, ako je rýchlosť svetla, Avogadrove číslo alebo Planckova konštanta.

A hneď vyvstáva otázka, aké najväčšie číslo na svete niečo znamená? V tomto článku sa pokúsim hovoriť o digitálnom monštre s názvom Grahamovo číslo, hoci prísne vzaté, veda pozná ešte viac čísel. Grahamovo číslo je najviac medializované, dalo by sa povedať, že „počulo“ široká verejnosť, pretože je celkom jednoduché na vysvetlenie a predsa dostatočne veľké, aby človek otočil hlavu. Vo všeobecnosti je tu potrebné vyhlásiť malé disclaimer (ruské varovanie). Môže to znieť ako vtip, ale nežartujem. Hovorím to celkom vážne – precízny výber v takých matematických hĺbkach v kombinácii s neobmedzeným rozširovaním hraníc vnímania môže (a bude) mať vážny dopad na svetonázor, na postavenie jednotlivca v spoločnosti a v konečnom dôsledku aj na , na generálke psychický stav vyberanie, alebo, nazvime veci pravými menami - otvára cestu shiz. Nasledujúci text nie je potrebné čítať príliš pozorne, netreba si veci v ňom opísané príliš živo a názorne predstavovať. A nehovorte neskôr, že ste neboli varovaní!

Predtým, ako prejdeme k číslam príšer, najprv si zacvičme na mačkách. Pripomínam, že na opis veľkých čísel (nie príšer, ale len veľkých čísel) je vhodné použiť vedecké alebo tzv. exponenciálny zápis.

Keď sa povie, povedzme, o počte hviezd vo vesmíre (v Observable Universe), žiadny idiot sa nebude obťažovať spočítať, koľko ich je v doslovnom zmysle až do poslednej hviezdy. Predpokladá sa, že približne 10²¹ kusov. A to je nižší odhad. To znamená, že celkový počet hviezd možno vyjadriť ako číslo, ktoré má po jednej 21 núl, t.j. "1 000 000 000 000 000 000 000".

Takto vyzerá malá časť z nich (asi 100 000) v guľovej hviezdokope Omega Centauri.

Prirodzene, kedy rozprávame sa o takýchto mierkach skutočné čísla nehrajú významnú úlohu v počte, napokon, všetko je veľmi podmienené a približné. Možno je skutočný počet hviezd vo vesmíre "1 564 861 615 140 168 357 973" alebo možno "9 384 684 643 798 468 483 745". A dokonca aj „3 333 333 333 333 333 333 333“, prečo nie, aj keď je to samozrejme nepravdepodobné. V kozmológii, vede o vlastnostiach vesmíru ako celku, sa takéto maličkosti neoklamú. Hlavná vec je predstaviť si, že približne toto číslo pozostáva z 22 číslic, z ktorých je vhodnejšie považovať ho za jednotku s 21 nulami a zapísať ho ako 10²¹. Pravidlo je všeobecné a veľmi jednoduché. Aké číslo alebo číslo stojí na mieste stupňa (vytlačené drobným písmom nad 10), toľko núl po jednotke bude v tomto čísle, ak ho nakreslíte jednoduchým spôsobom, so znamienkami v rade a nie v vedeckým spôsobom. Niektoré čísla majú „ľudské mená“, napríklad 10³ nazývame „tisíc“, 10⁶ – „milión“ a 10⁹ – „miliarda“ a niektoré nie. Povedzme, že 10⁵⁹ nemá bežný názov. A 10²¹, mimochodom, má - je to "sextillion".

Všetko, čo ide do milióna, je intuitívne pochopiteľné takmer pre každého, veď kto by sa nechcel stať milionárom? Potom začnú nejaké problémy. Hoci miliardu (10⁹) tiež pozná takmer každý. Môžete dokonca počítať až do miliardy. Keby až po narodení, doslova v momente narodenia, začnite raz za sekundu počítať „jeden, dva, tri, štyri...“ a nespať, nepiť, nejesť, ale len neúnavne počítať a počítať deň a noci, potom keď udrie 32 rokov, môžete počítať až do miliardy, pretože 32 otáčok Zeme okolo Slnka trvá asi miliardu sekúnd.

7 miliárd je počet ľudí na planéte. Na základe vyššie uvedeného ich všetky spočítajte v poradí ľudský život absolútne nemožné, musíte žiť viac ako dvesto rokov.

100 miliárd (10¹¹) – koľko približne ľudí žilo na planéte počas jej histórie. McDonald's predal do roku 1998 za 50 rokov svojej existencie 100 miliárd hamburgerov. V našej galaxii Mliečna dráha je 100 miliárd hviezd (no, trochu viac) a Slnko je jednou z nich. Rovnaký počet galaxií je obsiahnutý v pozorovateľnom vesmíre. V ľudskom mozgu je 100 miliárd neurónov. A rovnaký počet anaeróbnych baktérií žije v každom čitateľovi týchto riadkov v slepom čreve.

Trilión (10¹²) je číslo, ktoré sa používa zriedka. Nedá sa narátať do bilióna, bude to trvať 32 tisíc rokov. Pred biliónom sekúnd ľudia žili v jaskyniach a oštepmi lovili mamuty. Áno, pred biliónom sekúnd žili na Zemi mamuty. V oceánoch planéty je asi bilión rýb. Naša susedná galaxia Andromeda obsahuje asi bilión hviezd. Človek sa skladá z 10 biliónov buniek. HDP Ruska v roku 2013 predstavoval 66 biliónov rubľov (v roku 2013 rubľov). Od Zeme po Saturn bolo celkovo vytlačených 100 biliónov centimetrov a rovnaký počet písmen vo všetkých knihách, ktoré kedy vyšli.

Kvadrilión (10¹⁵, jeden milión miliárd) je počet mravcov na planéte. Normálni ľudia toto slovo nahlas nevyslovujú, no, priznajte sa, kedy ste naposledy v rozhovore počuli „kvadrilión niečoho“?

Quintillion (10¹⁸, miliarda miliárd) – koľko možných konfigurácií existuje pri zostavovaní Rubikovej kocky 3x3x3. Rovnako aj počet kubických metrov vody vo svetových oceánoch.

Sextilion (10²¹) - toto číslo sme už dosiahli. Počet hviezd v pozorovateľnom vesmíre. Počet zrniek piesku vo všetkých púšťach Zeme. Počet tranzistorov vo všetkých existujúcich elektronických zariadeniach ľudstva, ak nám Intel neklamal.

10 sextiliónov (10²²) je počet molekúl v grame vody.

10²⁴ je hmotnosť Zeme v kilogramoch.

10²⁶ je priemer pozorovateľného vesmíru v metroch, ale nie je veľmi vhodné počítať v metroch, všeobecne akceptované hranice pozorovateľného vesmíru sú 93 miliárd svetelných rokov.

Na vizualizáciu kozmickej mierky je užitočné študovať tento obrázok a rozšíriť ho na celú obrazovku.

Avšak aj v Pozorovateľnom vesmíre môžete vtesnať oveľa viac niečoho iného ako metrov.

10⁵¹ atómov tvorí planétu Zem.

10⁸⁰ je približný počet elementárnych častíc v pozorovateľnom vesmíre.

10⁹⁰ je približný počet fotónov v pozorovateľnom vesmíre. Je ich takmer 10 miliárd krát viac ako elementárnych častíc, elektrónov a protónov.

10¹⁰⁰ - googol. Toto číslo fyzicky nič neznamená, len okrúhle a krásne. Spoločnosť, ktorá si dala za cieľ indexovať odkazy Google (samozrejme vtip, je to viac ako počet elementárnych častíc vo vesmíre!), v roku 1998 prijala názov Google.

10¹²² protónov bude potrebných na naplnenie pozorovateľného vesmíru až po očné buľvy, presne takto, protón k protónu, chrbtom k sebe.

Pozorovateľný vesmír zaberá 10¹⁸⁵ Planckových zväzkov. Menší ako Planckov objem (kocka s Planckovou dĺžkou 10⁻³⁵ metrov) naša veda nepozná. Iste, rovnako ako vo vesmíre, je tam niečo ešte menšie, ale vedci zatiaľ neprišli na rozumné vzorce pre takéto maličkosti, sú to len čisté špekulácie.

Ukazuje sa, že približne 10¹⁸⁵ je najväčšie číslo, ktoré môže v modernej vede znamenať čokoľvek. Vo vede, ktorá dokáže cítiť a merať. Je to niečo, čo existuje alebo by mohlo existovať, ak by sa tak stalo, že by sme o vesmíre vedeli všetko. Číslo pozostáva zo 186 číslic, tu je:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Alebo ste počuli o teórii strún, podľa ktorej môže existovať asi 10⁵⁰⁰ konfigurácií vibrácií strún, čo znamená rovnaký počet potenciálnych vesmírov, z ktorých každý má svoje vlastné zákony.

Spomeniem len mnohým známy googolplex. Číslo, ktoré má googol číslic, desať s mocninou googolu alebo desať s mocninou desiatich na sto

Nebudem to zapisovať do čísel. Googleplex neznamená absolútne nič. Človek si nevie predstaviť googolplex čohokoľvek, je to fyzicky nemožné. Na zapísanie takéhoto čísla budete potrebovať celý pozorovateľný vesmír, ak budete písať „nano-perom“ priamo vo vákuu, vlastne v Planckových bunkách kozmu. Preložme všetku hmotu na atrament a naplňme vesmír jedným plným číslom, potom dostaneme googolplex. Matematici (strašní ľudia!) sa ale vyhrievajú len pri googolprexe, to je najnižšia priečka, z ktorej sa pre nich začínajú skutočné dobroty. A ak si myslíte, že googolplex v rozsahu googolplex je to, o čom hovoríme, nemáte ani poňatia, AKO sa mýli.

Za googolplexom je veľa zaujímavých čísel, ktoré majú v matematických dôkazoch takú alebo onakú úlohu, dlhé krátke, poďme rovno ku Grahamovmu číslu, pomenovanému po (no, samozrejme) matematikovi Ronaldovi Grahamovi. Najprv vám poviem, čo to je a na čo to je, potom obrazne a na prstoch ™ popíšem, akú má veľkosť, a potom napíšem samotné číslo. Presnejšie, pokúsim sa vysvetliť, čo som napísal.

Predstavte si kocku, ktorej všetky vrcholy sú spojené čiarami-úsečkami dvoch farieb, červenej alebo modrej. Pripojené a zafarbené náhodne. Niektorí už uhádli, že hovoríme o odvetví matematiky zvanej kombinatorika.

Podarí sa nám vymyslieť a zvoliť konfiguráciu farieb tak (a sú len dve - červená a modrá), aby pri vyfarbovaní týchto segmentov NEVYŠLO, že sa spoja všetky segmenty rovnakej farby štyri vrcholy ležia v tej istej rovine? V tomto prípade nepredstavujú takýto údaj:

Môžete myslieť sami, krútiť kocku vo svojej fantázii pred vašimi očami, nie je to také ťažké. Sú dve farby, kocka má 8 vrcholov (rohov), to znamená, že ich spája 28 segmentov Konfiguráciu farbenia si môžete zvoliť tak, že hore uvedený údaj nikde nedostaneme, budú tam viacfarebné čiary vo všetkých možných rovinách.

Čo ak máme viac rozmerov? Čo ak vezmeme nie kocku, ale štvorrozmernú kocku, t.j. tesseract? Dokážeme urobiť rovnaký trik ako pri 3D?

V piatich dimenziách? A v päťrozmernom, kde sa kocka nazýva penterakt alebo pentakub, je to tiež možné.
A to v šiestich rozmeroch.

A potom sú tu ťažkosti. Graham nedokázal matematicky dokázať, že by sedemrozmerná hyperkocka mohla vykonať takúto operáciu. Aj osemrozmerné, aj deväťrozmerné a tak ďalej. Ukázalo sa však, že dané „a tak ďalej“ nejde do nekonečna, ale končí nejakým veľmi veľkým číslom, ktoré sa nazývalo „Grahamovo číslo“.

To znamená, že existuje nejaký minimálny rozmer hyperkocky, pri ktorom je podmienka porušená a už nie je možné vyhnúť sa kombinácii vyfarbovacích segmentov tak, že štyri body rovnakej farby budú ležať v rovnakej rovine. A tento minimálny rozmer je presne väčší ako šesť a presne menší ako Grahamovo číslo, to je matematický dôkaz vedca.

A teraz definícia toho, čo som opísal vyššie v niekoľkých odsekoch, suchým a nudným (ale objemným) jazykom matematiky. Nie je potrebné to pochopiť, ale nemôžem to nepriniesť.

Zvážte n-rozmernú hyperkocku a spojte všetky dvojice vrcholov, aby ste získali úplný graf s 2n vrcholmi. Vyfarbme každý okraj tohto grafu buď červenou alebo Modrá farba. Aká je najmenšia hodnota n, pre ktorú každé takéto sfarbenie nevyhnutne obsahuje jednofarebný úplný podgraf so štyrmi vrcholmi, ktoré všetky ležia v rovnakej rovine?

Od 70. rokov uplynulo veľa rokov, našli sa matematické problémy, v ktorých sa objavujú čísla a ďalšie Grahamove čísla, ale toto prvé monštrum číslo tak zapôsobilo na súčasníkov, ktorí pochopili, o akú stupnicu ide, že v roku 1980 bolo zaradené do Guinessovej knihy rekordov ako „ najviac veľké číslo niekedy zapojený do prísneho matematického dôkazu“ v tom čase.

Skúsme zistiť, aký je veľký. Najväčšie číslo, ktoré môže mať nejaký fyzikálny význam, je 10¹⁸⁵, a ak je celý Pozorovateľný vesmír vyplnený zdanlivo nekonečnou množinou malých čísel, dostaneme niečo, čo zodpovedá googolplexu.

Viete si predstaviť túto komunitu? Dopredu, dozadu, hore, dole, kam až oko dovidí a kam až oko dovidí Hubbleov teleskop, a aj to, ako veľmi to nestačí, do najvzdialenejších galaxií a pri pohľade za ne - čísla, čísla, čísla oveľa menšie ako protón. Takýto vesmír, samozrejme, nebude môcť dlho existovať, okamžite sa zrúti do čiernej diery. Pamätáte si, koľko informácií sa teoreticky zmestí do vesmíru?

To číslo je naozaj obrovské, láme mozog. Nerovná sa presne googolplex a nemá meno, preto ho nazvem „dochulion“. Len som prišiel na to, prečo nie. Počet Planckových buniek v pozorovateľnom vesmíre a číslo je zapísané v každej bunke. Číslo má 10¹⁸⁵ číslic a môže byť reprezentované ako

Otvorme dvere vnímania trochu širšie. Pamätáte si teóriu inflácie? Že náš vesmír je len jednou z mnohých bublín v Multivesmíre. A ak si predstavíte dochulion takýchto bublín? Zoberme si číslo také dlhé ako všetko, čo existuje a predstavme si Multivesmír s podobným počtom vesmírov, z ktorých každý je naplnený číslami až po očné buľvy – dostaneme dochulion dochulionov. Viete si to predstaviť? Ako sa vznášate v neexistencii skalárneho poľa a všade naokolo sú vesmíry-vesmíry a v nich čísla-čísla-čísla ... Dúfam, že takáto nočná mora (aj keď, prečo nočná mora?) nebude mučiť (a načo mučiť?) v noci príliš ovplyvniteľný čitateľ.

Pre pohodlie nazývame takúto operáciu "preklopenie". Také frivolné citoslovce, ako keby vzali Vesmír a obrátili ho naruby, potom to bolo vnútri v číslach a teraz naopak máme vonku toľko vesmírov, koľko bolo čísel a každá krabica je plná, plná čísla. Keď šúpete granátové jablko, ohnete tak kôrku, zrnká sa zvnútra vyklopia a granáty sú opäť v zrnách. Prišlo to aj za pochodu, prečo nie, veď to fungovalo s dohulionom.

Na čo narážam? Oplatí sa spomaliť? Poď, hoba, a ešte jeden obrat! A teraz máme toľko vesmírov, koľko bolo číslic vo vesmíroch, ktorých počet sa rovnal dochulionu číslic, ktoré vypĺňali náš vesmír. A okamžite, bez zastavenia, znova preklopte. Aj štvrtá, aj piata. Desiaty, tisícy. Držte krok s myšlienkou, stále si predstavujete obrázok?

Nestrácajme čas maličkosťami, roztiahnite krídla fantázie, akcelerujme naplno a flip flip flips. Každý vesmír obraciame naruby toľkokrát, koľkokrát bolo vesmírov pred Hulionom v predchádzajúcom preklopení, ktoré sa prevrátilo z toho predposledného, ktorý... uh... sledujete? Niekde tak. Nech sa teraz naše číslo stane, predpokladajme, "dochouliardom".

Dohouliard = flip flips

Neprestávame a neprestávame prevracať dohuliony dohouliardov, pokiaľ máme silu. Až sa zatmie v očiach, až sa vám bude chcieť kričať. Tu, každý statočný Pinocchio sám za seba, stop slovo bude „brynza“.

Takže. O čo vlastne ide? Obrovské a nekonečné dochuliony flipov a dohouliardov vesmírov plných číslic sa Grahamovmu číslu nevyrovnajú. Dokonca ani nepoškriabu povrch. Ak je Grahamovo číslo prezentované vo forme palice, tradične natiahnutej cez celý pozorovateľný vesmír, potom to, čo sme tu prilepili, sa ukáže ako zárez hrúbky ... no ... ako to môžem povedať takto , mierne povedané ... nehodné zmienky. Tu som to zjemnil, ako som vedel.

Teraz trochu odbočíme, dáme si pauzu. Čítali sme, počítali, naše oči boli unavené. Zabudnime na Grahamovo číslo, musíme sa pred ním stále plaziť a plaziť, zaostriť zrak, relaxovať, meditovať nad oveľa menším, priam miniatúrnym číslom, ktoré nazveme g₁, a zapísať si ho len šiestimi znakmi:
g1 = 33

Číslo g₁ je „tri, štyri šípky, tri“. Čo to znamená? Toto je zápis nazývaný Knuthov šípový zápis.

Jedna šípka znamená obyčajné umocnenie.

44 = 44 = 256

1010 = 10¹⁰ = 10 000 000 000

Dve šípky, pochopiteľne, znamenajú umocnenie.

Stručne povedané, „číselná šípka ďalšie číslo“ ukazuje, aké vysoké stupne (matematici hovoria „veža“) sú postavené z prvého čísla. Napríklad 58 znamená vežu z ôsmich pätiek a je taká veľká, že sa nedá vypočítať na žiadnom superpočítači, dokonca ani na všetkých počítačoch na planéte súčasne.

Prejdime k trom šípkam. Ak by dvojitá šípka ukazovala výšku veže stupňov, potom by sa zdalo, že trojitá šípka by označovala „výšku veže výšky veže“? Čo tam! V prípade trojky máme výšku veže výšku veže výšku veže (v matematike taký pojem neexistuje, rozhodol som sa to nazvať „bezvežový“). Niečo také:

To znamená, že 33 tvorí bezvežové trojičky, vysoké 7 biliónov kusov. Čo je 7 biliónov trojíc naskladaných na sebe a nazývaných „bezvežové“? Ak ste pozorne čítali tento text a nezaspali ste hneď na začiatku, pravdepodobne si pamätáte, že od Zeme po Saturn je 100 biliónov centimetrov. Trojka zobrazená na obrazovke dvanástym písmom, táto - 3 - je vysoká päť milimetrov. Takže bezvežové trojičky sa roztiahnu z vašej obrazovky... no, samozrejme, nie k Saturnu. Ani Slnko nedosiahne, len štvrtinu astronomickej jednotky, približne rovnako ako zo Zeme na Mars za dobrého počasia. Upozorňujem (nespite!), že bezvežový nie je číslo zo Zeme na Mars, je to veža stupňov takej výšky. Pamätáme si, že päť trojíc v tejto veži pokrýva googolplex, výpočet prvého decimetra trojíc spáli všetky poistky počítačov planéty a zvyšné milióny kilometrov stupňov sú už zbytočné, jednoducho sa čitateľovi otvorene vysmievajú, je to je zbytočné ich počítať.

Teraz je jasné, že 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 bezvežové, (nie 3 do stupňa bezveže, ale „bezvežová bezvežová šípka s tromi šípmi“ (!)), jej bezvežová bezvežová sa nezmestí ani do dĺžky, ani do výšky. pozorovateľný vesmír a nezmestí sa ani do údajného multivesmíru.

Slová končia na 35 = 33333 a citoslovcia na 36 = 333333, ale ak máte záujem, môžete si to precvičiť.

Je zbytočné to počítať a nebude to fungovať. Počet stupňov tu nie je vhodný na zmysluplné účtovanie. Toto číslo sa nedá predstaviť, nedá sa opísať. Žiadne analógie na finger™ nie sú použiteľné, číslo jednoducho nie je s čím porovnávať. Môžeme povedať, že je obrovský, že je grandiózny, že je monumentálny a pozerá sa za horizont udalostí. Teda dať tomu nejaké slovné epitetá. Ale vizualizácia, dokonca aj voľná a obrazná, je nemožná. Ak pomocou troch šípok bolo stále možné povedať aspoň niečo, nakresliť bezvežového zo Zeme na Mars, nejako s niečím porovnať, potom jednoducho nemôžu existovať analógie. Skúste si predstaviť tenkú vežu trojičiek zo Zeme na Mars, vedľa nej ďalšiu takmer rovnakú, a ďalšiu, a ďalšiu ... Nekonečné pole veží sa tiahne do diaľky, do nekonečna, veže sú všade, veže sú všade . A čo je nanajvýš urážlivé, tieto veže ani nemajú nič spoločné s číslom, iba určujú výšku iných veží, ktoré je potrebné postaviť, aby sa získala výška veží, aby sa dosiahla výška veže ... s cieľom získať samotné číslo po nepredstaviteľnom množstve času a opakovaní.

To je to, čo je g₁, to je to, čo je 33.

Oddýchol si? Teraz od g₁ s novými silami sa vraciame k útoku na Grahamovo číslo. Všimli ste si, ako eskalácia rastie od šípky k šípke?

33 = 7 625 597 484 987

33 = veža, zo Zeme na Mars.

33 = číslo, ktoré si nemožno predstaviť ani opísať.

A predstavte si, aká digitálna nočná mora sa deje, keď má strelec päť rokov? Kedy je šesť? Viete si predstaviť číslo, keď bude strelca sto? Ak môžete, dovoľte mi, aby som vás upozornil na číslo g₂, v ktorom sa počet týchto šípok rovná g₁. Pamätajte si, čo je g₁, však?

Nebudem skrývať, existuje aj g₃, ktorý obsahuje g₂ šípky. Mimochodom, je stále jasné, že g₃ nie je g₂ „na silu“ g₂, ale počet bezvežových veží, ktoré určujú výšku bezvežových veží, ktoré určujú výšku ... a tak ďalej v celom reťazci, kým tepelná smrť vesmíru? Tu začnete plakať.

Prečo plačeš? Pretože úplná pravda. Existuje aj číslo g₄, ktoré obsahuje g₃ šípky medzi trojicami. Existuje tiež g₅, existuje g₆ a g7 a g₁7 a g₄₃...

Stručne povedané, existuje 64 týchto g. Každá predchádzajúca sa číselne rovná počtu šípok v nasledujúcej. Posledné g₆₄ je Grahamovo číslo, od ktorého sa zdalo, že všetko začalo tak nevinne. To je počet rozmerov hyperkocky, ktorý bude určite stačiť na správne vyfarbenie segmentov na červenú a modrú. Možno menej, to je takpovediac horná hranica. Píše sa takto:

a píš takto.

Aby sme si nejako predstavili mierku čísla, rozoberme si jeho záznam podrobnejšie.

1 . Takže v matematike existuje pojem „hyperoperátor“ na určenie úrovne aritmetických operácií. Sčítanie je teda hyperoperátor prvej úrovne a hyperoperátor druhej úrovne je násobenie, čo je opakované sčítanie. To znamená, že násobiteľ je číslo, ktoré nám hovorí, koľkokrát je potrebné pripočítať vynásobenú hodnotu. Napríklad: 3 3 = 3 + 3 + 3 = 9. Ďalším hyperoperátorom je umocňovanie, X n = X^n, čo je v podstate opakované násobenie. Príklad: 3 3 \u003d 3 3 3 \u003d 27. Zápis 3 3 v Knuthovom zápise bude vyzerať ako 33. Tu pre prehľadnosť treba povedať, že prvá číslica vo výraze 33 je hodnota, s ktorou vykonáme akciu a počet šípok medzi číslicami je aritmetická operácia; v tomto prípade jedna šípka znamená umocnenie. Druhá číslica znamená mocninu, na ktorú by sa mala zvýšiť prvá číslica (koľkokrát sa má násobiť). V súlade s tým výraz 74 znamená siedmu až štvrtú mocninu. Inými slovami, číslo 7 sa musí štyrikrát vynásobiť číslom 7.

2 . Hyperoperátor štvrtej úrovne je tetácia, opakované umocňovanie. V Knuthovom zázname sú medzi číslami dve šípky. Príklad: 33 \u003d 3 3 \u003d 3 3 3 \u003d 3 27 \u003d 7 625 597 484 987. To znamená, že druhá číslica v prítomnosti dvoch šípok znamená, že toľkokrát musíte zvýšiť prvé číslo na sila sama o sebe. Inými slovami, ukazuje nám výšku napájacej veže od prvej číslice. Napríklad položka 58 znamená vežu s ôsmimi piatimi nahromadenými na sebe ako kocky.

Tí, ktorých mozog je úplne napuchnutý tukom alebo je zaneprázdnený len myšlienkami o tom, ako nájsť chan, napumpovať svojho škriatka alebo sa zbaviť akné, by ste mali pamätať na to, že výrazy sa počítajú v tetrácii zhora nadol, alebo sprava doľava. Jednoducho povedané, 3 3 3 sa rovná kurva nie 27 3, ale to isté 3 27 . Teraz vidíš, môj chlpatý malý kamarát, že tetácia je už dosť silný zápis, ktorý ti umožňuje písať v krátkom výraze čísla 100 500-krát väčšie ako samotné 100 500. Ale to nie je všetko, pretože to nie je dostatočne výkonný hyperoperátor, aby vypočítať Grahamovo číslo.

3 . Poďme ďalej: hyperoperátor piatej úrovne je pentation (opakovaná tetácia). Tri šípky medzi číslami. Tu sa začína kurva, z ktorej ľudia, ktorí nie sú profesionálni matematici, pľujú na všetky tie svinstvá a už sa to nesnažia pochopiť. Ale ty nie si ako oni, však? Ak ste si mysleli, že pentácia čísla 3 je rozložená na 3 na mocninu 7 625 597 484 987, tak ste na omyle. Ani netušíš, ako veľmi sa mýliš. Pre 3 je mocnina 7 625 597 484 987 len 34. A pentácia je 33 = 3(33) = 3(7 625 597 484 987) = 33…( počet umocnení - 7 625 597 484 987 krát)…3. To znamená, že sa získa trojitá energetická veža s výškou viac ako sedem a pol bilióna poschodí! Inými slovami, druhá číslica v prítomnosti troch šípok znamená, aká vysoká bude tetovacia veža prvej číslice. Pre názornosť: 34 možno zapísať ako 3 3 3 3 alebo 3 (3 (3 3)). A tu je hlavnou vecou pochopiť, že táto veža tetrationov nie je vežou stupňov, tu je eskalácia oveľa rýchlejšia. 34 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3.
Konečne sa mi to podarilo, kurva! 34 sa rovná 3 v tetrácii čísla, ktoré je výsledkom výpočtu energetickej veže z čísla 3 s výškou 7 625 597 484 987 poschodí. Ak je teda 34 napísané ako trojitá energetická veža, potom sa počet poschodí v tejto veži bude rovnať číslu, ktoré sa získa pri výpočte veže s výškou 7 625 597 484 987 poschodí. Predstavený? Neprezentoval som, samozrejme, takéto množstvá sa nedajú pochopiť jedným pohybom.

Ak ste stále pomaly začali chápať, o čo tu do pekla ide, prečítajte si znovu odsek 2.

4 . A posledný hyperoperátor, ktorý potrebujeme, je hexaxácia. Ako ste možno uhádli, štyri šípky medzi trojkami. Ide teda o opakovanú penalizáciu. Druhá číslica v prítomnosti štyroch šípok znamená, aká vysoká bude „pentačná“ veža. 33 \u003d 3 (33) \u003d 333 ... 33, kde počet tetácií je výsledkom výpočtu pentácie 33. Ak opäť ničomu nerozumiete, prečítajte si znova body 3 a 2.
Ak sa presunieme na samý koniec tohto nemysliteľného reťazca tetácií a začneme ho počítať, potom sa druhá trojica od konca bude v tetácii rovnať 7 625 597 484 987. A výsledok tetrácie tretej trojice z end bude číslo získané pentáciou trojky v predchádzajúcom odseku. A pred nami sú ďalšie googolplexy a googolplexy opakovaných tetácií čísla 3. Už je zbytočné snažiť sa niečo pochopiť, nejako zakryť výsledok ... A tu sa môžete opýtať: „Je to naozaj Grahamovo číslo? Wow, aké obrovské!" Ale nie, nie je to Grahamovo číslo. Bol to len matematický náznak a je zanedbateľný, v porovnaní s Grahamovým číslom nezmerateľne malý.

Hexácia je teda len pridanie jednej pissingovej šípky k pentácii, no výsledok sa ukáže byť väčší o nepredstaviteľný počet príkazov. A teraz vlastne výpočet Grahamovho čísla. Číslo tri v príkladoch bolo použité z nejakého dôvodu, pretože Grahamovo číslo sú v podstate násobené trojičky. Nazvime teda výsledok našej hexácie (33) G1. Toto bude prvý krok výpočtu. Iba prvý. A ďalší krok urýchli postup tak, že pridanie jedného, desiatich, MILIÓNU šípok medzi čísla znamená označenie času. Druhým krokom je výpočet G2. Teraz vezmeme výsledok našej hexatizácie trojky a napíšeme výraz, kde sa počet šípok nadstupne bude rovnať tomuto výsledku. G2 = 3…(počet šípok superschopnosti - G1)…3. Zaujímalo by ma, ako sa volá hyperoperátor TAKEJTO úrovne?

Zaznamenať nielen výsledok, ale ani tento hyperoperátor už nie je možný bez redukcie. A číslo vyplývajúce z jeho výpočtu (ak by sa to samozrejme dalo vypočítať) by svojimi číslami zaplnilo vesmír, paralelné svety, podpriestor a každý iný astrál. A nezabudnite, že v G1 bol počet šípok rovný štyrom - a to je už číslo, ktoré nie je k dispozícii na výpočet a zápis obvyklým spôsobom! A v G2 je toto číslo iba počtom superstupňov. To je všetko. Postup je neuveriteľne rýchly. A toto je len začiatok. Ďalším krokom je výpočet čísla G3, kde počet šípok superschopnosti sa bude rovnať G2! Podobným spôsobom po tomto nasleduje ďalších 62 výpočtových krokov, kde výsledkom každého kroku bude iba počet šípok superschopnosti ďalšieho kroku a Grahamovo číslo je G64!

Vaistenu, niekedy je matan horsi ako akekolvek drogy.

Bol tam starý muž, plachý ako chlapec,
Nemotorný, bojazlivý patriarcha...
Kto je šermiar pre česť prírody?
No, samozrejme, ohnivý Lamarck.
Osip Mandelstam

Okrem opisu Grahamovho čísla a mnohých ďalších zaujímavých čísel navrhujem diskutovať o niekoľkých ďalších číslach. Teraz sa narýchlo dešifruje ľudský genóm. Podľa môjho názoru to bude málo užitočné, pretože z akýchkoľvek experimentálnych údajov, pre ktoré existuje aspoň nejaká teória (nie je jasné, čo sa vlastne meria) sa však aspoň ukázalo, že ľudský genóm pozostáva z 3,1 miliardy báz ( všetky druhy tymínu s guanínom a inými uracilami) Každá živá bytosť je z pohľadu Darwinovej evolučnej teórie považovaná za skúšku prežitia danej kombinácie báz a hlavný stret náboženstva s Darwinovou teóriou nastáva vtedy, keď Darwinova teória, alebo skôr jej moderná interpretácia, uvádza, že k tomuto vymenovaniu dochádza náhodne. Okrem tohto tvrdenia neexistuje rozpor medzi evolučnou teóriou a obrazom opísaným napríklad v židovsko-kresťanskej Genezis, bez ohľadu na to, čo tvrdia kreacionisti.

Napríklad, ak predpokladáme, že úplne prvá živá bytosť v úplne prvej DNA mala naprogramovanú celú evolúciu od tejto úplne prvej bytosti až po moderného človeka, potom sa tento obraz, ktorý možno považovať za modernú interpretáciu Lamarckovej evolúcie, nelíši od Genesis a vôbec prvý živý tvor v tomto myšlienkovom experimente by sa nemal volať Adam Brodsky, ale archetyp Lamarcka. Len slová „Boh stvoril“ z Genezis v tento kontext znamená, že Boh zapísal do programu archetyp Lamarcka. Mimochodom, tento program a samotnú metódu programovania tiež vymyslel On.

Predpokladajme, že kombinácia párov báz tohto úplne prvého živého tvora je jedinečná, potom môžeme zdola odhadnúť rýchlosť Darwinovho vývoja. Začnime tým, že nedávno bol nájdený najmenší živý tvor (vírusy sú teoreticky ešte menšie, no nemožno ich považovať za plnohodnotné živé bytosti, keďže na rozmnožovanie potrebujú mimozemský bunkový mechanizmus – všetky druhy mitochondrií atď.). .atď.) Predstavme si, že celý vesmír (10 až 26 metrov) je naplnený až po vrch týmito živými tvormi s veľkosťou 0,009 kubických mikrónov, ktoré neustále testujú kombinácie DNA, z ktorých každá má svoju vlastnú jedinečnosť. test s vylúčením duplikácie testovania DNA rôznymi živými bytosťami, a ak sa objaví niečo úspešné, všetky živé bytosti vo vesmíre sa o tom okamžite dozvedia a zmenia svoju testovaciu úlohu, takže všetky kombinácie založené na neúspešnom teste budú z následného testovania zamietnuté. Darwinovým číslom nazvime celkový počet genómov, ktoré je potrebné takto otestovať, a ak Darwinovo číslo vynásobíme minimálnou dobou života testujúceho tvora – Planckovým časom, čo je minimálne časové kvantum – a vydelíme celkový počet takýchto tvorov, potom môžeme určiť určitý charakteristický čas takého vývoja, ktorý navrhujem nazvať Darwinovým časom. A ak vydelíte Darwinov čas maximálnym vekom nášho vesmíru, môžete získať číslo, ktoré navrhujem nazvať číslom Williama z Ockhamu, keďže on bol prvý, kto dokázal, že vedecké metódy nemôžu dokázať existenciu Boha, ale vy nemôže dokázať ani jeho neprítomnosť. Occamovo číslo totiž ukazuje v rámci Darwinovej teórie maximálny počet vstupov do darwinovskej evolúcie v našom Vesmíre, to znamená, že oddeľuje tie kombinácie DNA, ktoré môžu byť genómom živej bytosti, od tých, ktoré sú zjavne fatálne. To znamená, že toto číslo ukazuje rozdiel medzi životom a smrťou v našom vesmíre.

Prirodzene, navrhujem nazvať pomer Ockhamovho čísla ku Grahamovmu číslu Brodského číslom a navrhujem nazvať celý tento postup Brodského paradoxom.

Pôvodne odoslal lyubimica_mira na Graham's Number on Fingers™

Originál prevzatý z sly2m v Graham Number on Fingers™

epigraf
Ak sa dlho pozeráš do priepasti,
môžete sa dobre baviť.
Mechanický inžinier duší

Len čo dieťa (a to sa deje niekde okolo troch alebo štyroch rokov) pochopí, že všetky čísla sú rozdelené do troch skupín „jeden, dva a veľa“, okamžite sa snaží zistiť: koľko je príliš veľa, ako veľa sa líši od toľko, a môže byť toľko, že ich viac nie je. Určite ste hrali zaujímavú (na ten vek) hru s rodičmi, ktorí vymenujú najväčšie číslo a ak bol predok nie hlúpejší ako žiak 5. ročníka, potom vždy vyhral a odpovedal „dva milióny“ za každý „milión“ a „dve miliardy“ alebo „miliarda plus jedna“ za každú „miliardu“.

Už na prvom stupni školy každý vie, že čísel je nekonečne veľa, nikdy nekončia a najväčšie číslo neexistuje. Komukoľvek milión biliónov miliárd vždy môžete povedať „plus jedna“ a vyhrať. A o niečo neskôr príde (malo by prísť!) Pochopenie, že dlhé reťazce čísel samy osebe nič neznamenajú. Všetky tieto bilióny miliárd len vtedy majú zmysel, keď slúžia ako znázornenie množstva predmetov alebo opisujú určitý jav. Nie je problém vymyslieť dlhé číslo, ktoré nie je ničím iným ako množinou dlho znejúcich čísel, teda oni nekonečné číslo. Veda sa do istej miery obrazne zaoberá hľadaním veľmi špecifických kombinácií čísel v tejto bezhraničnej priepasti, pridávajúc k tomu nejaký fyzikálny jav, ako je rýchlosť svetla, Avogadrove číslo alebo Planckova konštanta.

A hneď vyvstáva otázka, aké najväčšie číslo na svete niečo znamená? V tomto článku sa pokúsim porozprávať o digitálnom monštre tzv Grahamovo číslo, hoci prísne vzaté, veda pozná čísla a ďalšie. Grahamovo číslo je najviac medializované, dalo by sa povedať, že „počulo“ široká verejnosť, pretože je celkom jednoduché na vysvetlenie a predsa dostatočne veľké, aby človek otočil hlavu. Vo všeobecnosti je tu potrebné vyhlásiť malé vylúčenie zodpovednosti ( ruský POZOR). Môže to znieť ako vtip, ale nežartujem. Hovorím to celkom vážne – pedantné hrabanie sa v takých matematických hĺbkach v kombinácii s neviazaným rozširovaním hraníc vnímania môže (a bude) mať vážny dopad na svetonázor, na postavenie jednotlivca v spoločnosti a, nakoniec, na všeobecný psychický stav vyberanie, alebo, nazvime veci pravými menami - otvára cestu shiz. Nasledujúci text nie je potrebné čítať príliš pozorne, netreba si veci v ňom opísané príliš živo a názorne predstavovať. A nehovorte neskôr, že ste neboli varovaní!
Prsty:
Skôr než prejdeme k číslam príšer, najprv si to precvičme na mačkách. Pripomínam, že na opis veľkých čísel (nie príšer, ale len veľkých čísel) je vhodné použiť vedecké alebo tzv. exponenciálny spôsob záznamu.

Keď sa povie, povedzme, o počte hviezd vo vesmíre (v Observable Universe), žiadny idiot sa nebude obťažovať spočítať, koľko ich je v doslovnom zmysle až do poslednej hviezdy. Predpokladá sa, že približne 10 21 kusov. A to je nižší odhad. To znamená, že celkový počet hviezd možno vyjadriť ako číslo, ktoré má po jednej 21 núl, t.j. "1 000 000 000 000 000 000 000".

Takto vyzerá malá časť z nich (asi 100 000) v guľovej hviezdokope Omega Centauri.

Prirodzene, pokiaľ ide o takéto váhy, skutočné čísla nehrajú významnú úlohu v počte, všetko je veľmi podmienené a približné. Možno v skutočnosti počet hviezd vo vesmíre je "1,564,861,615,140,168,357,973", alebo možno "9,384,684,643,798,468,483,745". A dokonca aj „3 333 333 333 333 333 333 333“, prečo nie, aj keď je to samozrejme nepravdepodobné. V kozmológii, vede o vlastnostiach vesmíru ako celku, sa takéto maličkosti neoklamú. Hlavná vec je predstaviť si približne toto číslo pozostáva z 22 číslic, z ktorých je vhodnejšie považovať ho za jednotku s 21 nulami a zapísať ho ako 10 21. Pravidlo je všeobecné a veľmi jednoduché. Aké číslo alebo číslo stojí na mieste stupňa (tu je vytlačené malým písmom nad 10), koľko núl po jednotke bude v tomto čísle, ak ho nakreslíte jednoduchým spôsobom, so znakmi v rade a nie v vedeckým spôsobom. Niektoré čísla majú „ľudské mená“, napríklad 10 3 nazývame „tisíc“, 10 6 – „milión“ a 10 9 – „miliarda“, a niektoré nie. Povedzme, že 1059 nemá bežné meno. A 10 21, mimochodom, má – je to „sextillion“.

Všetko, čo ide do milióna, je intuitívne pochopiteľné takmer pre každého človeka, pretože kto nechce byť milionárom? Potom začnú nejaké problémy. Hoci miliardu (10 9) tiež pozná takmer každý. Môžete dokonca počítať až do miliardy. Keby až po narodení, doslova v momente narodenia, začnite raz za sekundu počítať „jeden, dva, tri, štyri...“ a nespite, nepite, nejedzte, ale len počítajte- počítaj neúnavne deň a noc, potom keď udrie 32 rokov, môžeš narátať až miliardu, pretože 32 otáčok Zeme okolo Slnka trvá asi miliardu sekúnd.

7 miliárd je počet ľudí na planéte. Na základe vyššie uvedeného je absolútne nemožné spočítať ich všetky v poradí počas ľudského života, budete musieť žiť viac ako dvesto rokov.

100 miliárd (10 11) - toľko alebo toľko ľudí žilo na planéte počas celej jej histórie. McDonald's predal do roku 1998 za 50 rokov svojej existencie 100 miliárd hamburgerov. V našej galaxii Mliečna dráha je 100 miliárd hviezd (no, trochu viac) a Slnko je jednou z nich. Rovnaký počet galaxií je obsiahnutý v pozorovateľnom vesmíre. V ľudskom mozgu je 100 miliárd neurónov. A rovnaký počet anaeróbnych baktérií žije v každom čitateľovi týchto riadkov v slepom čreve.

Trilión (10 12) je číslo, ktoré sa používa len zriedka. Nedá sa narátať do bilióna, bude to trvať 32 tisíc rokov. Pred biliónom sekúnd ľudia žili v jaskyniach a oštepmi lovili mamuty. Áno, pred biliónom sekúnd žili na Zemi mamuty. V oceánoch planéty je asi bilión rýb. Naša susedná galaxia Andromeda obsahuje asi bilión hviezd. Človek sa skladá z 10 biliónov buniek. HDP Ruska v roku 2013 predstavoval 66 biliónov rubľov (v roku 2013 rubľov). Od Zeme po Saturn bolo celkovo vytlačených 100 biliónov centimetrov a rovnaký počet písmen vo všetkých knihách, ktoré kedy vyšli.
Kvadrilión (10 15, jeden milión miliárd) je celkový počet mravcov na planéte. Normálni ľudia toto slovo nahlas nevyslovujú, no uznajte, kedy ste naposledy v rozhovore počuli „kvadrilión niečoho“?
Quintillion (10 18, miliardy miliárd) - toľko možných konfigurácií existuje pri zostavovaní Rubikovej kocky 3x3x3. Rovnako aj počet kubických metrov vody vo svetových oceánoch.
Sextilion (10 21) - s týmto číslom sme sa už stretli. Počet hviezd v pozorovateľnom vesmíre. Počet zrniek piesku vo všetkých púšťach Zeme. Počet tranzistorov vo všetkých existujúcich elektronických zariadeniach ľudstva, ak nám Intel neklamal.
10 sextilion (10 22) je počet molekúl v grame vody.
10 24 je hmotnosť Zeme v kilogramoch.
10 26 - priemer pozorovateľného vesmíru v metroch, ale nie je veľmi vhodné počítať v metroch, všeobecne akceptované hranice pozorovateľného vesmíru sú 93 miliárd svetelných rokov.

Veda nepracuje s rozmermi väčšími ako pozorovateľný vesmír. S istotou vieme, že pozorovateľný vesmír nie je celok-všetko-celý vesmír. Toto je časť, ktorú aspoň teoreticky môžeme vidieť a pozorovať. Alebo možno videli v minulosti. Alebo môžeme vidieť niekedy v ďalekej budúcnosti, zostávajúcu v rámci modernej vedy. Zo zvyšku Vesmíru sa k nám signály ani rýchlosťou svetla nedostanú, čím tieto miesta z nášho pohľadu akoby neexistovali. Aký veľký je ten veľký vesmír v skutočnosti Nikto nevie. Možno miliónkrát viac ako Foreseeable. Alebo možno miliardu. Alebo možno dokonca nekonečné. Hovorím, to už nie je veda, ale dohady na kávovej usadenine. Vedci majú určité odhady, ale toto je skôr fantázia ako realita.
Na vizualizáciu kozmických mierok je užitočné študovať tento obrázok tak, že ho roztiahnete na celú obrazovku.

Avšak aj v Pozorovateľnom vesmíre môžete vtesnať oveľa viac niečoho iného ako metrov.
1051 atómov tvorí planétu Zem.
10 80 približný počet elementárnych častíc v pozorovateľnom vesmíre.
10 90 je približný počet fotónov v pozorovateľnom vesmíre. Je ich takmer 10 miliárd krát viac ako elementárnych častíc, elektrónov a protónov.
10 100 - googol. Toto číslo fyzicky nič neznamená, len okrúhle a krásne. Spoločnosť, ktorá si dala za cieľ indexovať odkazy Google (samozrejme vtip, je to viac ako počet elementárnych častíc vo vesmíre!), v roku 1998 prijala názov Google.
Na naplnenie pozorovateľného vesmíru až po očné buľvy bude potrebných 10 122 protónov, presne takto, protón k protónu, chrbtom k sebe.
10 185 Planckových zväzkov zaberá Pozorovateľný vesmír. Menej ako Planckov objem (kocka s Planckovou dĺžkou 10-35 metrov) naša veda nepozná. Iste, rovnako ako vo vesmíre, je tam niečo ešte menšie, ale vedci zatiaľ neprišli na rozumné vzorce pre takéto maličkosti, sú to len čisté špekulácie.

Ukazuje sa, že približne 10 185 je najväčšie číslo, ktoré v princípe môže v modernej vede niečo znamenať. Vo vede, ktorá dokáže cítiť a merať. Je to niečo, čo existuje alebo by mohlo existovať, ak by sa tak stalo, že by sme o vesmíre vedeli všetko. Číslo pozostáva zo 186 číslic, tu je:
100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Veda tu, samozrejme, nekončí, ale potom pokračujú voľné teórie, dohady a dokonca aj len pseudovedecké šachy a vyjazdené koľaje. Napríklad ste pravdepodobne počuli o inflačnej teórii, podľa ktorej je náš vesmír možno len časťou väčšieho Multivesmíru, v ktorom sú tieto vesmíry ako bubliny v oceáne šampanského.

Alebo počuli o teórii strún, podľa ktorej môže existovať asi 10 500 konfigurácií vibrácií strún, čo znamená rovnaký počet potenciálnych vesmírov, z ktorých každý má svoje vlastné zákony.

Čím ďalej do lesa, tým menej teoretickej fyziky a vedy všeobecne zostáva v rastúcom počte a za stĺpcami núl začína nakúkať stále čistejšia, nezamračená kráľovná vied. Matematika nie je fyzika, nie sú tam obmedzenia a nie je sa za čo hanbiť, choď, duša, píš nuly do vzorcov aj kým nepadneš.
Spomeniem len známe googolplex. Číslo, ktoré má googol číslic, desať na mocninu googolu (10 googol) alebo desať na mocninu desať na sto (10 10 100).
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Nebudem to zapisovať do čísel. Googleplex neznamená absolútne nič. Človek si nevie predstaviť googolplex čohokoľvek, je to fyzicky nemožné. Na zapísanie takéhoto čísla budete potrebovať celý pozorovateľný vesmír, ak budete písať „nano-perom“ priamo vo vákuu, vlastne v Planckových bunkách kozmu. Preložme všetku hmotu na atrament a naplňme vesmír jedným plným číslom, potom dostaneme googolplex. Ale matematici (strašní ľudia!) sa vyhrievajú len pri googolprexe, to je najnižšia priečka, z ktorej pre nich začínajú poriadni eštebáci. A ak si myslíte, že googolplex v rozsahu googolplex je to, o čom hovoríme, nemáte ani poňatia, AKO sa mýli.

Za googolplexom je veľa zaujímavých čísel, ktoré majú v matematických dôkazoch takú alebo onakú úlohu, dlhé krátke, poďme rovno ku Grahamovmu číslu, pomenovanému po (no, samozrejme) matematikovi Ronaldovi Grahamovi. Najprv vám poviem, čo to je a prečo to potrebujete, potom obrazne a na prstoch™ Popíšem, čo to je vo veľkosti, a potom napíšem samotné číslo. Presnejšie, pokúsim sa vysvetliť, čo som napísal.

Grahamovo číslo sa objavilo v práci venovanej riešeniu jedného z problémov Ramseyho teórie a „Ramsey“ tu nie je nedokonalé príčastie, ale priezvisko iného matematika Franka Ramseyho. Úloha je, samozrejme, z filistínskeho hľadiska dosť pritiahnutá, aj keď nie veľmi zmätená, dokonca ľahko pochopiteľná.
Predstavte si kocku, ktorej všetky vrcholy sú spojené čiarami-úsečkami dvoch farieb, červenej alebo modrej. Pripojené a zafarbené náhodne. Niektorí už tušili, že sa budeme baviť o odbore matematiky zvanom kombinatorika.

Podarí sa nám vymyslieť a zvoliť konfiguráciu farieb tak (a sú len dve - červená a modrá), aby pri vyfarbovaní týchto segmentov NEVYŠLO, že sa spoja všetky segmenty rovnakej farby štyri vrcholy ležia v tej istej rovine? V tomto prípade nepredstavujú takýto údaj:

Ani nezačnem vysvetľovať, čo je štvorrozmerná kocka, každý vie? Štvorrozmerná kocka má 16 vrcholov. A netreba si nafukovať mozog a snažiť sa predstaviť si štvorrozmernú kocku. Toto je čistá matematika. Pozrel som sa na počet dimenzií, dosadil som ho do vzorca, dostal som počet vrcholov, hrán, plôch atď. No, alebo nakuknite na Wikipédiu, ak si nepamätáte vzorec. Štvorrozmerná kocka má teda 16 vrcholov a 120 segmentov, ktoré ich spájajú. Počet farebných kombinácií v štvorrozmernom prípade je oveľa väčší ako v trojrozmernom, ale ani tu nie je veľmi ťažké vypočítať, rozdeliť, zmenšiť a podobne. Skrátka zistite, že v štvorrozmernom priestore sa dá vymyslieť aj s vyfarbením segmentov hyperkocky tak, že všetky čiary rovnakej farby spájajúce 4 vrcholy nebudú ležať v rovnakej rovine.
V piatich dimenziách? A v päťrozmernom, kde sa kocka nazýva penterakt alebo pentakub, je to tiež možné.
A to v šiestich rozmeroch.
A potom sú tu ťažkosti. Graham nedokázal matematicky dokázať, že by sedemrozmerná hyperkocka mohla vykonať takúto operáciu. Aj osemrozmerné, aj deväťrozmerné a tak ďalej. Ukázalo sa však, že dané „a tak ďalej“ nejde do nekonečna, ale končí nejakým veľmi veľkým číslom, ktoré sa nazývalo „Grahamovo číslo“.
To znamená, že existuje minimálny rozmer hyperkocka, pri ktorej je podmienka porušená a už nie je možné vyhnúť sa kombinácii vyfarbovacích segmentov tak, že štyri body rovnakej farby budú ležať v rovnakej rovine. A tento minimálny rozmer je presne väčší ako šesť a presne menší ako Grahamovo číslo, to je matematický dôkaz vedca.

A teraz definícia toho, čo som opísal vyššie v niekoľkých odsekoch, suchým a nudným (ale objemným) jazykom matematiky. Nie je potrebné to pochopiť, ale nemôžem to nepriniesť.
Zvážte n-rozmernú hyperkocku a spojte všetky dvojice vrcholov, aby ste získali úplný graf s 2n vrcholmi. Vyfarbite každý okraj tohto grafu buď červenou alebo modrou. Aká je najmenšia hodnota n, pre ktorú každé takéto sfarbenie nevyhnutne obsahuje jednofarebný úplný podgraf so štyrmi vrcholmi, ktoré všetky ležia v rovnakej rovine?

V roku 1971 Graham dokázal, že tento problém má riešenie a že toto riešenie (počet rozmerov) leží medzi číslom 6 a nejakým väčším číslom, ktoré bolo neskôr (nie samotným autorom) pomenované po ňom. V roku 2008 bol dôkaz vylepšený, spodná hranica bola zvýšená, teraz požadovaný počet rozmerov leží už medzi číslom 13 a Grahamovým číslom. Matematici nespia, práca pokračuje, záber sa zužuje.
Od 70. rokov uplynulo veľa rokov, našli sa matematické problémy, v ktorých sa objavujú čísla a ďalšie Grahamove čísla, ale toto prvé monštrum číslo tak zapôsobilo na súčasníkov, ktorí pochopili, o akú stupnicu ide, že v roku 1980 bolo zaradené do Guinessovej knihy rekordov ako „ najväčší počet, aký bol kedy zapojený do prísneho matematického dôkazu“ v tom čase.

Skúsme zistiť, aký je veľký. Najväčšie číslo, ktoré môže mať nejaký fyzikálny význam, je 10 185, a ak je celý Pozorovateľný vesmír vyplnený zdanlivo nekonečnou množinou malých čísel, dostaneme niečo zodpovedajúce googolplex.

Viete si predstaviť túto komunitu? Dopredu, dozadu, hore, dole, kam až oko dovidí a kam až Hubbleov teleskop dovidí, ba až tak ďaleko, až to nestačí, do najvzdialenejších galaxií a pozerať sa za ne - čísla, čísla, čísla. menšie ako protón. Takýto vesmír, samozrejme, nebude môcť dlho existovať, okamžite sa zrúti do čiernej diery. Pamätáte si, koľko informácií sa teoreticky zmestí do vesmíru? Povedal som.

To číslo je naozaj obrovské, láme mozog. Nie je to presne rovnaké ako googolplex a nemá to meno, takže to nazvem " dohulion". Práve som prišiel na to, prečo nie. Počet Planckových buniek v pozorovateľnom vesmíre a každá bunka obsahuje číslo. Číslo obsahuje 10 185 číslic, možno ho reprezentovať ako 10 10 185."
dochulion = 10 10 185
Otvorme dvere vnímania trochu širšie. Pamätáte si teóriu inflácie? Že náš vesmír je len jednou z mnohých bublín v Multivesmíre. A ak si predstavíte dohulion také bublinky? Zoberme si číslo tak dlho, ako je všetko, čo existuje, a predstavme si Multivesmír s podobným počtom vesmírov, z ktorých každý je naplnený číslami do očí – dostaneme dochulion dochulion. Viete si to predstaviť? Ako sa vznášate v neexistencii skalárneho poľa a všade naokolo sú vesmíry-vesmíry a v nich čísla-čísla-čísla ... Dúfam, že takáto nočná mora (aj keď, prečo nočná mora?) nebude mučiť (a načo mučiť?) v noci príliš ovplyvniteľný čitateľ.

Pre pohodlie nazývame takúto operáciu " prevrátiť"Také frivolné citoslovce, ako keby vzali Vesmír a obrátili ho naruby, potom to bolo vnútri v číslach a teraz naopak máme vonku toľko vesmírov, koľko bolo čísel a každá krabica je plná- plné, všetko do počtu.Ako granátové jablko, očistíš, kôrku tak ohneš, zrnká sa zvnútra vyvrátia a granáty sú zase v zrnách. dochulion lebo sa to valilo.
Na čo narážam? Oplatí sa spomaliť? Poď, hoba, a ešte jeden prevrátiť! A teraz máme toľko vesmírov, koľko bolo číslic vo vesmíroch, ktorých počet sa rovnal dochulionu číslic, ktoré vypĺňali náš vesmír. A okamžite, bez zastavenia, znova preklopte. Aj štvrtá, aj piata. Desiaty, tisícy. Držte krok s myšlienkou, stále si predstavujete obrázok?

Nestrácajme čas maličkosťami, rozťahujme krídla fantázie, zrýchlime naplno a preklopme flip flips. Každý vesmír obraciame naruby toľkokrát, koľkokrát bolo vesmírov pred Hulionom v predchádzajúcom preklopení, ktoré sa prevrátilo z toho predposledného, ktorý... uh... sledujete? Niekde tak. Nech sa teraz naše číslo stane, predpokladajme, " dochouliard".
dohouliard = flip flips
Neprestávame a neprestávame prevracať dohuliony dohouliardov, pokiaľ máme silu. Až sa zatmie v očiach, až sa vám bude chcieť kričať. Tu je každý odvážny Pinocchio sám za seba, stop slovo bude „brynza“.
Takže. O čo vlastne ide? Obrovské a nekonečné dochuliony flipov a dohouliardov vesmírov plných číslic sa Grahamovmu číslu nevyrovnajú. Dokonca ani nepoškriabu povrch. Ak je Grahamovo číslo prezentované vo forme palice, tradične natiahnutej po celom pozorovateľnom vesmíre, potom čo sme tu s vami prevrátený Ukázalo sa, že je to zárez hrúbky ... no ... ako by to bolo, mierne povedané ... nehodné zmienky. Tu som to zjemnil, ako som vedel.

Teraz trochu odbočíme, dáme si pauzu. Čítali sme, počítali, naše oči boli unavené. Zabudnime na Grahamovo číslo, musíme sa pred ním stále plaziť a plaziť, rozostrovať zrak, relaxovať, meditovať nad oveľa menším, priam miniatúrnym číslom, ktoré nazveme g 1 a zapíšeme si ho len so šiestimi znakmi:
g1 = 33
Číslo g 1 sa rovná "tri, štyri šípky, tri". Čo to znamená? Takto vyzerá zápis, nazývaný Knuthov šípkový zápis.
Podrobnosti a podrobnosti si môžete prečítať v článku na Wikipédii, ale existujú vzorce, stručne to prerozprávam jednoducho povedané. Jedna šípka znamená obyčajné umocnenie.
22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000

Dve šípky, pochopiteľne, znamenajú umocnenie.
23 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16
33 = 333 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987 (viac ako 7 biliónov)
34 = 3333 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = číslo s približne 3 biliónmi číslic

Stručne povedané, „číselná šípka iné číslo“ ukazuje, aká je výška stupňov (matematici hovoria „ veža") je zostavený z prvého čísla. Napríklad 58 znamená vežu z ôsmich pätiek a je taká veľká, že sa nedá vypočítať na žiadnom superpočítači, dokonca ani na všetkých počítačoch na planéte súčasne.
5 5 5 5 5 5 5 5
Prejdime k trom šípkam. Ak by dvojitá šípka ukazovala výšku veže v stupňoch, potom by sa zdalo, že trojitá ukazuje „výšku veže výšky veže“? Čo tam! V prípade trojky máme výšku veže výška veže výška veže (v matematike taký pojem neexistuje, rozhodol som sa to nazvať „ nerozvážne"). Niečo také:

To znamená, že 33 tvorí bezvežové trojičky, vysoké 7 biliónov kusov. Čo je 7 biliónov trojíc naskladaných na sebe a nazývaných „bezvežové“? Ak ste pozorne čítali tento text a nezaspali ste hneď na začiatku, pravdepodobne si pamätáte, že od Zeme po Saturn je 100 biliónov centimetrov. Trojka zobrazená na obrazovke dvanástym písmom, táto - 3 - je vysoká päť milimetrov. Takže bezvežové trojičky sa roztiahnu z vašej obrazovky... no, samozrejme, nie k Saturnu. Ani Slnko nedosiahne, len štvrtinu astronomickej jednotky, približne rovnako ako zo Zeme na Mars za dobrého počasia. Upozorňujem (nespite!), že bezvežový nie je číslo od Zeme po Mars veža stupňov taká vysoká. Pamätáme si, že päť trojíc v tejto veži pokrýva googolplex, výpočet prvého decimetra trojíc spáli všetky poistky počítačov planéty a zvyšné milióny kilometrov stupňov sú už zbytočné, jednoducho sa čitateľovi otvorene vysmievajú, je to je zbytočné ich počítať.

Teraz je jasné, že 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 bezvežové, (nie 3 do stupňa bezveže, ale „tri šípy šíp bezveže“ (!)), ona bezvežová bezvežová ani na dĺžku, ani na výšku sa nezmestia do Pozorovateľného vesmíru a nezmestia sa ani do navrhovaného Multivesmíru.
Slová končia na 35 = 33333 a citoslovcia na 36 = 333333, ale ak máte záujem, môžete si to precvičiť.

Prejdime k štyrom šípkam. Ako ste možno uhádli, tu veža sedí na veži, jazdí bez veže a dokonca aj s vežou, ktorá bez veže na tom nezáleží. Len potichu dám obrázok, ktorý prezrádza schému výpočtu štyroch šípok, keď každé ďalšie číslo veže stupňov určuje výšku veže stupňov, ktoré určuje výšku veže stupňov, určuje výšku veža stupňov ... a tak ďalej až do zabudnutia na seba.

Je zbytočné to počítať a nebude to fungovať. Počet stupňov tu nie je vhodný na zmysluplné účtovanie. Toto číslo sa nedá predstaviť, nedá sa opísať. Žiadne analógie na prstoch™ nie sú použiteľné, číslo jednoducho nemá s čím porovnávať. Môžeme povedať, že je obrovský, že je grandiózny, že je monumentálny a pozerá sa za horizont udalostí. Teda dať tomu nejaké slovné epitetá. Ale vizualizácia, dokonca aj voľná a obrazná, je nemožná. Ak pomocou troch šípok bolo stále možné povedať aspoň niečo, nakresliť bezvežového zo Zeme na Mars, nejako s niečím porovnať, potom jednoducho nemôžu existovať analógie.
Teraz, od g 1, s novou silou sa vrátime k útoku na Grahamovo číslo. Všimli ste si, ako eskalácia rastie od šípky k šípke?
33 = 27
33 = 7 625 597 484 987
33 = veža, zo Zeme na Mars.
33 = číslo, ktoré si nemožno predstaviť ani opísať.

A predstavte si, aká digitálna nočná mora sa deje, keď má strelec päť rokov? Kedy je šesť? Viete si predstaviť číslo, keď bude strelca sto? Ak môžete, dovoľte mi, aby som vám dal do pozornosti číslo g 2 , v ktorom sa počet týchto šípok rovná g 1 . Pamätajte si, čo je g 1, však?

Všetko, čo bolo doteraz napísané, všetky tieto výpočty, stupne a veže, ktoré sa nehodia do multivesmírov multivesmírov, boli potrebné len pre jedného. Ak chcete zobraziť POČET ŠÍPOK v čísle g 2 . Nie je potrebné nič počítať, môžete sa len smiať a mávnuť rukou.
Nebudem skrývať, existuje aj g 3 , ktorý obsahuje g 2 šípky. Mimochodom, je ešte jasné, že g 3 nie je g 2 "na silu" g 2 , ale počet bezvežových veží, ktoré určujú výšku bezvežových veží, ktoré určujú výšku ... a tak ďalej celý reťazec až do tepelnej smrti vesmíru? Tu začnete plakať.

Prečo plačeš? Pretože úplná pravda. Existuje aj číslo g 4 , ktoré obsahuje g 3 šípky medzi trojicami. Existuje tiež g 5 , existuje g 6 a g 7 a g 17 a g 43 ...
Stručne povedané, existuje 64 týchto g. Každá predchádzajúca sa číselne rovná počtu šípok v nasledujúcej. Posledné g 64 je Grahamovo číslo, od ktorého sa všetko začalo tak nevinne. To je počet rozmerov hyperkocky, ktorý bude určite stačiť na správne vyfarbenie segmentov na červenú a modrú. Možno menej, to je takpovediac horná hranica. Píše sa takto:
a napíš to takto:

Všetko, teraz môžete úprimne relaxovať. Už nie je potrebné nič vymýšľať a počítať. Ak ste dočítali až sem, všetko by už malo zapadnúť. Alebo nevstávaj. Alebo nie sami od seba.

Ale viete, existuje taká teória, tiež veľmi efemérna a filozofická, možno ste už počuli - všetko, čo si človek dokáže predstaviť alebo predstaviť, sa určite raz splní. Pretože vývoj civilizácie je určený tým, do akej miery dokázala previesť fantázie minulosti do reality.

Nikto nevie, čo nás čaká v budúcnosti. Ľudská civilizácia má tisíc spôsobov, ako skončiť: jadrové vojny, ekologické katastrofy, smrteľné pandémie, aký druh asteroidu môže priletieť, dinosaury vás nenechajú klamať. Ale príroda má jeden neotrasiteľný zákon, známy nám už od najstaršieho staroveku. Čokoľvek sa stane, čokoľvek sa stane, čokoľvek si o sebe myslíme, ale čas nikam nepôjde, prejde. Či chceme alebo nie, s nami alebo bez nás, uplynie tisíc a 10 tisíc rokov.

Čo ak uplynie milión rokov? Ale pôjde tam, kam pôjde. Grahamovo číslo a vôbec všetko, o čom je človek schopný premýšľať, predstaviť si, vytrhnúť z neexistencie a urobiť z toho síce nie hmatateľnú, ale aspoň entitu, ktorá má nejaký význam, sa určite skôr či neskôr splní. Jednoducho preto, že dnes sme mali silu sa rozvinúť k schopnosti si to uvedomiť.

Dnes, zajtra, keď je príležitosť - hoď hlavu späť na nočnú oblohu. Pamätáte si ten moment, keď ste pocítili vlastnú bezvýznamnosť? Cítiš, aký je človek maličký? Zrnko prachu, atóm v porovnaní s obrovským vesmírom, ktorý je plný hviezd, ktorých nie sú čísla, no a priepasť, respektíve, tiež nie je malá.

Skúste nabudúce precítiť, nakoľko je Vesmír zrnkom piesku v porovnaní s tým, čo sa deje vo vašej hlave. Aká priepasť sa otvára, aké nezmerné pojmy sa rodia, aké svety sa stavajú, ako sa vesmír prevracia naruby jediným myšlienkovým pohybom, ako a ako veľmi sa živá, inteligentná hmota líši od mŕtvej a nerozumnej.

Verím, že po nejakom čase človek siahne po Grahamovom čísle, dotkne sa ho rukou, alebo čohokoľvek, čo dovtedy bude mať namiesto ruky. Toto nie je podložená, vedecky dokázaná myšlienka, toto je naozaj len nádej, niečo, čo ma inšpiruje. Nie viera s veľkým písmenom, nie náboženská extáza, nie učenie a nie duchovná prax. Toto očakávam od ľudstva. V čom sa snažím, ako najlepšie viem, pomáhať. Aj keď z opatrnosti sa naďalej zaraďujem k agnostikom.

Najväčšia matematická konštanta
Je ťažké správne znázorniť Infinity bez toho, aby ste najprv neuviedli skutočne veľké čísla. Nehovorím o maličkých číslach, ktoré sa blížia k nule, ako je počet atómov vo vesmíre alebo počet rokov, ktoré opici potrebuje na kopírovanie Shakespearových diel. Pozývam vás, aby ste zvážili to, čo bolo okolo roku 1977 najväčšie číslo, aké sa kedy použilo pri serióznom matematickom dôkaze. Tento dôkaz od Ronalda Grahama poskytuje hornú hranicu odpovedí na určitú otázku v Ramseyho teórii. Aby sme pochopili dôkaz, musíme zaviesť nový koncept z práce Donalda Knutha „štúdium konečných čísel“. Tento pojem je zvyčajne označený malou šípkou smerujúcou nahor, ktorú tu označíme ako ^

3^3 = 3 * 3 * 3 = 27. Toto číslo je dosť malé na to, aby sme si to vedeli predstaviť.

3^^3 = 3^(3^3) = 3^27 = 7 625 597 484 987. Viac ako 27, ale dosť malý na to, aby som ho vytlačil. Sedem biliónov si nikto nevie predstaviť, ale toto číslo, ktoré v poradí zhruba zodpovedá objemu HDP, ľahko pochopíme.

3^^^3 = 3^^(3^^3) = 3^(3^(3^(3^...^(3^3)...))). Interval „...“ pozostáva zo 7 625 597 484 987 trojíc. Inými slovami, 3^^^3 alebo šípka (3, 3, 3) je exponenciálna veža trojíc vysoká 7 625 597 484 987 úrovní. Toto číslo sa vymyká ľudskej predstave, ale postup pri jeho vytváraní sa dá vizualizovať. Vezmime si x=1. Nastavte x na 3^x. Opakujte to sedem biliónkrát. Aj keď najviac skoré štádia z tohto počtu sú príliš veľké na to, aby ich bolo možné obsiahnuť v celom vesmíre, samotná exponenciálna veža, zapísaná ako "3^3^3^3...^3" je dostatočne malá na to, aby ju mohol obsiahnuť moderný superpočítač.

3^^^^3 = 3^^^(3^^^3) = 3^^(3^^(3^^...^^(3^^3)...)). Počet aj postup pri jeho vytváraní sú dnes nad ľudskú schopnosť reprezentovať, hoci postup možno pochopiť. Vezmite x=1. Priraďte x hodnotu exponenciálnej veže dĺžky x. Opakujte to 3^^^3 krát, čo sa rovná exponenciálnej veži siedmich biliónov trojnásobkov.

A v dôsledku toho, slovami Martina Gardnera, "3^^^^3 je nepredstaviteľne väčšie ako 3^^^3, ale stále je to malé, pretože väčšina konečných čísel je väčšia."

A potom Grahamovo číslo. Nech sa x rovná 3^^^^^3, nepredstaviteľne veľkému číslu opísanému vyššie. Potom x priraďte hodnotu 3^^^^^^^(x šípka)^^^^^^^3. Urobte to isté znova, ale namiesto x nahraďte (3^^^^^^^(šípka x)^^^^^^^^3) Toto zopakujte 63-krát alebo 64-krát, berúc do úvahy počiatočnú sekvenciu 3^^ ^^^3.

Grahamovo číslo je ďaleko za hranicou mojich schopností pochopiť. Viem to opísať, ale nerozumiem tomu správne. (Možno to Graham zvládne, keďže pomocou toho napísal matematický dôkaz.) Toto číslo je oveľa väčšie ako predstava nekonečna u väčšiny ľudí. Viem, že to bolo viac ako moja fantázia.

Skutočnou odpoveďou na Ramseyho problém, z ktorého vzniklo toto číslo ako horná hranica, bolo pravdepodobne číslo 6.

P.s. Okrem poverčivého hororu mi z tohto čísla vznikol malý vtip: Onotole Wasserman ľahko odmocní Grahamovo číslo za pár sekúnd.

Existujú čísla, ktoré sú tak neuveriteľne, neuveriteľne veľké, že ich zapísanie by trvalo celému vesmíru. Ale tu je to, čo je skutočne šialené... niektoré z týchto nepochopiteľne veľkých čísel sú mimoriadne dôležité pre pochopenie sveta.

Keď hovorím „najväčšie číslo vo vesmíre“, myslím tým naozaj najväčšie významnýčíslo, maximálny možný počet, ktorý je nejakým spôsobom užitočný. O tento titul sa uchádza veľa, ale hneď vás varujem: skutočne existuje riziko, že snaha pochopiť toto všetko vám vyrazí z hlavy. A okrem toho, s príliš veľkým množstvom matematiky sa málo zabavíte.

Googol a googolplex

Edward Kasner

Mohli by sme začať s dvoma, veľmi pravdepodobne najväčšími číslami, o akých ste kedy počuli, a toto sú skutočne dve najväčšie čísla, ktoré majú bežne akceptované definície v anglický jazyk. (Existuje pomerne presná nomenklatúra používaná pre čísla tak veľké, ako by ste chceli, ale tieto dve čísla sa momentálne v slovníkoch nenachádzajú.) Google, keďže sa stal svetoznámym (aj keď s chybami, pozn. v skutočnosti je to googol) v r. forma Google sa zrodila v roku 1920 ako spôsob, ako vzbudiť u detí záujem o veľké čísla.

Za týmto účelom vzal Edward Kasner (na obrázku) svojich dvoch synovcov, Miltona a Edwina Sirottových, na turné po New Jersey Palisades. Vyzval ich, aby prišli s akýmikoľvek nápadmi, a potom deväťročný Milton navrhol „googol“. Odkiaľ má toto slovo, nie je známe, no rozhodol sa tak Kasner alebo číslo, v ktorom sto núl nasleduje za jednotkou, sa odteraz bude nazývať googol.

Mladý Milton však nezostal len pri tom, prišiel s ešte väčším číslom, googolplexom. Podľa Miltona je to číslo, ktoré má najskôr 1 a potom toľko núl, koľko dokážete napísať, kým sa unaví. Hoci je táto myšlienka fascinujúca, Kasner cítil, že je potrebná formálnejšia definícia. Ako vysvetlil vo svojej knihe z roku 1940 Mathematics and the Imagination, Miltonova definícia ponecháva otvorenú nebezpečnú možnosť, že príležitostný blázon sa môže stať matematikom lepším ako Albert Einstein jednoducho preto, že má väčšiu výdrž.

Kasner sa teda rozhodol, že googolplex bude , alebo 1, po ktorom bude nasledovať googol núl. V opačnom prípade a v podobnom zápise, akým sa budeme zaoberať inými číslami, povieme, že googolplex je . Aby ukázal, aké je to fascinujúce, Carl Sagan raz poznamenal, že je fyzicky nemožné zapísať všetky nuly googolplexu, pretože vo vesmíre jednoducho nebolo dosť miesta. Ak je celý objem pozorovateľného vesmíru vyplnený jemnými prachovými časticami s veľkosťou približne 1,5 mikrónu, potom počet rôznymi spôsobmi umiestnenie týchto častíc sa bude približne rovnať jednému googolplexu.

Z lingvistického hľadiska sú googol a googolplex pravdepodobne dve najväčšie významné čísla (aspoň v angličtine), ale ako teraz zistíme, existuje nekonečne veľa spôsobov, ako definovať „význam“.

Reálny svet

Ak hovoríme o najväčšom významnom čísle, existuje rozumný argument, že to skutočne znamená, že musíte nájsť najväčšie číslo s hodnotou, ktorá skutočne existuje na svete. Začať môžeme súčasnou ľudskou populáciou, ktorá je momentálne okolo 6920 miliónov. Svetový HDP v roku 2010 sa odhadoval na približne 61 960 miliárd dolárov, ale obe tieto čísla sú malé v porovnaní so zhruba 100 biliónmi buniek, ktoré tvoria ľudské telo. Samozrejme, žiadne z týchto čísel sa nedá porovnať s celkovým počtom častíc vo vesmíre, ktorý sa zvyčajne považuje za približne , a toto číslo je také veľké, že náš jazyk na to nemá slovo.

Môžeme sa trochu pohrať s meracími systémami, čím budú čísla väčšie a väčšie. Hmotnosť Slnka v tonách bude teda menšia ako v librách. Skvelý spôsob, ako to urobiť, je použiť jednotky Planck, ktoré sú najmenšie možné opatrenia, pre ktoré ostávajú v platnosti fyzikálne zákony. Napríklad vek vesmíru v Planckovom čase je približne . Ak sa vrátime k prvej Planckovej časovej jednotke po Veľkom tresku, uvidíme, že hustota vesmíru bola vtedy . Je nás stále viac a viac, no ešte sme nedosiahli ani googol.

Najväčšie číslo s akoukoľvek aplikáciou v reálnom svete – alebo v tomto prípade s aplikáciou v reálnom svete – je pravdepodobne jedným z najnovších odhadov počtu vesmírov v multivesmíre. Toto číslo je také veľké, že ľudský mozog doslova nebude schopný vnímať všetky tieto rozdielne vesmíry, pretože mozog je schopný len približných konfigurácií. V skutočnosti je toto číslo pravdepodobne najväčšie číslo s praktickým významom, ak neberiete do úvahy myšlienku multivesmíru ako celku. Stále tam však číhajú oveľa väčšie čísla. Aby sme ich však našli, musíme ísť do sféry čistej matematiky a nie je lepšie začať ako prvočísla.

Mersenne prvočísla

Časť ťažkostí je prísť na to dobrá definíciačo je "významné" číslo. Jedným zo spôsobov je myslieť v termínoch prvočísel a zložených. Prvočíslo, ako si určite pamätáte zo školskej matematiky, je akékoľvek prirodzené číslo(pozn. nerovná sa jednému), ktorý je deliteľný len sám sebou. Takže a sú prvočísla a a sú zložené čísla. To znamená, že akékoľvek zložené číslo môže byť nakoniec reprezentované jeho prvotriednymi deliteľmi. V istom zmysle je číslo dôležitejšie ako, povedzme, pretože neexistuje spôsob, ako ho vyjadriť v súčine menších čísel.

Je jasné, že môžeme ísť ešte o kúsok ďalej. , napríklad, je vlastne len , čo znamená, že v hypotetickom svete, kde sú naše znalosti o číslach obmedzené na , môže matematik ešte vyjadriť . Ale ďalšie číslo je už prvočíslo, čo znamená, že jediný spôsob, ako ho vyjadriť, je priamo vedieť o jeho existencii. To znamená, že najväčšie známe prvočísla hrajú dôležitú úlohu, ale, povedzme, googol - ktorý je v konečnom dôsledku len zbierkou čísel a násobených dohromady - v skutočnosti nie. A keďže prvočísla sú väčšinou náhodné, nie je známy spôsob, ako predpovedať, že neuveriteľne veľké číslo bude v skutočnosti prvočíslo. Dodnes je objavovanie nových prvočísel neľahkou úlohou.

Matematici starovekého Grécka mali koncepciu prvočísel prinajmenšom už v roku 500 pred Kristom a o 2000 rokov neskôr ľudia stále vedeli, aké prvočísla sú, až okolo 750. Euklidovi myslitelia videli možnosť zjednodušenia, ale kým renesanční matematici nedokázali v praxi to naozaj nepoužívam. Tieto čísla sú známe ako Mersennove čísla a sú pomenované po francúzskej vedkyni zo 17. storočia Marina Mersenne. Myšlienka je celkom jednoduchá: Mersennove číslo je ľubovoľné číslo tvaru . Takže napríklad a toto číslo je prvočíslo, to isté platí pre .

Mersennove prvočísla sa dajú určiť oveľa rýchlejšie a ľahšie ako ktorýkoľvek iný druh prvočísel a počítače ich už šesť desaťročí tvrdo hľadajú. Do roku 1952 bolo najväčším známym prvočíslom číslo – číslo s číslicami. V tom istom roku bolo na počítači vypočítané, že číslo je prvočíslo a toto číslo sa skladá z číslic, vďaka čomu je už oveľa väčšie ako googol.

Počítače sú odvtedy na love a Mersennove číslo je v súčasnosti najväčším prvočíslom, aké ľudstvo pozná. Bolo objavené v roku 2008 a je to číslo s takmer miliónmi číslic. Toto je najväčšie známe číslo, ktoré nemožno vyjadriť žiadnymi menšími číslami, a ak chcete pomôcť nájsť ešte väčšie Mersennove číslo, môžete sa vy (a váš počítač) vždy pripojiť k hľadaniu na http://www.mersenne. org/.

Skewes číslo

Stanley Skuse

Vráťme sa k prvočíslam. Ako som už povedal, správajú sa zásadne nesprávne, čo znamená, že neexistuje spôsob, ako predpovedať, aké bude ďalšie prvočíslo. Matematici boli nútení obrátiť sa na niektoré pomerne fantastické merania, aby prišli na nejaký spôsob, ako predpovedať budúce prvočísla, dokonca aj nejakým hmlistým spôsobom. Najúspešnejším z týchto pokusov je pravdepodobne funkcia prvočísla, ktorú vynašiel koncom 18. storočia legendárny matematik Carl Friedrich Gauss.

Ušetrím vás zložitejšej matematiky – každopádne máme toho ešte veľa pred sebou – ale podstata funkcie je takáto: pre akékoľvek celé číslo je možné odhadnúť, koľko prvočísel je menej ako . Napríklad, if , funkcia predpovedá, že by mali existovať prvočísla, if - prvočísla menšie ako a if , potom existujú menšie čísla, ktoré sú prvočísla.

Usporiadanie prvočísel je skutočne nepravidelné a je len približným skutočným počtom prvočísel. V skutočnosti vieme, že existujú prvočísla menšie ako , prvočísla menšie ako a prvé čísla menšie ako . Je to skvelý odhad, určite, ale vždy je to len odhad... a konkrétnejšie odhad zhora.

Vo všetkých známych prípadoch až do , funkcia, ktorá zistí počet prvočísel, mierne zveličuje skutočný počet prvočísiel nižších ako . Matematici si kedysi mysleli, že to tak bude vždy, ad infinitum, a že to určite platí pre niektoré nepredstaviteľne obrovské čísla, ale v roku 1914 John Edensor Littlewood dokázal, že pre nejaké neznáme, nepredstaviteľne obrovské číslo začne táto funkcia produkovať menej prvočísel, a potom sa bude nekonečne veľa krát prepínať medzi preceňovaním a podceňovaním.

Lov bol na miesto štartu pretekov a práve tam sa objavil Stanley Skuse (viď foto). V roku 1933 dokázal, že horná hranica, kedy funkcia, ktorá po prvýkrát aproximuje počet prvočísel, dáva menšiu hodnotu, je číslo. Je ťažké skutočne pochopiť, dokonca aj v tom najabstraktnejšom zmysle, čo toto číslo skutočne je, az tohto hľadiska to bolo najväčšie číslo, aké sa kedy použilo pri serióznom matematickom dôkaze. Odvtedy boli matematici schopní znížiť hornú hranicu na relatívne malé číslo, ale pôvodné číslo zostalo známe ako Skewesovo číslo.

Takže, aké veľké je číslo, vďaka ktorému je aj mocný googolplex trpaslík? V Tučniakovom slovníku zvedavých a zaujímavých čísel David Wells opisuje jeden spôsob, ktorým matematik Hardy dokázal pochopiť veľkosť Skewesovho čísla:

Hardy si myslel, že je to „najväčšie číslo, aké kedy poslúžilo na konkrétny účel v matematike“ a navrhol, že ak by sa šach hral so všetkými časticami vesmíru ako figúrkami, jeden ťah by pozostával z výmeny dvoch častíc a hra by sa zastavila, keď rovnaká pozícia sa zopakovala aj tretíkrát, potom by sa počet všetkých možných hier rovnal približne počtu Skuse''.

Ešte posledná vec, než pôjdeme ďalej: hovorili sme o menšom z dvoch Skewesových čísel. Existuje ďalšie Skewesovo číslo, ktoré matematik našiel v roku 1955. Prvé číslo je odvodené na základe toho, že takzvaná Riemannova hypotéza je pravdivá - obzvlášť náročná hypotéza v matematike, ktorá zostáva nedokázaná, veľmi užitočná, pokiaľ ide o prvočísla. Ak je však Riemannova hypotéza nepravdivá, Skewes zistil, že počiatočný bod skoku sa zvýši na .

Problém veľkosti

Predtým, ako sa dostaneme k číslu, pri ktorom aj Skuseho číslo vyzerá maličké, musíme sa trochu porozprávať o mierke, pretože inak nemáme spôsob, ako odhadnúť, kam ideme. Zoberme si najprv číslo – je to maličké číslo, také malé, že ľudia môžu skutočne intuitívne pochopiť, čo to znamená. Existuje len veľmi málo čísel, ktoré zodpovedajú tomuto popisu, pretože čísla väčšie ako šesť prestávajú byť samostatnými číslami a stávajú sa „niekoľko“, „veľa“ atď.

Teraz si vezmime , t.j. . Aj keď nevieme intuitívne, ako pri čísle , prísť na to, čo to je, predstaviť si, čo to je, je to veľmi jednoduché. Zatiaľ ide všetko dobre. Ale čo sa stane, ak pôjdeme do? Toto sa rovná , alebo . Sme veľmi ďaleko od toho, aby sme si túto hodnotu vedeli predstaviť, ako každú inú veľmi veľkú - strácame schopnosť porozumieť jednotlivým častiam niekde okolo milióna. (Pravdaže, šialené veľké množstvo Trvalo by čas, kým by sme skutočne napočítali do milióna čohokoľvek, ale ide o to, že toto číslo sme stále schopní vnímať.)

Avšak, aj keď si to nevieme predstaviť, sme schopní aspoň vo všeobecnosti pochopiť, čo je 7600 miliárd, možno tak, že to prirovnáme k HDP USA. Prešli sme od intuície k reprezentácii k obyčajnému porozumeniu, ale stále máme určitú medzeru v chápaní toho, čo je číslo. Toto sa čoskoro zmení, keď sa posunieme o jednu priečku nahor.

Aby sme to dosiahli, musíme prejsť na notáciu, ktorú zaviedol Donald Knuth, známu ako šípková notácia. Tieto zápisy možno zapísať ako . Keď potom prejdeme na , dostaneme číslo . To sa rovná tomu, kde je celkový počet trojíc. Teraz sme výrazne a skutočne prekonali všetky ostatné už spomenuté čísla. Veď aj ten najväčší z nich mal v indexovom rade len troch-štyroch členov. Napríklad aj Skuseho superčíslo je "iba" - aj keď základ aj exponenty sú oveľa väčšie ako , stále je to absolútne nič v porovnaní s veľkosťou číselnej veže s miliardami členov.

Je zrejmé, že neexistuje spôsob, ako pochopiť také obrovské čísla... a napriek tomu je stále možné pochopiť proces, ktorým sú vytvorené. Nevedeli sme pochopiť reálne číslo udávané vežou mocností, čo je miliarda trojnásobok, ale v podstate si vieme predstaviť takú vežu s mnohými členmi a naozaj slušný superpočítač bude vedieť takéto veže uložiť do pamäte, aj keď nemôže vypočítať ich skutočné hodnoty.

Je to čoraz abstraktnejšie, ale bude to len horšie. Možno si myslíte, že veža mocností, ktorej dĺžka exponentu je (navyše v predchádzajúcej verzii tohto príspevku som urobil presne tú chybu), ale je to len . Inými slovami, predstavte si, že máte schopnosť vypočítať presnú hodnotu trojitej veže, ktorá sa skladá z prvkov, a potom vezmete túto hodnotu a vytvoríte novú vežu s toľkými ... to dáva .

Opakujte tento postup s každým nasledujúcim číslom ( Poznámka začínajúc sprava), kým to neurobíte raz a potom nakoniec získate . Toto je číslo, ktoré je jednoducho neuveriteľne veľké, ale aspoň kroky na jeho získanie sa zdajú byť jasné, ak sa všetko robí veľmi pomaly. Číslam už nerozumieme, ani si nevieme predstaviť postup, akým sa získavajú, ale aspoň základný algoritmus pochopíme, až v dostatočne dlhom čase.

Teraz pripravme myseľ, aby to skutočne vyhodila do vzduchu.

Grahamovo (Grahamovo) číslo

Ronald Graham

Takto získate Grahamovo číslo, ktoré sa radí do Guinessovej knihy rekordov ako najväčšie číslo, aké sa kedy použilo pri matematickom dôkaze. Je absolútne nemožné si predstaviť, aký je veľký, a rovnako ťažké je presne vysvetliť, čo to je. V podstate sa Grahamovo číslo objavuje pri práci s hyperkockou, ktoré sú teoretické geometrické tvary s viac ako tromi rozmermi. Matematik Ronald Graham (pozri fotografiu) chcel zistiť, aký najmenší počet rozmerov by udržal určité vlastnosti hyperkocky stabilné. (Prepáčte za toto vágne vysvetlenie, ale som si istý, že všetci potrebujeme aspoň dva matematické tituly, aby to bolo presnejšie.)

V každom prípade je Grahamovo číslo horným odhadom tohto minimálneho počtu rozmerov. Aká veľká je teda táto horná hranica? Vráťme sa k číslu takému veľkému, že algoritmu na jeho získanie môžeme chápať dosť vágne. Teraz, namiesto toho, aby sme skočili o ďalšiu úroveň vyššie na , spočítame číslo, ktoré má šípky medzi prvou a poslednou trojicou. Teraz sme ďaleko za čo i len najmenším chápaním toho, čo toto číslo je, alebo dokonca toho, čo je potrebné urobiť na jeho výpočet.

Teraz opakujte tento proces niekoľkokrát ( Poznámka v každom ďalšom kroku zapíšeme počet šípok rovný počtu získanému v predchádzajúcom kroku).

Toto, dámy a páni, je Grahamovo číslo, ktoré je rádovo nad hranicou ľudského chápania. Je to číslo, ktoré je oveľa väčšie ako akékoľvek číslo, ktoré si dokážete predstaviť – je oveľa väčšie ako akékoľvek nekonečno, ktoré si kedy dokážete predstaviť – jednoducho sa vzpiera aj tým najabstraktnejším popisom.

Ale tu je tá zvláštna vec. Keďže Grahamovo číslo sú v podstate len trojice vynásobené dohromady, poznáme niektoré jeho vlastnosti bez toho, aby sme ich skutočne vypočítali. Grahamovo číslo nemôžeme znázorniť v žiadnom zápise, ktorý poznáme, aj keby sme na jeho zapísanie použili celý vesmír, ale môžem vám dať posledných dvanásť číslic Grahamovho čísla práve teraz: . A to nie je všetko: poznáme aspoň posledné číslice Grahamovho čísla.

Samozrejme, stojí za to pripomenúť, že toto číslo je iba hornou hranicou pôvodného Grahamovho problému. Je možné, že skutočný počet meraní potrebných na splnenie požadovanej vlastnosti je oveľa, oveľa menší. V skutočnosti od 80. rokov 20. storočia väčšina odborníkov v tejto oblasti verila, že v skutočnosti existuje iba šesť dimenzií - číslo také malé, že ho môžeme pochopiť na intuitívnej úrovni. Dolná hranica sa odvtedy zvýšila na , ale stále existuje veľmi dobrá šanca, že riešenie Grahamovho problému neleží blízko tak veľkému číslu ako Grahamovo.

Do nekonečna

Takže existujú čísla väčšie ako Grahamovo číslo? Samozrejme, na začiatok je tu Grahamovo číslo. Čo sa týka toho významného počtu... no, sú niektoré diabolsky ťažké oblasti matematiky (najmä oblasť známa ako kombinatorika) a informatiky, v ktorých sú čísla ešte väčšie ako Grahamovo číslo. Ale už sme takmer dosiahli hranicu toho, čo dúfam, že sa dá niekedy rozumne vysvetliť. Pre tých, ktorí sú dostatočne ľahkomyseľní, aby zašli ešte ďalej, je ponúkané ďalšie čítanie na vlastné riziko.

No, teraz úžasný citát, ktorý sa pripisuje Douglasovi Rayovi ( PoznámkaÚprimne povedané, znie to celkom vtipne:

"Vidím zhluky nejasných čísel číhajúcich tam v tme, za malým bodom svetla, ktorý dáva sviečka mysle. Šepkajú si medzi sebou; hovoriť kto vie o čom. Možno nás nemajú veľmi radi za to, že mysľou zachytávame ich malých bratov. Alebo možno len vedú jednoznačný numerický spôsob života, tam vonku, mimo nášho chápania.''