Ο αριθμός του Γκράχαμ και άλλοι αριθμοί. Ο μεγαλύτερος αριθμός ή "αριθμός γραμμαρίων" στα δάχτυλα Αριθμοί μεγαλύτεροι από τον αριθμό γραμμαρίων

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός στον κόσμο που σημαίνει κάτι; Σε αυτό το άρθρο, θα προσπαθήσω να μιλήσω για ένα ψηφιακό τέρας που ονομάζεται αριθμός Graham,

Γράφει το sly2m.livejournal.com

Πηγή:

Αν κοιτάς στην άβυσσο για πολλή ώρα, μπορείς να περάσεις καλά.
Μηχανολόγος Μηχανικός Ψυχής

Graham Number on Fingers™

Μόλις ένα παιδί (και αυτό συμβαίνει κάπου τριών ή τεσσάρων ετών) καταλάβει ότι όλοι οι αριθμοί χωρίζονται σε τρεις ομάδες "ένας, δύο και πολλοί", αμέσως προσπαθεί να μάθει: πόσο είναι πολλά, πόσο διαφέρει από πολλά, και μπορεί να είναι τόσα πολλά που να μην υπάρχουν άλλα. Σίγουρα έπαιξες ένα ενδιαφέρον (για εκείνη την ηλικία) παιχνίδι με τους γονείς σου, που θα ονομάσουν τα περισσότερα περισσότερο, και αν ο πρόγονος δεν ήταν πιο ηλίθιος από ένα μαθητή της πέμπτης δημοτικού, τότε πάντα κέρδιζε, απαντώντας «δύο εκατομμύρια» για κάθε «εκατομμύριο» και «δύο δισεκατομμύρια» ή «ένα δισεκατομμύριο συν ένα» για κάθε «δισεκατομμύριο».

Ήδη από την πρώτη τάξη του σχολείου, όλοι γνωρίζουν ότι υπάρχει άπειρος αριθμός αριθμών, δεν τελειώνουν ποτέ και δεν υπάρχει μεγαλύτερος αριθμός. Σε οποιοδήποτε εκατομμύριο τρισεκατομμύρια δισεκατομμύρια μπορείτε πάντα να πείτε "συν ένα" και να κερδίσετε. Και λίγο αργότερα έρχεται (πρέπει να έρθει!) Η κατανόηση ότι οι μεγάλες σειρές αριθμών από μόνες τους δεν σημαίνουν τίποτα. Όλα αυτά τα τρισεκατομμύρια δισεκατομμύρια έχουν νόημα μόνο όταν χρησιμεύουν ως αναπαράσταση ενός συγκεκριμένου αριθμού αντικειμένων ή περιγράφουν ένα συγκεκριμένο φαινόμενο. Δεν υπάρχει καμία δυσκολία να εφεύρουμε έναν μεγάλο αριθμό που δεν είναι παρά ένα σύνολο αριθμών με μεγάλο ήχο, υπάρχουν ήδη ένας άπειρος αριθμός από αυτούς. Η επιστήμη, σε κάποιο βαθμό μεταφορικά, ασχολείται με την αναζήτηση πολύ συγκεκριμένων συνδυασμών αριθμών σε αυτή την απεριόριστη άβυσσο, προσθέτοντας σε κάποιο φυσικό φαινόμενο, όπως η ταχύτητα του φωτός, ο αριθμός του Avogadro ή η σταθερά του Planck.

Και τίθεται αμέσως το ερώτημα, ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός στον κόσμο που σημαίνει κάτι; Σε αυτό το άρθρο, θα προσπαθήσω να μιλήσω για ένα ψηφιακό τέρας που ονομάζεται αριθμός Graham, αν και αυστηρά μιλώντας, η επιστήμη γνωρίζει ακόμη περισσότερους αριθμούς. Ο αριθμός του Graham είναι ο πιο δημοσιοποιημένος, θα μπορούσε να πει κανείς ότι «άκουσε» από το ευρύ κοινό, επειδή είναι αρκετά απλός στην εξήγηση και ωστόσο αρκετά μεγάλος για να γυρίσει το κεφάλι του. Γενικά, εδώ είναι απαραίτητο να δηλώσετε μια μικρή αποποίηση ευθυνών (ρωσική προειδοποίηση). Μπορεί να ακούγεται σαν αστείο, αλλά δεν αστειεύομαι. Μιλάω πολύ σοβαρά - η σχολαστική περιπλάνηση σε τέτοια μαθηματικά βάθη, σε συνδυασμό με την απεριόριστη διεύρυνση των ορίων της αντίληψης, μπορεί (και θα) έχει σοβαρό αντίκτυπο στην κοσμοθεωρία, στη θέση του ατόμου στην κοινωνία και, εν τέλει, στο γενικό ψυχολογική κατάστασημαζεύοντας, ή, ας λέμε τα πράγματα με το όνομά τους - ανοίγει το δρόμο στο shiz. Δεν είναι απαραίτητο να διαβάσετε πολύ προσεκτικά το παρακάτω κείμενο, δεν είναι απαραίτητο να φανταστείτε τα πράγματα που περιγράφονται σε αυτό πολύ ζωντανά και παραστατικά. Και μην πεις αργότερα ότι δεν προειδοποιήθηκες!

Πριν προχωρήσουμε στους αριθμούς των τεράτων, ας εξασκηθούμε πρώτα στις γάτες. Να σας υπενθυμίσω ότι για να περιγράψετε μεγάλους αριθμούς (όχι τέρατα, αλλά απλώς μεγάλους αριθμούς), είναι βολικό να χρησιμοποιείτε επιστημονικά ή λεγόμενα. εκθετική σημειογραφία.

Όταν λένε, ας πούμε, για τον αριθμό των αστεριών στο Σύμπαν (στο Παρατηρήσιμο Σύμπαν), κανένας ηλίθιος δεν θα μπει στον κόπο να υπολογίσει πόσα από αυτά είναι με την κυριολεκτική έννοια, μέχρι το τελευταίο αστέρι. Πιστεύεται ότι περίπου 10²¹ τεμάχια. Και αυτή είναι μια χαμηλότερη εκτίμηση. Αυτό σημαίνει ότι ο συνολικός αριθμός των αστεριών μπορεί να εκφραστεί ως ένας αριθμός που έχει 21 μηδενικά μετά το ένα, δηλ. «1.000.000.000.000.000.000.000».

Έτσι μοιάζει ένα μικρό μέρος τους (περίπου 100.000) στο σφαιρωτό σμήνος Ωμέγα Κενταύρου.

Φυσικά, όταν μιλαμεσχετικά με τέτοιες κλίμακες, οι πραγματικοί αριθμοί δεν παίζουν σημαντικό ρόλο στον αριθμό, τελικά, όλα είναι πολύ υπό όρους και κατά προσέγγιση. Ίσως ο πραγματικός αριθμός των αστεριών στο σύμπαν είναι "1.564.861.615.140.168.357.973", ή ίσως "9.384.684.643.798.468.483.745". Και ακόμη και «3 333 333 333 333 333 333 333», γιατί όχι, αν και είναι απίθανο, φυσικά. Στην κοσμολογία, την επιστήμη των ιδιοτήτων του σύμπαντος στο σύνολό του, τέτοια μικροπράγματα δεν ξεγελιούνται. Το κύριο πράγμα είναι να φανταστείτε ότι περίπου αυτός ο αριθμός αποτελείται από 22 ψηφία, από τα οποία είναι πιο βολικό να τον θεωρήσετε ως μονάδα με 21 μηδενικά και να τον σημειώσετε ως 10²¹. Ο κανόνας είναι γενικός και πολύ απλός. Ποιος αριθμός ή αριθμός βρίσκεται στη θέση του βαθμού (εκτυπώνεται με μικρά γράμματα πάνω από το 10), τόσα μηδενικά μετά το ένα θα υπάρχουν σε αυτόν τον αριθμό, αν τον βάψετε με απλό τρόπο, με σημάδια στη σειρά και όχι σε έναν επιστημονικό τρόπο. Μερικοί αριθμοί έχουν "ανθρώπινα ονόματα", για παράδειγμα 103 ονομάζουμε "χίλια", 106 - "εκατομμύριο", και 10⁹ - "δισεκατομμύριο", και μερικοί όχι. Ας υποθέσουμε ότι το 105⁹ δεν έχει κοινό όνομα. Και το 10²¹, παρεμπιπτόντως, το έχει - είναι "sextillion".

Οτιδήποτε φτάνει μέχρι το ένα εκατομμύριο είναι διαισθητικά κατανοητό σχεδόν σε όλους, γιατί ποιος δεν θέλει να γίνει εκατομμυριούχος; Τότε αρχίζουν κάποια προβλήματα. Αν και ένα δισεκατομμύριο (109) είναι επίσης γνωστό σε όλους σχεδόν. Μπορείτε να μετρήσετε ακόμη και ένα δισεκατομμύριο. Εάν μόνο μετά τη γέννηση, κυριολεκτικά τη στιγμή της γέννησης, αρχίσετε να μετράτε μια φορά το δευτερόλεπτο «ένα, δύο, τρία, τέσσερα ...» και να μην κοιμάστε, να μην πίνετε, να μην τρώτε, αλλά μόνο να μετράτε-μετρήστε-μετρήστε ακούραστα μέρα και νύχτα, τότε όταν πλησιάζουν τα 32 χρόνια, μπορείτε να μετρήσετε έως και ένα δισεκατομμύριο, επειδή 32 περιστροφές της Γης γύρω από τον Ήλιο χρειάζονται περίπου ένα δισεκατομμύριο δευτερόλεπτα.

7 δισεκατομμύρια είναι ο αριθμός των ανθρώπων στον πλανήτη. Με βάση τα παραπάνω, μετρήστε τα όλα με τη σειρά εντός ΑΝΘΡΩΠΙΝΗ ζωηαπολύτως αδύνατο, πρέπει να ζήσεις περισσότερα από διακόσια χρόνια.

100 δισεκατομμύρια (10¹¹) - πόσοι περίπου άνθρωποι έχουν ζήσει στον πλανήτη σε όλη την ιστορία του. Η McDonald's πούλησε 100 δισεκατομμύρια χάμπουργκερ μέχρι το 1998 στα 50 χρόνια ύπαρξής της. Υπάρχουν 100 δισεκατομμύρια αστέρια (καλά, λίγο περισσότερα) στον Γαλαξία μας, και ο Ήλιος είναι ένα από αυτά. Ο ίδιος αριθμός γαλαξιών περιέχεται στο παρατηρήσιμο σύμπαν. Υπάρχουν 100 δισεκατομμύρια νευρώνες στον ανθρώπινο εγκέφαλο. Και ο ίδιος αριθμός αναερόβιων βακτηρίων ζει σε κάθε αναγνώστη αυτών των γραμμών στο τυφλό έντερο.

Ένα τρισεκατομμύριο (10¹²) είναι ένας αριθμός που χρησιμοποιείται σπάνια. Είναι αδύνατο να μετρήσετε μέχρι ένα τρισεκατομμύριο, θα χρειαστούν 32 χιλιάδες χρόνια. Πριν από ένα τρισεκατομμύριο δευτερόλεπτα, οι άνθρωποι ζούσαν σε σπηλιές και κυνηγούσαν μαμούθ με δόρατα. Ναι, πριν από ένα τρισεκατομμύριο δευτερόλεπτα ζούσαν στη Γη μαμούθ. Υπάρχουν περίπου ένα τρισεκατομμύριο ψάρια στους ωκεανούς του πλανήτη. Ο γειτονικός μας Γαλαξίας της Ανδρομέδας περιέχει περίπου ένα τρισεκατομμύριο αστέρια. Ένας άνθρωπος αποτελείται από 10 τρισεκατομμύρια κύτταρα. Το ΑΕΠ της Ρωσίας το 2013 ανήλθε σε 66 τρισεκατομμύρια ρούβλια (το 2013 ρούβλια). Από τη Γη μέχρι τον Κρόνο, 100 τρισεκατομμύρια εκατοστά και ισάριθμα γράμματα συνολικά έχουν τυπωθεί σε όλα τα βιβλία που έχουν εκδοθεί ποτέ.

Ένα τετράστιχο (1015, ένα εκατομμύριο δισεκατομμύρια) είναι ο αριθμός των μυρμηγκιών στον πλανήτη. Οι κανονικοί άνθρωποι δεν προφέρουν αυτή τη λέξη φωναχτά, καλά, παραδεχτείτε το, πότε ήταν η τελευταία φορά που ακούσατε «ένα τετρά εκατομμύριο κάτι» σε μια συνομιλία;

Πεντεκατομμύριο (10¹8, δισεκατομμύρια δισεκατομμύρια) - πόσες πιθανές διαμορφώσεις υπάρχουν κατά τη συναρμολόγηση ενός κύβου Ρούμπικ 3x3x3. Το ίδιο είναι και ο αριθμός των κυβικών μέτρων νερού στους ωκεανούς του κόσμου.

Sextillion (10²¹) - έχουμε ήδη συναντήσει αυτόν τον αριθμό. Ο αριθμός των αστεριών στο Παρατηρήσιμο Σύμπαν. Ο αριθμός των κόκκων άμμου σε όλες τις ερήμους της Γης. Ο αριθμός των τρανζίστορ σε όλες τις υπάρχουσες ηλεκτρονικές συσκευές της ανθρωπότητας, αν η Intel δεν μας είπε ψέματα.

10 εξάξιο (10²²) είναι ο αριθμός των μορίων σε ένα γραμμάριο νερού.

10²4 είναι η μάζα της Γης σε κιλά.

10²6 είναι η διάμετρος του Παρατηρήσιμου Σύμπαντος σε μέτρα, αλλά δεν είναι πολύ βολικό να μετράμε σε μέτρα, τα γενικά αποδεκτά όρια του Παρατηρήσιμου Σύμπαντος είναι 93 δισεκατομμύρια έτη φωτός.

Για να οπτικοποιήσετε την κοσμική κλίμακα, είναι χρήσιμο να μελετήσετε αυτήν την εικόνα, επεκτείνοντάς την σε πλήρη οθόνη.

Ωστόσο, ακόμα και στο Παρατηρήσιμο Σύμπαν, μπορείτε να στριμώξετε πολύ περισσότερα από κάτι άλλο από μέτρα.

1051 άτομα συνθέτουν τον πλανήτη Γη.

10⁸⁰ είναι ο κατά προσέγγιση αριθμός στοιχειωδών σωματιδίων στο Παρατηρήσιμο Σύμπαν.

10⁹⁰ είναι ο κατά προσέγγιση αριθμός φωτονίων στο Παρατηρήσιμο Σύμπαν. Υπάρχουν σχεδόν 10 δισεκατομμύρια φορές περισσότερα από τα στοιχειώδη σωματίδια, τα ηλεκτρόνια και τα πρωτόνια.

10¹⁰⁰ - googol. Αυτός ο αριθμός φυσικά δεν σημαίνει τίποτα, απλά στρογγυλός και όμορφος. Η εταιρεία που έθεσε ως στόχο της την ευρετηρίαση του Google των συνδέσμων (ένα αστείο, φυσικά, είναι περισσότερο από τον αριθμό των στοιχειωδών σωματιδίων στο σύμπαν!) το 1998 πήρε το όνομα Google.

Θα χρειαστούν 10¹²² πρωτόνια για να γεμίσουν το Παρατηρήσιμο Σύμπαν μέχρι τους βολβούς των ματιών, έτσι σφιχτά, πρωτόνιο προς πρωτόνιο, πλάτη με πλάτη.

Το Παρατηρήσιμο Σύμπαν καταλαμβάνει 10185 τόμους Planck. Λιγότερο από τον όγκο Planck (ένας κύβος μήκους Planck 10-35 μέτρων) η επιστήμη μας δεν γνωρίζει. Σίγουρα, όπως και με το Σύμπαν, υπάρχει κάτι ακόμη μικρότερο, αλλά οι επιστήμονες δεν έχουν ακόμη καταλήξει σε λογικούς τύπους για τέτοια μικροπράγματα, μόνο σκέτη εικασία.

Αποδεικνύεται ότι το 10185 περίπου είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που θα μπορούσε να σημαίνει οτιδήποτε στη σύγχρονη επιστήμη. Σε μια επιστήμη που μπορεί να αισθάνεται και να μετράει. Είναι κάτι που υπάρχει, ή θα μπορούσε να υπάρξει, αν συνέβαινε ότι ξέραμε όλα όσα έπρεπε να γνωρίζουμε για το σύμπαν. Ο αριθμός αποτελείται από 186 ψηφία, εδώ είναι:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Ή ακούσατε για τη θεωρία χορδών, σύμφωνα με την οποία μπορεί να υπάρχουν περίπου 105⁰⁰ διαμορφώσεις δονήσεων χορδών, που σημαίνει τον ίδιο αριθμό πιθανών συμπάντων, το καθένα με τους δικούς του νόμους.

Θα αναφέρω μόνο το γνωστό σε πολλούς googolplex. Ένας αριθμός που έχει ένα googol ψηφίων, δέκα στη δύναμη ενός googol ή δέκα στη δύναμη του δέκα στη δύναμη των εκατό

Δεν θα το γράψω με αριθμούς. Το Googleplex δεν σημαίνει απολύτως τίποτα. Ένα άτομο δεν μπορεί να φανταστεί ένα googolplex τίποτα, είναι φυσικά αδύνατο. Για να γράψετε έναν τέτοιο αριθμό, θα χρειαστείτε ολόκληρο το παρατηρήσιμο σύμπαν, εάν γράψετε με ένα «νανο-στυλό» απευθείας στο κενό, στην πραγματικότητα, στα κύτταρα Planck του σύμπαντος. Ας μεταφράσουμε όλη την ύλη σε μελάνι και ας γεμίσουμε το Σύμπαν με έναν συμπαγή αριθμό, τότε θα έχουμε ένα googolplex. Αλλά οι μαθηματικοί (τρομεροί άνθρωποι!) ζεσταίνονται μόνο με το googolprex, αυτός είναι ο χαμηλότερος πήχης από τον οποίο ξεκινούν τα πραγματικά καλούδια για αυτούς. Και αν νομίζετε ότι το googolplex στο βαθμό του googolplex είναι αυτό για το οποίο μιλάμε, δεν έχετε ιδέα ΠΟΣΟ λάθος.

Πίσω από το googolplex υπάρχουν πολλοί ενδιαφέροντες αριθμοί που έχουν τον ένα ή τον άλλο ρόλο στις μαθηματικές αποδείξεις, εν συντομία, ας πάμε κατευθείαν στον αριθμό Graham, που πήρε το όνομά του (καλά, φυσικά) του μαθηματικού Ronald Graham. Πρώτα θα σας πω τι είναι και σε τι χρησιμεύει, μετά από το οποίο θα περιγράψω μεταφορικά και στα δάχτυλά μου το μέγεθος του και μετά θα γράψω τον ίδιο τον αριθμό. Πιο συγκεκριμένα, θα προσπαθήσω να εξηγήσω αυτό που έγραψα.

Φανταστείτε έναν κύβο, του οποίου όλες οι κορυφές συνδέονται με γραμμές-τμήματα δύο χρωμάτων, κόκκινο ή μπλε. Συνδέθηκε και χρωματίστηκε τυχαία. Κάποιοι έχουν ήδη μαντέψει ότι μιλάμε για έναν κλάδο των μαθηματικών που ονομάζεται συνδυαστική.

Θα είμαστε σε θέση να επινοήσουμε και να επιλέξουμε τη διαμόρφωση των χρωμάτων με τέτοιο τρόπο (και υπάρχουν μόνο δύο από αυτά - κόκκινο και μπλε), έτσι ώστε όταν χρωματίζουμε αυτά τα τμήματα, ΜΗΝ θα καταλήξουμε ότι όλα τα τμήματα του ίδιου χρώματος συνδέονται τέσσερις κορυφές βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο; Σε αυτήν την περίπτωση, ΔΕΝ αντιπροσωπεύουν ένα τέτοιο σχήμα:

Μπορείτε να σκεφτείτε μόνοι σας, να στρίψετε τον κύβο στη φαντασία σας μπροστά στα μάτια σας, να το κάνετε αυτό δεν είναι τόσο δύσκολο. Υπάρχουν δύο χρώματα, ο κύβος έχει 8 κορυφές (γωνίες), που σημαίνει ότι υπάρχουν 28 τμήματα που τα συνδέουν. Μπορείτε να επιλέξετε τη διαμόρφωση χρωματισμού με τέτοιο τρόπο ώστε να μην έχουμε πουθενά το παραπάνω σχήμα, θα υπάρχουν πολύχρωμες γραμμές σε όλα τα πιθανά αεροπλάνα.

Τι γίνεται αν έχουμε περισσότερες διαστάσεις; Τι γίνεται αν πάρουμε όχι έναν κύβο, αλλά έναν τετραδιάστατο κύβο, δηλ. tesseract; Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο κόλπο με το 3D;

Σε πέντε διαστάσεις; Και στο πενταδιάστατο, όπου ο κύβος λέγεται πεντεράκτος ή πεντάκυβος, είναι επίσης δυνατό.
Και σε έξι διαστάσεις.

Και μετά υπάρχουν δυσκολίες. Ο Γκράχαμ δεν μπορούσε να αποδείξει μαθηματικά ότι ένας επταδιάστατος υπερκύβος θα μπορούσε να εκτελέσει μια τέτοια λειτουργία. Τόσο οκταδιάστατο όσο και εννιαδιάστατο, και ούτω καθεξής. Αλλά το δεδομένο "και ούτω καθεξής" αποδείχθηκε ότι δεν πάει στο άπειρο, αλλά τελειώνει με έναν πολύ μεγάλο αριθμό, ο οποίος ονομάστηκε "αριθμός Graham".

Δηλαδή, υπάρχει κάποια ελάχιστη διάσταση του υπερκύβου, κάτω από την οποία παραβιάζεται η συνθήκη, και δεν είναι πλέον δυνατό να αποφευχθεί ένας συνδυασμός χρωματικών τμημάτων έτσι ώστε τέσσερα σημεία του ίδιου χρώματος να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Και αυτή η ελάχιστη διάσταση είναι ακριβώς μεγαλύτερη από έξι και ακριβώς μικρότερη από τον αριθμό Graham, αυτή είναι η μαθηματική απόδειξη του επιστήμονα.

Θεωρήστε έναν υπερκύβο n-διαστάσεων και συνδέστε όλα τα ζεύγη κορυφών για να λάβετε ένα πλήρες γράφημα με 2n κορυφές. Ας χρωματίσουμε κάθε άκρη αυτού του γραφήματος είτε κόκκινο είτε Μπλε χρώμα. Ποια είναι η μικρότερη τιμή του n για την οποία κάθε τέτοιος χρωματισμός περιέχει αναγκαστικά ένα μονόχρωμο πλήρες υπογράφημα με τέσσερις κορυφές, οι οποίες βρίσκονται όλες στο ίδιο επίπεδο;

Έχουν περάσει πολλά χρόνια από τη δεκαετία του '70, βρέθηκαν μαθηματικά προβλήματα στα οποία εμφανίζονται αριθμοί και περισσότεροι Γκράχαμ, αλλά αυτός ο πρώτος αριθμός τέρας εντυπωσίασε τόσο τους συγχρόνους που κατάλαβαν σε ποια κλίμακα ήταν που το 1980 συμπεριλήφθηκε στο βιβλίο των ρεκόρ Γκίνες ως «το πλέον μεγάλος αριθμόςεμπλακεί ποτέ σε μια αυστηρή μαθηματική απόδειξη» εκείνη την εποχή.

Μπορείτε να φανταστείτε αυτή την κοινότητα; Εμπρός, πίσω, πάνω, κάτω, όσο μπορεί να δει το μάτι και όσο μπορεί να δει το μάτι τηλεσκόπιο Hubble, και μάλιστα πόσο δεν είναι αρκετό, στους πιο μακρινούς γαλαξίες και κοιτάζοντας πέρα από αυτούς - αριθμούς, αριθμούς, αριθμούς πολύ μικρότερους από ένα πρωτόνιο. Ένα τέτοιο σύμπαν, φυσικά, δεν θα μπορεί να υπάρχει για πολύ καιρό, θα καταρρεύσει αμέσως σε μια μαύρη τρύπα. Θυμάστε πόσες πληροφορίες μπορούν θεωρητικά να χωρέσουν στο σύμπαν;

Ο αριθμός είναι πραγματικά τεράστιος, σπάει τον εγκέφαλο. Δεν είναι ακριβώς ίσο με το googolplex, και δεν έχει όνομα, οπότε θα το ονομάσω "dochulion". Μόλις κατάλαβα γιατί όχι. Ο αριθμός των κελιών Planck στο Παρατηρήσιμο Σύμπαν και ένας αριθμός είναι γραμμένος σε κάθε κελί. Ο αριθμός έχει 10185 ψηφία και μπορεί να αναπαρασταθεί ως

Ας ανοίξουμε τις πόρτες της αντίληψης λίγο ευρύτερα. Θυμάστε τη θεωρία του πληθωρισμού; Ότι το Σύμπαν μας είναι μόνο μία από τις πολλές φυσαλίδες στο Πολυσύμπαν. Και αν φαντάζεστε ένα ντοχούλι από τέτοιες φυσαλίδες; Ας πάρουμε έναν αριθμό όσο ό,τι υπάρχει και ας φανταστούμε το Πολυσύμπαν με παρόμοιο αριθμό συμπάντων, καθένα από τα οποία είναι γεμάτο με αριθμούς μέχρι τους βολβούς των ματιών - παίρνουμε ένα δόχλιο από ντοχυλόνια. Μπορείτε να το φανταστείτε αυτό; Πώς επιπλέεις στην ανυπαρξία ενός κλιμακωτού πεδίου, και τριγύρω υπάρχουν σύμπαντα-σύμπαντα και αριθμοί-αριθμοί-αριθμοί μέσα τους… Ελπίζω ότι ένας τέτοιος εφιάλτης (αν και γιατί εφιάλτης;) δεν θα βασανίσει (και γιατί μαρτύριο;) ένας υπερβολικά εντυπωσιακός αναγνώστης τη νύχτα.

Για ευκολία, ονομάζουμε μια τέτοια λειτουργία "flip". Μια τέτοια επιπόλαιη διαφωνία, σαν να πήραν το Σύμπαν και να το γύρισαν μέσα προς τα έξω, τότε ήταν μέσα σε αριθμούς, και τώρα, αντίθετα, έχουμε τόσα σύμπαντα έξω όσα ήταν οι αριθμοί, και κάθε κουτί είναι γεμάτο, γεμάτο αριθμοί. Καθώς ξεφλουδίζετε ένα ρόδι, λυγίζετε την κρούστα έτσι, οι κόκκοι βγαίνουν από μέσα και οι χειροβομβίδες είναι πάλι στους κόκκους. Ανέβηκε και εν κινήσει γιατί όχι γιατί δούλευε με dohulion.

Σε τι παίρνω; Αξίζει να επιβραδύνουμε; Έλα, χόμπα, και μια ακόμα ανατροπή! Και τώρα έχουμε τόσα σύμπαντα όσα και ψηφία στα σύμπαντα, ο αριθμός των οποίων ήταν ίσος με το δαχτυλίδι των ψηφίων που γέμισαν το Σύμπαν μας. Και αμέσως, χωρίς να σταματήσετε, αναποδογυρίστε ξανά. Και το τέταρτο και το πέμπτο. Δέκατο, χιλιοστό. Συνεχίστε με τη σκέψη, δείτε ακόμα την εικόνα;

Ας μην χάνουμε χρόνο σε μικροπράγματα, ας ανοίξουμε τα φτερά της φαντασίας, ας επιταχύνουμε στο έπακρο και ας αναστρέψουμε τα flip flips. Γυρίζουμε κάθε σύμπαν από μέσα προς τα έξω τόσες φορές όσες υπήρχαν σύμπαντα πριν από το Hulion στην προηγούμενη ανατροπή, η οποία ανατράπηκε από την προηγούμενη χρονιά, η οποία ... ε... καλά, ακολουθείς; Κάπου έτσι. Ας γίνει τώρα ο αριθμός μας, ας πούμε, «ντοκουλιάρδος».

Dohouliard = αναποδογυρίζω

Δεν σταματάμε και συνεχίζουμε να αναποδογυρίζουμε ντουλάπια ντουλάπια όσο έχουμε τη δύναμη. Μέχρι να σκοτεινιάσει στα μάτια, μέχρι να θες να ουρλιάξεις. Εδώ, κάθε γενναίος Πινόκιο για τον εαυτό του, η λέξη στοπ θα είναι «brynza».

Ετσι. Τι είναι αυτό; Τεράστια και άπειρα ντουλάπια από ανατροπές και κουφώματα συμπάντων με πλήρη ψηφία δεν ταιριάζουν με τον αριθμό του Γκράχαμ. Δεν ξύνουν καν την επιφάνεια. Εάν ο αριθμός του Γκράχαμ παρουσιάζεται με τη μορφή ενός ραβδιού, παραδοσιακά τεντωμένος σε ολόκληρο το Παρατηρήσιμο Σύμπαν, τότε αυτό που έχουμε κολλήσει μαζί εδώ θα αποδειχθεί ότι είναι μια εγκοπή πάχους ... καλά ... πώς μπορώ να το θέσω έτσι , για να το θέσω ήπια ... ανάξια αναφοράς. Εδώ, το ήπια όσο καλύτερα μπορούσα.

Τώρα ας ξεφύγουμε λίγο, κάνουμε ένα διάλειμμα. Διαβάσαμε, μετρήσαμε, τα μάτια μας κουράστηκαν. Ας ξεχάσουμε τον αριθμό του Γκράχαμ, πρέπει ακόμα να ανιχνεύσουμε και να ανιχνεύσουμε μπροστά του, να ξεκεντρίσουμε τα μάτια μας, να χαλαρώσουμε, να διαλογιστούμε έναν πολύ μικρότερο, καθαρά μικροσκοπικό αριθμό, τον οποίο θα ονομάζουμε g₁, και να τον γράψουμε με έξι μόνο χαρακτήρες:
g1 = 33

Ο αριθμός g1 είναι "τρία, τέσσερα βέλη, τρία". Τι σημαίνει? Αυτή είναι η σημείωση που ονομάζεται συμβολισμός βέλους του Knuth.

Ένα βέλος σημαίνει συνηθισμένη εκτόνωση.

44 = 44 = 256

1010 = 10¹0 = 10.000.000.000

Δύο βέλη σημαίνουν, κατανοητά, εκθεσιμότητα.

Εν ολίγοις, το "βέλος αριθμού βέλους άλλος αριθμός" δείχνει πόσο ψηλά είναι χτισμένα οι μοίρες (οι μαθηματικοί λένε "πύργος") από τον πρώτο αριθμό. Για παράδειγμα, 58 σημαίνει πύργος οκτώ πεντάδων και είναι τόσο μεγάλος που δεν μπορεί να υπολογιστεί σε κανέναν υπερυπολογιστή, ακόμη και σε όλους τους υπολογιστές στον πλανήτη ταυτόχρονα.

Ας προχωρήσουμε στα τρία βέλη. Εάν το διπλό βέλος έδειχνε το ύψος του πύργου των μοιρών, τότε το τριπλό βέλος, φαίνεται, θα έδειχνε "το ύψος του πύργου του ύψους του πύργου"; Τι-εκεί! Στην περίπτωση ενός τριπλού, έχουμε το ύψος του πύργου το ύψος του πύργου το ύψος του πύργου (δεν υπάρχει τέτοια έννοια στα μαθηματικά, αποφάσισα να το ονομάσω "άπυργος"). Κάτι σαν αυτό:

Δηλαδή, το 33 σχηματίζει ένα τρίδυμο χωρίς πύργο, ύψους 7 τρισεκατομμυρίων τεμαχίων. Τι είναι 7 τρισεκατομμύρια τριάδες στοιβαγμένα το ένα πάνω στο άλλο και ονομάζονται «άπυργοι»; Εάν διαβάσατε προσεκτικά αυτό το κείμενο και δεν αποκοιμηθήκατε στην αρχή, πιθανότατα θυμάστε ότι υπάρχουν 100 τρισεκατομμύρια εκατοστά από τη Γη μέχρι τον Κρόνο. Η τριπλή που εμφανίζεται στην οθόνη με τη δωδέκατη γραμματοσειρά, αυτή - 3 - έχει ύψος πέντε χιλιοστά. Έτσι, οι τρίδυμες χωρίς πύργους θα εκτείνονται από την οθόνη σας... καλά, όχι στον Κρόνο, φυσικά. Ακόμη και ο Ήλιος δεν θα φτάσει, μόνο το ένα τέταρτο της αστρονομικής μονάδας, περίπου όσο από τη Γη στον Άρη με καλό καιρό. Σου εφιστώ την προσοχή (μην κοιμάσαι!) ότι ο πύργος δεν είναι αριθμός από τη Γη μέχρι τον Άρη, είναι πύργος μοιρών τέτοιου ύψους. Θυμόμαστε ότι πέντε τριάδες σε αυτόν τον πύργο καλύπτουν το googolplex, ο υπολογισμός του πρώτου δεκαμέτρου τριπλών καίει όλες τις ασφάλειες των υπολογιστών του πλανήτη και τα υπόλοιπα εκατομμύρια χιλιόμετρα μοιρών είναι ήδη άχρηστα, απλά κοροϊδεύουν ανοιχτά τον αναγνώστη, είναι άχρηστο να τα μετρήσω.

Τώρα είναι ξεκάθαρο ότι 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 χωρίς πύργο, (όχι 3 στον βαθμό του άπυργου, αλλά "τρία βέλη χωρίς πύργο" (!)), το απύργο της δεν χωράει ούτε σε μήκος ούτε σε ύψος στο Παρατηρήσιμο Σύμπαν και δεν θα χωρέσει καν στο υποτιθέμενο πολυσύμπαν.

Οι λέξεις τελειώνουν σε 35 = 33333 και οι παρεμβάσεις τελειώνουν σε 36 = 333333, αλλά μπορείτε να εξασκηθείτε αν σας ενδιαφέρει.

Είναι άχρηστο να το υπολογίσεις και δεν θα λειτουργήσει. Ο αριθμός των πτυχίων εδώ δεν προσφέρεται για ουσιαστική λογιστική. Αυτός ο αριθμός δεν μπορεί να φανταστεί, δεν μπορεί να περιγραφεί. Δεν υπάρχουν αναλογίες στα δάχτυλα™, απλά δεν υπάρχει τίποτα για να συγκρίνετε τον αριθμό. Μπορούμε να πούμε ότι είναι τεράστιο, ότι είναι μεγαλειώδες, ότι είναι μνημειακό και κοιτάζει πέρα από τον ορίζοντα γεγονότων. Δηλαδή να του δώσουμε κάποια λεκτικά επίθετα. Αλλά η οπτικοποίηση, ακόμη και ελεύθερη και μεταφορική, είναι αδύνατη. Εάν με τρία βέλη ήταν ακόμα δυνατό να πούμε τουλάχιστον κάτι, να σχεδιάσουμε έναν πύργο από τη Γη στον Άρη, με κάποιο τρόπο να συγκριθούμε με κάτι, τότε απλά δεν μπορούν να υπάρχουν αναλογίες. Προσπάθησε να φανταστείς έναν λεπτό πύργο τριδύμων από τη Γη στον Άρη, δίπλα του άλλο ένα σχεδόν το ίδιο, και άλλο ένα, και άλλο... Το ατελείωτο πεδίο των πύργων απλώνεται στην απόσταση, στο άπειρο, οι πύργοι είναι παντού, οι πύργοι είναι παντού . Και, το πιο προσβλητικό, αυτοί οι πύργοι δεν έχουν καν καμία σχέση με τον αριθμό, καθορίζουν μόνο το ύψος άλλων πύργων που πρέπει να χτιστούν για να πάρουν το ύψος των πύργων, για να πάρουν το ύψος του οι πύργοι ... για να πάρουμε τον ίδιο τον αριθμό μετά από αφάνταστο χρόνο και επαναλήψεις.

Αυτό είναι το g1, αυτό είναι το 33.

Ξεκούραστος; Τώρα από το g1 με νέες δυνάμεις επιστρέφουμε στην επίθεση στον αριθμό Graham. Έχετε παρατηρήσει πώς η κλιμάκωση μεγαλώνει από βέλος σε βέλος;

33 = 7 625 597 484 987

33 = πύργος, από τη Γη στον Άρη.

33 = αριθμός που δεν μπορεί ούτε να φανταστεί ούτε να περιγραφεί.

Και φανταστείτε τι ψηφιακός εφιάλτης συμβαίνει όταν ο σκοπευτής είναι πέντε; Πότε είναι έξι; Μπορείτε να φανταστείτε τον αριθμό όταν ο σκοπευτής θα είναι εκατό; Αν μπορείτε, επιτρέψτε μου να φέρω υπόψη σας τον αριθμό g2, στον οποίο ο αριθμός αυτών των βελών αποδεικνύεται ίσος με g1. Θυμάστε τι είναι το g1, σωστά;

Δεν θα κρυφτώ, υπάρχει και το g₃, το οποίο περιέχει βέλη g2. Παρεμπιπτόντως, είναι ακόμα σαφές ότι το g3 δεν είναι g2 "στην ισχύ" του g2, αλλά ο αριθμός των πύργων χωρίς πύργους που καθορίζουν το ύψος των πύργων χωρίς πύργους που καθορίζουν το ύψος ... και ούτω καθεξής σε ολόκληρη την αλυσίδα μέχρι ο θερμικός θάνατος του Σύμπαντος; Εδώ αρχίζεις να κλαις.

Γιατί να κλαίω; Γιατί πέρα για πέρα αληθινό. Υπάρχει επίσης ο αριθμός g4, ο οποίος περιέχει βέλη g3 μεταξύ τριπλών. Υπάρχει επίσης g₅, υπάρχει g6 και g₇ και g17 και g43...

Εν ολίγοις, υπάρχουν 64 από αυτά τα g. Κάθε προηγούμενο είναι αριθμητικά ίσο με τον αριθμό των βελών στο επόμενο. Το τελευταίο g₆4 είναι ο αριθμός του Graham, από τον οποίο όλα έμοιαζαν να ξεκινούν τόσο αθώα. Αυτός είναι ο αριθμός των διαστάσεων του υπερκύβου, ο οποίος σίγουρα θα είναι αρκετός για να χρωματίσει σωστά τα τμήματα σε κόκκινο και μπλε. Ίσως λιγότερο, αυτό είναι, ας πούμε, το ανώτατο όριο. Είναι γραμμένο ως εξής:

και γράψε έτσι.

Για να φανταστούμε με κάποιο τρόπο την κλίμακα του αριθμού, ας αναλύσουμε το ρεκόρ του με περισσότερες λεπτομέρειες.

1 . Άρα, στα μαθηματικά υπάρχει η έννοια του «υπερτελεστή» για τον προσδιορισμό του επιπέδου των αριθμητικών πράξεων. Έτσι, η πρόσθεση είναι ένας υπερτελεστής πρώτου επιπέδου και ένας υπερτελεστής δεύτερου επιπέδου είναι ο πολλαπλασιασμός, ο οποίος είναι επαναλαμβανόμενη πρόσθεση. Δηλαδή, πολλαπλασιαστής είναι ένας αριθμός που μας λέει πόσες φορές είναι απαραίτητο να προσθέσουμε την πολλαπλασιασμένη τιμή. Για παράδειγμα: 3 3 = 3 + 3 + 3 = 9. Ο επόμενος υπερτελεστής είναι η εκθετικότητα, Χ n = Χ^n, που είναι ουσιαστικά ένας επαναλαμβανόμενος πολλαπλασιασμός. Παράδειγμα: 3 3 \u003d 3 3 3 \u003d 27. Η γραφή 3 3 με συμβολισμό Knuth θα μοιάζει με 33. Εδώ, για λόγους σαφήνειας, θα πρέπει να ειπωθεί ότι το πρώτο ψηφίο στην παράσταση 33 είναι η τιμή με την οποία εκτελούμε την ενέργεια , και ο αριθμός των βελών μεταξύ των ψηφίων είναι μια αριθμητική πράξη. Σε αυτήν την περίπτωση, ένα βέλος σημαίνει εκθεσιμότητα. Το δεύτερο ψηφίο σημαίνει την ισχύ στην οποία πρέπει να αυξηθεί το πρώτο ψηφίο (πόσες φορές να πολλαπλασιαστεί από μόνο του).Κατά συνέπεια, η έκφραση 74 σημαίνει επτά στην τέταρτη δύναμη. Με άλλα λόγια, το 7 πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί 7 τέσσερις φορές.

2 . Ο υπερτελεστής τέταρτου επιπέδου είναι η τετραλογία, η επαναλαμβανόμενη εκτόνωση. Στην καταχώρηση του Knuth, υπάρχουν δύο βέλη μεταξύ των αριθμών. Παράδειγμα: 33 \u003d 3 3 \u003d 3 3 3 \u003d 3 27 \u003d 7 625 597 484 987. Δηλαδή, το δεύτερο ψηφίο παρουσία δύο βελών σημαίνει ότι τόσες φορές πρέπει να αυξήσετε τον πρώτο αριθμό στο δύναμη του εαυτού του. Με άλλα λόγια, μας δείχνει το ύψος του πύργου ισχύος από το πρώτο ψηφίο. Για παράδειγμα, το λήμμα 58 σημαίνει έναν πύργο οκτώ πεντάδων, στοιβαγμένους το ένα πάνω στο άλλο, σαν κύβοι.

Εκείνοι των οποίων ο εγκέφαλος είναι εντελώς πρησμένος από λίπος ή είναι απασχολημένος μόνο με σκέψεις για το πώς να βρείτε το chan, να αντλήσετε το ξωτικό σας ή να απαλλαγείτε από την ακμή, θα πρέπει να θυμάστε ότι οι εκφράσεις υπολογίζονται σε τετραλογία από πάνω προς τα κάτω, ή από δεξιά προς τα αριστερά. Με απλά λόγια, 3 3 3 ισούται με γαμημένο όχι 27 3, αλλά ακριβώς το ίδιο 3 27 . Τώρα βλέπεις, γούνινο φίλε μου, ότι η τετραλογία είναι ήδη μια αρκετά ισχυρή σημείωση, που σου επιτρέπει να γράψεις αριθμούς 100500 φορές μεγαλύτερους από τον ίδιο τον 100500 σε μια σύντομη έκφραση. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό, γιατί δεν είναι αρκετά ισχυρός υπερ-τελεστής για υπολογίστε τον αριθμό του Γκράχαμ.

3 . Ας προχωρήσουμε: ο υπερτελεστής πέμπτου επιπέδου είναι η pentation (επαναλαμβανόμενη τετραδιέγερση). Τρία βέλη μεταξύ αριθμών. Από εδώ ξεκινάει το fuck up, από το οποίο άνθρωποι που δεν είναι επαγγελματίες μαθηματικοί φτύνουν όλο αυτό το χάλι και δεν προσπαθούν πλέον να το καταλάβουν. Αλλά δεν είσαι σαν αυτούς, έτσι; Αν νομίζατε ότι το πεντακάθαρο του αριθμού 3 αποσυντίθεται σε 3 με τη δύναμη του 7 625 597 484 987, τότε κάνετε λάθος. Δεν έχεις ιδέα πόσο λάθος κάνεις. Για 3 στην ισχύ του 7 625 597 484 987 είναι μόνο 34. Και η διάχυση είναι 33 = 3(33) = 3(7 625 597 484 987) = 33…( αριθμός εκθέσεων - 7.625.597.484.987 φορές)…3. Δηλαδή, αποκτάται ένας πύργος ισχύος τριπλών με ύψος πάνω από επτάμισι τρισεκατομμύρια ορόφους! Με άλλα λόγια, το δεύτερο ψηφίο παρουσία τριών βελών σημαίνει πόσο ψηλός θα είναι ο πύργος τετράγωνης του πρώτου ψηφίου. Για λόγους σαφήνειας: το 34 μπορεί να γραφτεί ως 3 3 3 3 ή 3 (3 (3 3)). Και εδώ το κύριο πράγμα είναι να καταλάβουμε ότι αυτός ο πύργος των τετράξεων δεν είναι πύργος μοιρών, εδώ η κλιμάκωση είναι πολύ πιο γρήγορη. 34 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3.
Επιτέλους το κατάλαβα, σκύλα! 34 ισούται με 3 σε τετραλογία του αριθμού που προκύπτει από τον υπολογισμό του πύργου ισχύος από τον αριθμό 3 με ύψος 7.625.597.484.987 ορόφους. Αντίστοιχα, εάν το 34 γράφεται ως ένας πύργος ισχύος τριπλών, τότε ο αριθμός των ορόφων σε αυτόν τον πύργο θα είναι ίσος με τον αριθμό που θα ληφθεί κατά τον υπολογισμό ενός πύργου ισχύος με ύψος 7.625.597.484.987 ορόφων. Εισήχθη; Δεν παρουσίασα, φυσικά, τέτοιες ποσότητες δεν γίνονται αντιληπτές με ένα swoop.

Εάν ακόμα αρχίσατε να μην καταλαβαίνετε σιγά σιγά τι στο διάολο συμβαίνει εδώ, τότε διαβάστε ξανά την παράγραφο 2.

4 . Και ο τελευταίος υπερτελεστής που χρειαζόμαστε είναι η εξάτμιση. Όπως ίσως μαντέψατε, τέσσερα βέλη μεταξύ τριών. Πρόκειται, κατά συνέπεια, για επαναλαμβανόμενη ποινή. Το δεύτερο ψηφίο με την παρουσία τεσσάρων βελών σημαίνει πόσο ψηλός θα είναι ο πύργος "μετακόλλησης".. 33 \u003d 3 (33) \u003d 333 ... 33, όπου ο αριθμός των τετραγωνισμών είναι το αποτέλεσμα του υπολογισμού του pentation 33. Εάν δεν καταλαβαίνετε τίποτα ξανά, τότε διαβάστε ξανά τα σημεία 3 και 2.
Αν περάσουμε στο τέλος αυτής της αδιανόητης αλυσίδας τετραπλώσεων και αρχίσουμε να την υπολογίζουμε, τότε το δεύτερο τριπλό από το τέλος θα είναι ίσο με 7 625 597 484 987 στην τετραλογία. τέλος θα είναι ο αριθμός που λαμβάνεται με την εκτίναξη του τριπλού της προηγούμενης παραγράφου. Και μπροστά μας υπάρχουν περισσότερα googolplex και googolplex επαναλαμβανόμενων τετραπλώσεων του αριθμού 3. Είναι ήδη άχρηστο να προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε κάτι, για να καλύψετε κάπως το αποτέλεσμα ... Και εδώ μπορείτε να ρωτήσετε: «Είναι πραγματικά ο αριθμός του Graham; Ουάου, πόσο τεράστιο!» Αλλά όχι, δεν είναι ο αριθμός του Γκράχαμ. Ήταν μόνο μια μαθηματική υπόδειξη, και είναι αμελητέο, αμέτρητα μικρό σε σύγκριση με τον αριθμό του Γκράχαμ.

Ως εκ τούτου, η εξάπλωση είναι απλώς η προσθήκη ενός τσαντιστικού βέλους στο πεντάλ, αλλά το αποτέλεσμα αποδεικνύεται μεγαλύτερο κατά έναν ασύλληπτο αριθμό παραγγελιών. Και τώρα, στην πραγματικότητα, ο υπολογισμός του αριθμού Graham. Ο αριθμός τρία στα παραδείγματα χρησιμοποιήθηκε για κάποιο λόγο, επειδή ο αριθμός του Γκράχαμ είναι ουσιαστικά οι πολλαπλασιασμένες τριάδες. Λοιπόν, ας ονομάσουμε το αποτέλεσμα της εξάκτονής μας (33) G1. Αυτό θα είναι το πρώτο βήμα υπολογισμού. Μόνο το πρώτο. Και το επόμενο βήμα επιταχύνει την πρόοδο, έτσι ώστε η προσθήκη ενός, δέκα, ΕΚΑΤΟΜΜΥΡΙΩΝ βελών μεταξύ των αριθμών σημαίνει χρόνο. Το δεύτερο βήμα είναι ο υπολογισμός του G2. Τώρα παίρνουμε το αποτέλεσμα της εξατοποίησής μας του τριπλού και γράφουμε μια παράσταση όπου ο αριθμός των βελών υπερβαθμών θα είναι ίσος με αυτό το αποτέλεσμα. G2 = 3… (αριθμός βελών υπερδύναμης - G1)…3. Αναρωτιέμαι πώς λέγεται ο υπερτελεστής ΤΕΤΟΙΟΥ επιπέδου;..

Η καταγραφή όχι μόνο του αποτελέσματος, αλλά και αυτού του υπερτελεστή δεν είναι πλέον δυνατή χωρίς μείωση. Και ο αριθμός που θα προέκυπτε από τον υπολογισμό του (αν, φυσικά, ήταν δυνατός ο υπολογισμός του) θα γέμιζε με τους αριθμούς του το Σύμπαν, και τους παράλληλους κόσμους, και τον υποχώρο, και κάθε άλλο αστρικό. Και μην ξεχνάτε ότι στο G1 ο αριθμός των βελών ήταν ίσος με τέσσερα - και αυτός είναι ήδη ένας αριθμός που δεν είναι διαθέσιμος για υπολογισμό και εγγραφή με τον συνηθισμένο τρόπο! Και στο G2 αυτός ο αριθμός είναι μόνο ο αριθμός των υπερβαθμών. Αυτό είναι. Η εξέλιξη είναι απίστευτα γρήγορη. Και αυτό είναι μόνο η αρχή. Το επόμενο βήμα είναι να υπολογίσετε τον αριθμό G3, όπου ο αριθμός των βελών υπερδύναμης θα είναι ίσος με το G2! Ομοίως, μετά από αυτό, ακολουθούν άλλα 62 βήματα υπολογισμού, όπου το αποτέλεσμα κάθε βήματος θα είναι μόνο ο αριθμός των υπερδυνάμεων βελών του επόμενου βήματος και ο αριθμός του Graham είναι G64!

Vaistenu, μερικές φορές το ματάν είναι χειρότερο από οποιοδήποτε φάρμακο.

Ήταν ένας γέρος, ντροπαλός σαν αγόρι,
Αδέξιος, δειλός πατριάρχης...
Ποιος είναι ξιφομάχος για την τιμή της φύσης;
Λοιπόν, φυσικά, φλογερό Λαμάρκ.
Όσιπ Μάντελσταμ

Εκτός από την περιγραφή του αριθμού Graham και πολλών άλλων ενδιαφέροντων αριθμών, προτείνω να συζητήσουμε μερικούς ακόμη αριθμούς. Τώρα το ανθρώπινο γονιδίωμα αποκρυπτογραφείται βιαστικά. Κατά τη γνώμη μου, αυτό θα είναι ελάχιστα χρήσιμο, καθώς από οποιαδήποτε πειραματικά δεδομένα για τα οποία υπάρχει τουλάχιστον κάποια θεωρία (δεν είναι ξεκάθαρο τι μετριέται) αλλά τουλάχιστον έγινε γνωστό ότι το ανθρώπινο γονιδίωμα αποτελείται από 3,1 δισεκατομμύρια βάσεις ( όλα τα είδη θυμίνης με γουανίνη και άλλες ουρακίλες) Κάθε ζωντανό ον, από την άποψη της θεωρίας της εξέλιξης του Δαρβίνου, θεωρείται δοκιμασία για την επιβίωση ενός δεδομένου συνδυασμού βάσεων και η κύρια σύγκρουση της θρησκείας με τη θεωρία του Δαρβίνου συμβαίνει όταν Η θεωρία του Δαρβίνου, ή μάλλον η σύγχρονη ερμηνεία της, δηλώνει ότι αυτή η απαρίθμηση συμβαίνει τυχαία. Εκτός αυτής της δήλωσης, δεν υπάρχει καμία αντίφαση μεταξύ της εξελικτικής θεωρίας και της εικόνας που περιγράφεται, για παράδειγμα, στην Ιουδαιοχριστιανική Γένεση, ανεξάρτητα από το τι ισχυρίζονται οι δημιουργιστές.

Για παράδειγμα, αν υποθέσουμε ότι το πρώτο ζωντανό ον στο πρώτο DNA είχε ολόκληρη την εξέλιξη προγραμματισμένη από αυτό το πρώτο ον στον σύγχρονο άνθρωπο, τότε αυτή η εικόνα, που μπορεί να θεωρηθεί μια σύγχρονη ερμηνεία της εξέλιξης του Λαμάρκ, δεν διαφέρει από Γένεση, και το πρώτο ζωντανό πλάσμα σε αυτό το σκεπτικό πείραμα δεν πρέπει να ονομάζεται Άνταμ Μπρόντσκι, αλλά το αρχέτυπο του Λαμάρκ. Μόνο οι λέξεις «Ο Θεός δημιούργησε» από το Genesis in αυτό το πλαίσιοσημαίνει ότι ο Θεός έχει γράψει στο πρόγραμμα το αρχέτυπο του Λαμάρκ. Παρεμπιπτόντως, αυτό το πρόγραμμα και η ίδια η μέθοδος προγραμματισμού επινοήθηκαν επίσης από Αυτόν.

Ας υποθέσουμε ότι ο συνδυασμός των ζευγών βάσεων αυτού του πρώτου ζωντανού πλάσματος είναι μοναδικός, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε από κάτω τον ρυθμό της εξέλιξης του Δαρβίνου. Ας ξεκινήσουμε με το γεγονός ότι πρόσφατα βρέθηκε το μικρότερο ζωντανό πλάσμα (οι ιοί, θεωρητικά, είναι ακόμη μικρότεροι, αλλά δεν μπορούν να θεωρηθούν ολοκληρωμένα έμβια όντα, αφού χρειάζονται έναν εξωγήινο κυτταρικό μηχανισμό για την αναπαραγωγή - όλα τα είδη μιτοχονδρίων κ.λπ. Ας φανταστούμε ότι ολόκληρο το σύμπαν (10 έως την ισχύ των 26 μέτρων) είναι γεμάτο μέχρι την κορυφή με αυτά τα ζωντανά πλάσματα των 0,009 κυβικών μικρών σε μέγεθος που δοκιμάζουν συνεχώς συνδυασμούς DNA, το καθένα με το δικό του μοναδικό δοκιμήεξαιρουμένου του διπλασιασμού του τεστ DNA από διαφορετικά έμβια όντα, και αν εμφανιστεί κάτι επιτυχημένο, τότε όλα τα έμβια όντα του σύμπαντος θα το μάθουν αμέσως και θα αλλάξουν τη δοκιμαστική τους εργασία, έτσι ώστε όλοι οι συνδυασμοί που βασίζονται σε μια ανεπιτυχή δοκιμή να απορριφθούν από τις επόμενες δοκιμές. Ας ονομάσουμε αριθμό Δαρβίνου τον συνολικό αριθμό των γονιδιωμάτων που πρέπει να δοκιμαστούν με αυτόν τον τρόπο, και αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό Δαρβίνου με την ελάχιστη διάρκεια ζωής του υπό δοκιμή πλάσματος - τον χρόνο Planck, που είναι το ελάχιστο χρονικό κβάντο - και διαιρέσουμε με το Ο συνολικός αριθμός τέτοιων πλασμάτων, τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε έναν συγκεκριμένο χαρακτηριστικό χρόνο μιας τέτοιας εξέλιξης, που προτείνω να ονομάσουμε εποχή του Δαρβίνου. Και αν διαιρέσετε τον χρόνο του Δαρβίνου με τη μέγιστη ηλικία του σύμπαντος μας, μπορείτε να πάρετε έναν αριθμό που προτείνω να ονομαστεί ο αριθμός του Γουίλιαμ του Όκαμ, αφού ήταν ο πρώτος που απέδειξε ότι οι επιστημονικές μέθοδοι δεν μπορούν να αποδείξουν την ύπαρξη του Θεού, αλλά εσείς δεν μπορεί να αποδείξει ούτε την απουσία του. Πράγματι, ο αριθμός του Occam δείχνει, στο πλαίσιο της θεωρίας του Δαρβίνου, τον μέγιστο αριθμό εισόδων στη δαρβινική εξέλιξη στο Σύμπαν μας, δηλαδή διαχωρίζει αυτούς τους συνδυασμούς DNA που μπορεί να είναι το γονιδίωμα ενός ζωντανού όντος από εκείνους που είναι προφανώς θανατηφόροι. Δηλαδή, αυτός ο αριθμός δείχνει τη διαφορά μεταξύ ζωής και θανάτου στο σύμπαν μας.

Φυσικά, προτείνω να ονομάσουμε την αναλογία του αριθμού Ockham προς τον αριθμό Graham ως τον αριθμό Brodsky, και προτείνω να ονομάσουμε όλη αυτή τη διαδικασία παράδοξο Brodsky.

Αναρτήθηκε αρχικά από lyubimica_mira στο Graham's Number on Fingers™

Πρωτότυπο παρμένο από πονηρό2μ στο Graham Number on Fingers™

επίγραφο
Αν κοιτάξεις πολύ στην άβυσσο,
μπορείς να περάσεις καλά.
Μηχανολόγος Μηχανικός Ψυχής

Μόλις ένα παιδί (και αυτό συμβαίνει κάπου στην ηλικία των τριών ή τεσσάρων ετών) καταλάβει ότι όλοι οι αριθμοί χωρίζονται σε τρεις ομάδες «ένας, δύο και πολλοί», αμέσως προσπαθεί να ανακαλύψει: Πόσο είναι πάρα πολύ, πως πολλά αποδιαφέρει από τόσα πολλά, και μπορεί να είναι τόσα πολλά που δεν υπάρχουν άλλα. Σίγουρα έπαιξες ένα ενδιαφέρον (για εκείνη την ηλικία) παιχνίδι με τους γονείς σου, που θα ονομάσουν τον μεγαλύτερο αριθμό, και αν ο πρόγονος ήταν όχι πιο χαζό από ένα μαθητή της 5ης δημοτικού, τότε πάντα κέρδιζε, απαντώντας «δύο εκατομμύρια» για κάθε «εκατομμύριο», και «δύο δισεκατομμύρια» ή «ένα δισεκατομμύριο συν ένα» για κάθε «δις».

Ήδη από την πρώτη τάξη του σχολείου, όλοι γνωρίζουν ότι υπάρχει άπειρος αριθμός αριθμών, δεν τελειώνουν ποτέ και δεν υπάρχει μεγαλύτερος αριθμός. Σε οποιονδήποτε εκατομμύρια τρισεκατομμύρια δισεκατομμύριαμπορείτε πάντα να πείτε "συν ένα" και να κερδίσετε. Και λίγο αργότερα έρχεται (πρέπει να έρθει!) Η κατανόηση ότι οι μεγάλες σειρές αριθμών από μόνες τους δεν σημαίνουν τίποτα. Ολα αυτά τρισεκατομμύρια δισεκατομμύριαμόνο τότε έχουν νόημα όταν χρησιμεύουν ως αναπαράσταση ενός αριθμού αντικειμένων ή περιγράφουν ένα συγκεκριμένο φαινόμενο. Δεν υπάρχει καμία δυσκολία στην εφεύρεση ενός μεγάλου αριθμού που δεν είναι παρά ένα σύνολο αριθμών με μεγάλο ήχο, έτσι ένας άπειρος αριθμός. Η επιστήμη, σε κάποιο βαθμό μεταφορικά, ασχολείται με την αναζήτηση πολύ συγκεκριμένων συνδυασμών αριθμών σε αυτή την απεριόριστη άβυσσο, προσθέτοντας σε κάποιο φυσικό φαινόμενο, όπως η ταχύτητα του φωτός, ο αριθμός του Avogadro ή η σταθερά του Planck.

Και τίθεται αμέσως το ερώτημα, ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός στον κόσμο που σημαίνει κάτι; Σε αυτό το άρθρο, θα προσπαθήσω να μιλήσω για το ψηφιακό τέρας που ονομάζεται Αριθμός Γκράχαμ, αν και μιλώντας αυστηρά, η επιστήμη γνωρίζει αριθμούς και πολλά άλλα. Ο αριθμός του Graham είναι ο πιο δημοσιοποιημένος, θα μπορούσε να πει κανείς ότι «άκουσε» από το ευρύ κοινό, επειδή είναι αρκετά απλός στην εξήγηση και ωστόσο αρκετά μεγάλος για να γυρίσει το κεφάλι του. Γενικά, εδώ είναι απαραίτητο να δηλώσετε μια μικρή αποποίηση ευθυνών ( Ρωσική προειδοποίηση). Μπορεί να ακούγεται σαν αστείο, αλλά δεν αστειεύομαι. Μιλάω πολύ σοβαρά - η σχολαστική περιπλάνηση σε τέτοια μαθηματικά βάθη, σε συνδυασμό με την απεριόριστη διεύρυνση των ορίων της αντίληψης, μπορεί (και θα) έχει σοβαρό αντίκτυπο στην κοσμοθεωρία, στη θέση του ατόμου στην κοινωνία και, τελικά, στις γενική ψυχολογική κατάστασημαζεύοντας, ή, ας λέμε τα πράγματα με το όνομά τους - ανοίγει το δρόμο στο shiz. Δεν είναι απαραίτητο να διαβάσετε πολύ προσεκτικά το παρακάτω κείμενο, δεν είναι απαραίτητο να φανταστείτε τα πράγματα που περιγράφονται σε αυτό πολύ ζωντανά και παραστατικά. Και μην πεις αργότερα ότι δεν προειδοποιήθηκες!
Δάχτυλα:
Πριν προχωρήσουμε στους αριθμούς των τεράτων, ας εξασκηθούμε πρώτα σε γάτες. Να σας υπενθυμίσω ότι για να περιγράψετε μεγάλους αριθμούς (όχι τέρατα, αλλά απλώς μεγάλους αριθμούς), είναι βολικό να χρησιμοποιείτε επιστημονικά ή λεγόμενα. εκθετικόςμέθοδος καταγραφής.

Όταν λένε, ας πούμε, για τον αριθμό των αστεριών στο Σύμπαν (στο Παρατηρήσιμο Σύμπαν), κανένας ηλίθιος δεν θα μπει στον κόπο να υπολογίσει πόσα από αυτά είναι με την κυριολεκτική έννοια, μέχρι το τελευταίο αστέρι. Πιστεύεται ότι περίπου 10 21 τεμάχια. Και αυτή είναι μια χαμηλότερη εκτίμηση. Αυτό σημαίνει ότι ο συνολικός αριθμός των αστεριών μπορεί να εκφραστεί ως ένας αριθμός που έχει 21 μηδενικά μετά το ένα, δηλ. «1.000.000.000.000.000.000.000».

Έτσι μοιάζει ένα μικρό μέρος τους (περίπου 100.000) στο σφαιρωτό σμήνος Ωμέγα Κενταύρου.

Φυσικά, όταν πρόκειται για τέτοιες κλίμακες, οι πραγματικοί αριθμοί δεν παίζουν σημαντικό ρόλο στον αριθμό, όλα είναι πολύ υπό όρους και κατά προσέγγιση. Μπορεί στην πραγματικότηταο αριθμός των αστεριών στο σύμπαν είναι "1.564.861.615.140.168.357.973" ή ίσως "9.384.684.643.798.468.483.745". Και ακόμη και «3 333 333 333 333 333 333 333», γιατί όχι, αν και είναι απίθανο, φυσικά. Στην κοσμολογία, την επιστήμη των ιδιοτήτων του σύμπαντος στο σύνολό του, τέτοια μικροπράγματα δεν ξεγελιούνται. Το κύριο πράγμα είναι να φανταστείς κατά προσέγγισηαυτός ο αριθμός αποτελείται από 22 ψηφία, από τα οποία είναι πιο βολικό να τον θεωρήσουμε ως μονάδα με 21 μηδενικά και να τον γράψουμε ως 10 21. Ο κανόνας είναι γενικός και πολύ απλός. Ποιος αριθμός ή αριθμός βρίσκεται στη θέση του βαθμού (εκτυπώνεται με μικρά γράμματα πάνω από το 10 εδώ), πόσα μηδενικά μετά το ένα θα υπάρχουν σε αυτόν τον αριθμό εάν τον βάψετε με απλό τρόπο, με σημάδια στη σειρά και όχι σε έναν επιστημονικό τρόπο. Μερικοί αριθμοί έχουν "ανθρώπινα ονόματα", για παράδειγμα το 10 3 ονομάζουμε "χίλια", το 10 6 - "εκατομμύριο", και το 10 9 - "δισεκατομμύρια", και μερικοί όχι. Ας υποθέσουμε ότι το 1059 δεν έχει κοινό όνομα. Και το 10 21, παρεμπιπτόντως, το έχει - είναι "sextillion".

Οτιδήποτε φτάνει στο ένα εκατομμύριο είναι διαισθητικά κατανοητό σε σχεδόν κάθε άτομο, γιατί που δεν θέλει να γίνει εκατομμυριούχος? Τότε αρχίζουν κάποια προβλήματα. Αν και ένα δισεκατομμύριο (10 9) είναι επίσης γνωστό σε όλους σχεδόν. Μπορείτε να μετρήσετε ακόμη και ένα δισεκατομμύριο. Αν μόνο αφού γεννηθείς, κυριολεκτικά τη στιγμή της γέννησης, αρχίσεις να μετράς μια φορά το δευτερόλεπτο «ένα, δύο, τρία, τέσσερα…» και να μην κοιμηθείς, να μην πιεις, να μην τρως, αλλά να μετράς μόνο- μετρήστε ακούραστα μέρα και νύχτα, τότε όταν φτάσουν τα 32 χρόνια, μπορείτε να μετρήσετε έως και ένα δισεκατομμύριο, επειδή οι 32 περιστροφές της Γης γύρω από τον Ήλιο χρειάζονται περίπου ένα δισεκατομμύριο δευτερόλεπτα.

7 δισεκατομμύρια είναι ο αριθμός των ανθρώπων στον πλανήτη. Με βάση τα παραπάνω, είναι απολύτως αδύνατο να τα μετρήσετε όλα με τη σειρά κατά τη διάρκεια μιας ανθρώπινης ζωής, θα πρέπει να ζήσετε περισσότερα από διακόσια χρόνια.

100 δισεκατομμύρια (10 11) - τόσοι πολλοί άνθρωποι έχουν ζήσει στον πλανήτη σε όλη την ιστορία του. Η McDonald's πούλησε 100 δισεκατομμύρια χάμπουργκερ μέχρι το 1998 στα 50 χρόνια ύπαρξής της. Υπάρχουν 100 δισεκατομμύρια αστέρια (καλά, λίγο περισσότερα) στον Γαλαξία μας, και ο Ήλιος είναι ένα από αυτά. Ο ίδιος αριθμός γαλαξιών περιέχεται στο παρατηρήσιμο σύμπαν. Υπάρχουν 100 δισεκατομμύρια νευρώνες στον ανθρώπινο εγκέφαλο. Και ο ίδιος αριθμός αναερόβιων βακτηρίων ζει σε κάθε αναγνώστη αυτών των γραμμών στο τυφλό έντερο.

Ένα τρισεκατομμύριο (10 12) είναι ένας αριθμός που χρησιμοποιείται σπάνια. Είναι αδύνατο να μετρήσετε μέχρι ένα τρισεκατομμύριο, θα χρειαστούν 32 χιλιάδες χρόνια. Πριν από ένα τρισεκατομμύριο δευτερόλεπτα, οι άνθρωποι ζούσαν σε σπηλιές και κυνηγούσαν μαμούθ με δόρατα. Ναι, πριν από ένα τρισεκατομμύριο δευτερόλεπτα ζούσαν στη Γη μαμούθ. Υπάρχουν περίπου ένα τρισεκατομμύριο ψάρια στους ωκεανούς του πλανήτη. Ο γειτονικός μας Γαλαξίας της Ανδρομέδας περιέχει περίπου ένα τρισεκατομμύριο αστέρια. Ένας άνθρωπος αποτελείται από 10 τρισεκατομμύρια κύτταρα. Το ΑΕΠ της Ρωσίας το 2013 ανήλθε σε 66 τρισεκατομμύρια ρούβλια (το 2013 ρούβλια). Από τη Γη μέχρι τον Κρόνο, 100 τρισεκατομμύρια εκατοστά και ισάριθμα γράμματα συνολικά έχουν τυπωθεί σε όλα τα βιβλία που έχουν εκδοθεί ποτέ.
Ένα τετράστιχο (10 15, ένα εκατομμύριο δισεκατομμύρια) είναι ο συνολικός αριθμός των μυρμηγκιών στον πλανήτη. Οι κανονικοί άνθρωποι δεν προφέρουν αυτή τη λέξη δυνατά, καλά, παραδεχτείτε το, πότε ήταν η τελευταία φορά που ακούσατε "ένα τετρά εκατομμύριο κάτι" σε μια συνομιλία;
Πεντεκατομμύριο (10 18, δισεκατομμύρια δισεκατομμύρια) - υπάρχουν τόσες πολλές πιθανές διαμορφώσεις κατά τη συναρμολόγηση ενός κύβου Ρούμπικ 3x3x3. Το ίδιο είναι και ο αριθμός των κυβικών μέτρων νερού στους ωκεανούς του κόσμου.
Sextillion (10 21) - έχουμε ήδη συναντήσει αυτόν τον αριθμό. Ο αριθμός των αστεριών στο Παρατηρήσιμο Σύμπαν. Ο αριθμός των κόκκων άμμου σε όλες τις ερήμους της Γης. Ο αριθμός των τρανζίστορ σε όλες τις υπάρχουσες ηλεκτρονικές συσκευές της ανθρωπότητας, αν η Intel δεν μας είπε ψέματα.
10 εξάξιο (10 22) είναι ο αριθμός των μορίων σε ένα γραμμάριο νερού.
10 24 είναι η μάζα της Γης σε κιλά.
10 26 - η διάμετρος του Παρατηρήσιμου Σύμπαντος σε μέτρα, αλλά δεν είναι πολύ βολικό να μετράτε σε μέτρα, τα γενικά αποδεκτά όρια του Παρατηρήσιμου Σύμπαντος είναι 93 δισεκατομμύρια έτη φωτός.

Η επιστήμη δεν λειτουργεί με διαστάσεις μεγαλύτερες από το Παρατηρήσιμο Σύμπαν. Γνωρίζουμε με βεβαιότητα ότι το Παρατηρήσιμο Σύμπαν δεν είναι ολόκληρο - όλο - ολόκληρο το Σύμπαν. Αυτό είναι το κομμάτι που μπορούμε, τουλάχιστον θεωρητικά, να δούμε και να παρατηρήσουμε. Ή μπορεί να έχει δει στο παρελθόν. Ή μπορούμε να δούμε κάποια στιγμή στο μακρινό μέλλον, παραμένοντας στο πλαίσιο της σύγχρονης επιστήμης. Από το υπόλοιπο Σύμπαν, ακόμη και με την ταχύτητα του φωτός, τα σήματα δεν θα μπορούν να φτάσουν σε εμάς, γεγονός που κάνει αυτά τα μέρη, από τη δική μας οπτική γωνία, σαν να μην υπάρχουν. Πόσο μεγάλο είναι αυτό το μεγάλο σύμπαν στην πραγματικότηταΚανείς δεν ξέρει. Ίσως ένα εκατομμύριο φορές περισσότερο από το προβλέψιμο. Ή ίσως ένα δισεκατομμύριο. Ή ίσως και ατελείωτο. Λέω, αυτό δεν είναι πλέον επιστήμη, αλλά εικασίες για το κατακάθι του καφέ. Οι επιστήμονες έχουν κάποιες εικασίες, αλλά αυτό είναι περισσότερο φαντασία παρά πραγματικότητα.
Για να οπτικοποιήσετε τις κοσμικές κλίμακες, είναι χρήσιμο να μελετήσετε αυτήν την εικόνα επεκτείνοντάς την σε πλήρη οθόνη.

Ωστόσο, ακόμα και στο Παρατηρήσιμο Σύμπαν, μπορείτε να στριμώξετε πολύ περισσότερα από κάτι άλλο από μέτρα.
1051 άτομα αποτελούν τον πλανήτη Γη.
10 80 κατά προσέγγιση αριθμός στοιχειωδών σωματιδίων στο παρατηρήσιμο Σύμπαν.
10 90 είναι ο κατά προσέγγιση αριθμός φωτονίων στο Παρατηρήσιμο Σύμπαν. Υπάρχουν σχεδόν 10 δισεκατομμύρια φορές περισσότερα από τα στοιχειώδη σωματίδια, τα ηλεκτρόνια και τα πρωτόνια.
10 100 - googol. Αυτός ο αριθμός φυσικά δεν σημαίνει τίποτα, απλά στρογγυλός και όμορφος. Η εταιρεία που έθεσε ως στόχο της την ευρετηρίαση του Google των συνδέσμων (ένα αστείο, φυσικά, είναι περισσότερο από τον αριθμό των στοιχειωδών σωματιδίων στο σύμπαν!) το 1998 πήρε το όνομα Google.
Θα χρειαστούν 10 122 πρωτόνια για να γεμίσουν το Παρατηρήσιμο Σύμπαν μέχρι τους βολβούς των ματιών, έτσι σφιχτά, πρωτόνιο με πρωτόνιο, πλάτη με πλάτη.
10.185 τόμοι Planck καταλαμβάνονται από το Παρατηρήσιμο Σύμπαν. Λιγότερο από τον όγκο Planck (κύβος μήκους Planck 10-35 μέτρα) δεν γνωρίζει η επιστήμη μας. Σίγουρα, όπως και με το Σύμπαν, υπάρχει κάτι ακόμη μικρότερο, αλλά οι επιστήμονες δεν έχουν ακόμη καταλήξει σε λογικούς τύπους για τέτοια μικροπράγματα, μόνο σκέτη εικασία.

Αποδεικνύεται ότι περίπου 10.185 είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που, καταρχήν, μπορεί να σημαίνει κάτι στη σύγχρονη επιστήμη. Σε μια επιστήμη που μπορεί να αισθάνεται και να μετράει. Είναι κάτι που υπάρχει, ή θα μπορούσε να υπάρξει, αν συνέβαινε ότι ξέραμε όλα όσα έπρεπε να γνωρίζουμε για το σύμπαν. Ο αριθμός αποτελείται από 186 ψηφία, εδώ είναι:
100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Η επιστήμη δεν τελειώνει εδώ, φυσικά, αλλά στη συνέχεια συνεχίζονται οι ελεύθερες θεωρίες, οι εικασίες, ακόμη και το ψευτοεπιστημονικό σκάκι και η αποτελμάτωση. Για παράδειγμα, πιθανότατα έχετε ακούσει για τη θεωρία του πληθωρισμού, σύμφωνα με την οποία, ίσως, το Σύμπαν μας είναι μόνο ένα μέρος ενός μεγαλύτερου Πολυσύμπαντος, στο οποίο αυτά τα σύμπαντα είναι σαν φυσαλίδες σε έναν ωκεανό από σαμπάνια.

Ή ακούσαμε για τη θεωρία χορδών, σύμφωνα με την οποία μπορεί να υπάρχουν περίπου 10.500 διαμορφώσεις δονήσεων χορδών, που σημαίνει τον ίδιο αριθμό πιθανών συμπάντων, το καθένα με τους δικούς του νόμους.

Όσο πιο μακριά μέσα στο δάσος, τόσο λιγότερο η θεωρητική φυσική και η επιστήμη γενικά μένουν στους αυξανόμενους αριθμούς, και πίσω από τις στήλες των μηδενικών, αρχίζει να κρυφοκοιτάζει μια ολοένα πιο αγνή, ασύνεφρη βασίλισσα των επιστημών. Τα μαθηματικά δεν είναι φυσική, δεν υπάρχουν περιορισμοί και δεν υπάρχει τίποτα να ντρέπεσαι, κάνε μια βόλτα ψυχή, γράψε μηδενικά σε τύπους ακόμα και μέχρι να πέσεις.
Θα αναφέρω μόνο τα γνωστά googolplex. Ένας αριθμός που έχει ένα googol ψηφίων, δέκα στη δύναμη ενός googol (10 googol) ή δέκα στη δύναμη του δέκα στη δύναμη των εκατό (10 10 100).
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Δεν θα το γράψω με αριθμούς. Το Googleplex δεν σημαίνει απολύτως τίποτα. Ένα άτομο δεν μπορεί να φανταστεί ένα googolplex τίποτα, είναι φυσικά αδύνατο. Για να γράψετε έναν τέτοιο αριθμό, θα χρειαστείτε ολόκληρο το παρατηρήσιμο σύμπαν, αν γράψετε με ένα «νανο-στυλό» απευθείας στο κενό, στην πραγματικότητα, στα κύτταρα Planck του σύμπαντος. Ας μεταφράσουμε όλη την ύλη σε μελάνι και ας γεμίσουμε το Σύμπαν με έναν συμπαγή αριθμό, τότε θα έχουμε ένα googolplex. Αλλά οι μαθηματικοί (τρομεροί άνθρωποι!) ζεσταίνονται μόνο με το googolprex, αυτός είναι ο χαμηλότερος πήχης από τον οποίο ξεκινούν για αυτούς οι αληθινοί βρωμιές. Και αν νομίζετε ότι το googolplex στο βαθμό του googolplex είναι αυτό για το οποίο μιλάμε, δεν έχετε ιδέα ΠΟΣΟ λάθος.

Πίσω από το googolplex υπάρχουν πολλοί ενδιαφέροντες αριθμοί που έχουν τον ένα ή τον άλλο ρόλο στις μαθηματικές αποδείξεις, εν συντομία, ας πάμε κατευθείαν στον αριθμό Graham, που πήρε το όνομά του (καλά, φυσικά) του μαθηματικού Ronald Graham. Πρώτα, θα σας πω τι είναι και γιατί το χρειάζεστε, μετά το οποίο, μεταφορικά και στα δάχτυλα™Θα περιγράψω τι είναι σε μέγεθος και μετά θα γράψω τον ίδιο τον αριθμό. Πιο συγκεκριμένα, θα προσπαθήσω να εξηγήσω αυτό που έγραψα.

Ο αριθμός του Graham εμφανίστηκε σε ένα έργο αφιερωμένο στην επίλυση ενός από τα προβλήματα στη θεωρία Ramsey, και το "Ramsey" εδώ δεν είναι ατελής μετοχή, αλλά το επώνυμο ενός άλλου μαθηματικού, του Frank Ramsey. Το εγχείρημα, φυσικά, είναι αρκετά τραβηγμένο από φιλισταϊκή άποψη, αν και όχι πολύ μπερδεμένο, ακόμη και εύκολα κατανοητό.
Φανταστείτε έναν κύβο, του οποίου όλες οι κορυφές συνδέονται με γραμμές-τμήματα δύο χρωμάτων, κόκκινο ή μπλε. Συνδέθηκε και χρωματίστηκε τυχαία. Κάποιοι έχουν ήδη μαντέψει ότι θα μιλήσουμε για έναν κλάδο των μαθηματικών που ονομάζεται συνδυαστική.

Θα είμαστε σε θέση να επινοήσουμε και να επιλέξουμε τη διαμόρφωση των χρωμάτων με τέτοιο τρόπο (και υπάρχουν μόνο δύο από αυτά - κόκκινο και μπλε), έτσι ώστε όταν χρωματίζουμε αυτά τα τμήματα, ΜΗΝ θα καταλήξουμε ότι όλα τα τμήματα του ίδιου χρώματος συνδέονται τέσσερις κορυφές βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο; Σε αυτήν την περίπτωση, ΔΕΝ αντιπροσωπεύουν ένα τέτοιο σχήμα:

Δεν θα αρχίσω καν να εξηγώ τι είναι ο τετραδιάστατος κύβος, το ξέρουν όλοι; Ένας τετραδιάστατος κύβος έχει 16 κορυφές. Και δεν χρειάζεται να φουσκώσετε τον εγκέφαλό σας και να προσπαθήσετε να φανταστείτε έναν τετραδιάστατο κύβο. Αυτά είναι καθαρά μαθηματικά. Κοίταξα τον αριθμό των διαστάσεων, τον αντικατέστησα στον τύπο, πήρα τον αριθμό των κορυφών, των ακμών, των όψεων και ούτω καθεξής. Λοιπόν, ή κοιτάξτε στη Wikipedia, αν δεν θυμάστε τον τύπο. Έτσι, ένας τετραδιάστατος κύβος έχει 16 κορυφές και 120 τμήματα που τις συνδέουν. Ο αριθμός των χρωματικών συνδυασμών στην τετραδιάστατη περίπτωση είναι πολύ μεγαλύτερος από ό,τι στην τρισδιάστατη περίπτωση, αλλά ακόμη και εδώ δεν είναι πολύ δύσκολο να υπολογιστεί, να διαιρεθεί, να μειωθεί και τα παρόμοια. Εν ολίγοις, για να ανακαλύψουμε ότι στον τετραδιάστατο χώρο μπορεί κανείς επίσης να επινοήσει το χρωματισμό των τμημάτων του υπερκύβου, έτσι ώστε όλες οι γραμμές του ίδιου χρώματος που συνδέουν 4 κορυφές να μην βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.
Σε πέντε διαστάσεις; Και στο πενταδιάστατο, όπου ο κύβος λέγεται πεντεράκτος ή πεντάκυβος, είναι επίσης δυνατό.
Και σε έξι διαστάσεις.
Και μετά υπάρχουν δυσκολίες. Ο Γκράχαμ δεν μπορούσε να αποδείξει μαθηματικά ότι ένας επταδιάστατος υπερκύβος θα μπορούσε να εκτελέσει μια τέτοια λειτουργία. Τόσο οκταδιάστατο όσο και εννιαδιάστατο, και ούτω καθεξής. Αλλά το δεδομένο "και ούτω καθεξής", αποδείχθηκε, δεν πηγαίνει στο άπειρο, αλλά τελειώνει με έναν πολύ μεγάλο αριθμό, που ονομάστηκε "αριθμός Graham".
Δηλαδή υπάρχουν μερικά ελάχιστη διάστασηυπερκύβος, υπό τον οποίο παραβιάζεται η συνθήκη και δεν είναι πλέον δυνατό να αποφευχθεί ο συνδυασμός χρωματιστικών τμημάτων, έτσι ώστε τέσσερα σημεία του ίδιου χρώματος να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Και αυτή η ελάχιστη διάσταση είναι ακριβώς μεγαλύτερη από έξι και ακριβώς μικρότερη από τον αριθμό Graham, αυτή είναι η μαθηματική απόδειξη του επιστήμονα.

Και τώρα ο ορισμός αυτού που περιέγραψα παραπάνω σε λίγες παραγράφους, σε μια στεγνή και βαρετή (αλλά χωρητικότητα) γλώσσα των μαθηματικών. Δεν είναι απαραίτητο να το καταλάβω, αλλά δεν μπορώ να μην το φέρω.
Θεωρήστε έναν υπερκύβο n-διαστάσεων και συνδέστε όλα τα ζεύγη κορυφών για να λάβετε ένα πλήρες γράφημα με 2n κορυφές. Χρωματίστε κάθε άκρη αυτού του γραφήματος είτε κόκκινο είτε μπλε. Ποια είναι η μικρότερη τιμή του n για την οποία κάθε τέτοιος χρωματισμός περιέχει αναγκαστικά ένα μονόχρωμο πλήρες υπογράφημα με τέσσερις κορυφές, οι οποίες βρίσκονται όλες στο ίδιο επίπεδο;

Το 1971, ο Graham απέδειξε ότι αυτό το πρόβλημα έχει μια λύση και ότι αυτή η λύση (ο αριθμός των διαστάσεων) βρίσκεται μεταξύ του αριθμού 6 και κάποιου μεγαλύτερου αριθμού, ο οποίος αργότερα (όχι από τον ίδιο τον συγγραφέα) ονομάστηκε από αυτόν. Το 2008, η απόδειξη βελτιώθηκε, το κάτω όριο αυξήθηκε, τώρα ο επιθυμητός αριθμός διαστάσεων βρίσκεται ήδη μεταξύ του αριθμού 13 και του αριθμού Graham. Οι μαθηματικοί δεν κοιμούνται, η δουλειά συνεχίζεται, το πεδίο εφαρμογής στενεύει.
Έχουν περάσει πολλά χρόνια από τη δεκαετία του '70, βρέθηκαν μαθηματικά προβλήματα στα οποία εμφανίζονται αριθμοί και περισσότεροι Graham, αλλά αυτός ο πρώτος αριθμός τέρας εντυπωσίασε τόσο τους συγχρόνους που κατάλαβαν σε ποια κλίμακα ήταν που το 1980 συμπεριλήφθηκε στο βιβλίο των ρεκόρ Γκίνες ως "το ο μεγαλύτερος αριθμός που είχε εμπλακεί ποτέ σε μια αυστηρή μαθηματική απόδειξη» εκείνη την εποχή.

Ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε πόσο μεγάλο είναι. Ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να έχει κάποιο φυσικό νόημα είναι το 10 185, και αν ολόκληρο το Παρατηρήσιμο Σύμπαν είναι γεμάτο με ένα φαινομενικά ατελείωτο σύνολο μικροσκοπικών αριθμών, παίρνουμε κάτι ανάλογο με googolplex.

Μπορείτε να φανταστείτε αυτή την κοινότητα; Εμπρός, πίσω, πάνω, κάτω, όσο μπορεί να δει το μάτι και όσο μπορεί το τηλεσκόπιο Hubble, ακόμα και όσο δεν είναι αρκετό, στους πιο μακρινούς γαλαξίες και κοιτάζοντας πέρα από αυτούς - αριθμοί, αριθμοί, αριθμοί πολλά μικρότερο από ένα πρωτόνιο. Ένα τέτοιο σύμπαν, φυσικά, δεν θα μπορεί να υπάρχει για πολύ καιρό, θα καταρρεύσει αμέσως σε μια μαύρη τρύπα. Θυμάστε πόσες πληροφορίες μπορούν θεωρητικά να χωρέσουν στο σύμπαν; Το είπα.

Ο αριθμός είναι πραγματικά τεράστιος, σπάει τον εγκέφαλο. Δεν είναι ακριβώς ίσο με το googolplex και δεν έχει όνομα, οπότε θα το ονομάσω " dohulionΜόλις κατάλαβα γιατί όχι. Ο αριθμός των κυττάρων Planck στο Παρατηρήσιμο Σύμπαν και κάθε κελί περιέχει έναν αριθμό. Ο αριθμός περιέχει 10.185 ψηφία, μπορεί να αναπαρασταθεί ως 10 10 185.
dochulion = 10 10 185
Ας ανοίξουμε τις πόρτες της αντίληψης λίγο ευρύτερα. Θυμάστε τη θεωρία του πληθωρισμού; Ότι το Σύμπαν μας είναι μόνο μία από τις πολλές φυσαλίδες στο Πολυσύμπαν. Και αν φαντάζεστε dohulionτέτοιες φυσαλίδες; Ας πάρουμε έναν αριθμό όσο ό,τι υπάρχει και ας φανταστούμε το Πολυσύμπαν με παρόμοιο αριθμό συμπάντων, καθένα από τα οποία είναι γεμάτο με αριθμούς μέχρι τα μάτια - παίρνουμε ντοχούλιο ντοχούλιον. Μπορείτε να το φανταστείτε αυτό; Πώς επιπλέεις στην ανυπαρξία ενός κλιμακωτού πεδίου, και τριγύρω υπάρχουν σύμπαντα-σύμπαντα και αριθμοί-αριθμοί-αριθμοί μέσα τους… Ελπίζω ότι ένας τέτοιος εφιάλτης (αν και γιατί εφιάλτης;) δεν θα βασανίσει (και γιατί μαρτύριο;) ένας υπερβολικά εντυπωσιακός αναγνώστης τη νύχτα.

Για ευκολία, ονομάζουμε μια τέτοια λειτουργία " αναρρίπτω". Τόσο επιπόλαιος ενδοιασμός, σαν να πήραν το Σύμπαν και να το γύρισαν μέσα προς τα έξω, τότε ήταν μέσα σε αριθμούς, και τώρα, αντίθετα, έχουμε τόσα σύμπαντα έξω όσα ήταν οι αριθμοί, και κάθε κουτί είναι γεμάτο- γεμάτα, όλα σε νούμερα ίδια Σαν ρόδι καθαρίζεις, λυγίζεις την κρούστα έτσι, οι κόκκοι βγαίνουν από μέσα και οι χειροβομβίδες είναι πάλι στους κόκκους. ντοχούλιογιατί κύλησε.
Σε τι παίρνω; Αξίζει να επιβραδύνουμε; Έλα, hoba, και ένα ακόμα αναρρίπτω! Και τώρα έχουμε τόσα σύμπαντα όσα και ψηφία στα σύμπαντα, ο αριθμός των οποίων ήταν ίσος με το δαχτυλίδι των ψηφίων που γέμισαν το Σύμπαν μας. Και αμέσως, χωρίς να σταματήσετε, αναποδογυρίστε ξανά. Και το τέταρτο και το πέμπτο. Δέκατο, χιλιοστό. Συνεχίστε με τη σκέψη, δείτε ακόμα την εικόνα;

Ας μην χάνουμε χρόνο σε μικροπράγματα, ας ανοίξουμε τα φτερά της φαντασίας, ας επιταχύνουμε στο έπακρο και ας αναποδογυρίσουμε αναποδογυρίζω. Γυρίζουμε κάθε σύμπαν από μέσα προς τα έξω τόσες φορές όσες υπήρχαν σύμπαντα πριν από το Hulion στην προηγούμενη ανατροπή, η οποία ανατράπηκε από την προηγούμενη χρονιά, η οποία ... ε... καλά, ακολουθείς; Κάπου έτσι. Ας γίνει τώρα ο αριθμός μας, ας υποθέσουμε, " dochouliard".
dohouliard = αναποδογυρίζω
Δεν σταματάμε και συνεχίζουμε να αναποδογυρίζουμε ντουλάπια ντουλάπια όσο έχουμε τη δύναμη. Μέχρι να σκοτεινιάσει στα μάτια, μέχρι να θες να ουρλιάξεις. Εδώ ο καθένας είναι γενναίος Πινόκιο για τον εαυτό του, η λέξη στοπ θα είναι "brynza".
Ετσι. Τι είναι αυτό; Τεράστια και άπειρα ντουλάπια από ανατροπές και κουφώματα συμπάντων με πλήρη ψηφία δεν ταιριάζουν με τον αριθμό του Γκράχαμ. Δεν ξύνουν καν την επιφάνεια. Εάν ο αριθμός Graham παρουσιάζεται με τη μορφή ενός ραβδιού, που παραδοσιακά τεντώνεται σε όλο το Παρατηρήσιμο Σύμπαν, τότε τι είμαστε εδώ μαζί σας αναποδογυρισμένοαποδεικνύεται ότι είναι μια εγκοπή πάχους ... καλά ... πώς θα ήταν, για να το θέσω ήπια ... ανάξια αναφοράς. Εδώ, το ήπια όσο καλύτερα μπορούσα.

Τώρα ας ξεφύγουμε λίγο, κάνουμε ένα διάλειμμα. Διαβάσαμε, μετρήσαμε, τα μάτια μας κουράστηκαν. Ας ξεχάσουμε τον αριθμό Graham, πρέπει ακόμα να ανιχνεύσουμε και να συρθούμε μπροστά του, να αποεστιάσουμε τα μάτια μας, να χαλαρώσουμε, να διαλογιστούμε έναν πολύ μικρότερο, καθαρά μικροσκοπικό αριθμό, τον οποίο θα ονομάζουμε g 1 και να τον γράψουμε με μόνο έξι χαρακτήρες:
g1 = 33
Ο αριθμός g 1 ισούται με "τρία, τέσσερα βέλη, τρία". Τι σημαίνει? Έτσι μοιάζει η σημείωση, που ονομάζεται σημειογραφία βέλους του Knuth.
Για λεπτομέρειες και λεπτομέρειες, μπορείτε να διαβάσετε το άρθρο της Wikipedia, αλλά υπάρχουν τύποι, θα το ξαναπώ εν συντομία με απλά λόγια. Ένα βέλος σημαίνει συνηθισμένη εκτόνωση.
22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000

Δύο βέλη σημαίνουν, κατανοητά, εκθεσιμότητα.
23 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16
33 = 333 = 3 3 3 = 3 27 = 7.625.597.484.987 (πάνω από 7 τρισεκατομμύρια)
34 = 3333 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = αριθμός με περίπου 3 τρισεκατομμύρια ψηφία

Εν ολίγοις, "αριθμός βέλος βέλος άλλος αριθμός" δείχνει ποιο είναι το ύψος των μοιρών (οι μαθηματικοί λένε " πύργος") κατασκευάζεται από τον πρώτο αριθμό. Για παράδειγμα, το 58 σημαίνει έναν πύργο οκτώ πέντε και είναι τόσο μεγάλος που δεν μπορεί να υπολογιστεί σε κανέναν υπερυπολογιστή, ακόμη και σε όλους τους υπολογιστές στον πλανήτη ταυτόχρονα.
5 5 5 5 5 5 5 5
Ας προχωρήσουμε στα τρία βέλη. Εάν το διπλό βέλος έδειχνε το ύψος του πύργου των μοιρών, τότε το τριπλό θα φαινόταν να δείχνει "το ύψος του πύργου του ύψους του πύργου"; Τι-εκεί! Στην περίπτωση ενός τριπλού, έχουμε το ύψος του ύψους του πύργου του ύψους του πύργου του πύργου (δεν υπάρχει τέτοια έννοια στα μαθηματικά, αποφάσισα να το ονομάσω " ριψοκίνδυνος"). Κάτι σαν αυτό:

Δηλαδή, το 33 σχηματίζει ένα τρίδυμο χωρίς πύργο, ύψους 7 τρισεκατομμυρίων τεμαχίων. Τι είναι 7 τρισεκατομμύρια τριάδες στοιβαγμένα το ένα πάνω στο άλλο και ονομάζονται «άπυργοι»; Εάν διαβάσατε προσεκτικά αυτό το κείμενο και δεν αποκοιμηθήκατε στην αρχή, πιθανότατα θυμάστε ότι υπάρχουν 100 τρισεκατομμύρια εκατοστά από τη Γη μέχρι τον Κρόνο. Η τριπλή που εμφανίζεται στην οθόνη με τη δωδέκατη γραμματοσειρά, αυτή - 3 - έχει ύψος πέντε χιλιοστά. Έτσι, οι τρίδυμες χωρίς πύργους θα εκτείνονται από την οθόνη σας... καλά, όχι στον Κρόνο, φυσικά. Ακόμη και ο Ήλιος δεν θα φτάσει, μόνο το ένα τέταρτο της αστρονομικής μονάδας, περίπου όσο από τη Γη στον Άρη με καλό καιρό. Σας εφιστώ την προσοχή (μην κοιμάστε!) ότι το άπυργος δεν είναι αριθμός από τη Γη στον Άρη, είναι ένας πύργος μοιρών τόσο ψηλός. Θυμόμαστε ότι πέντε τριάδες σε αυτόν τον πύργο καλύπτουν το googolplex, ο υπολογισμός του πρώτου δεκαμέτρου τριπλών καίει όλες τις ασφάλειες των υπολογιστών του πλανήτη και τα υπόλοιπα εκατομμύρια χιλιόμετρα μοιρών είναι ήδη άχρηστα, απλά κοροϊδεύουν ανοιχτά τον αναγνώστη, είναι άχρηστο να τα μετρήσω.

Τώρα είναι ξεκάθαρο ότι 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 χωρίς πύργους, (όχι 3 στον βαθμό του απύργου, αλλά "τρία βέλη βέλη χωρίς πύργο" (!)), αυτή άπυργος απύργοςούτε σε μήκος ούτε σε ύψος θα χωρέσει στο Παρατηρήσιμο Σύμπαν και δεν θα χωρέσει καν στο προτεινόμενο Πολυσύμπαν.
Οι λέξεις τελειώνουν σε 35 = 33333 και οι παρεμβάσεις τελειώνουν σε 36 = 333333, αλλά μπορείτε να εξασκηθείτε αν σας ενδιαφέρει.

Ας προχωρήσουμε στα τέσσερα βέλη. Όπως ίσως μαντέψατε, εδώ ο πυργίσκος κάθεται στον πυργίσκο, οδηγεί χωρίς πυργίσκο, ακόμη και με έναν πυργίσκο που χωρίς πυργίσκο, δεν έχει σημασία. Απλώς θα δώσω σιωπηλά μια εικόνα που αποκαλύπτει το σχήμα για τον υπολογισμό τεσσάρων βελών, όταν κάθε επόμενος αριθμός του πύργου των μοιρών καθορίζει το ύψος του πύργου των μοιρών, που καθορίζει το ύψος του πύργου των μοιρών, που καθορίζει το ύψος του ο πύργος των μοιρών ... και ούτω καθεξής μέχρι τη λήθη του εαυτού.

Είναι άχρηστο να το υπολογίσεις και δεν θα λειτουργήσει. Ο αριθμός των πτυχίων εδώ δεν προσφέρεται για ουσιαστική λογιστική. Αυτός ο αριθμός δεν μπορεί να φανταστεί, δεν μπορεί να περιγραφεί. Χωρίς αναλογίες στα δάχτυλα™δεν ισχύουν, ο αριθμός απλά δεν έχει τίποτα να συγκριθεί. Μπορούμε να πούμε ότι είναι τεράστιο, ότι είναι μεγαλειώδες, ότι είναι μνημειακό και κοιτάζει πέρα από τον ορίζοντα γεγονότων. Δηλαδή να του δώσουμε κάποια λεκτικά επίθετα. Αλλά η οπτικοποίηση, ακόμη και ελεύθερη και μεταφορική, είναι αδύνατη. Εάν με τρία βέλη ήταν ακόμα δυνατό να πούμε τουλάχιστον κάτι, να σχεδιάσουμε έναν πύργο από τη Γη στον Άρη, με κάποιο τρόπο να συγκριθούμε με κάτι, τότε απλά δεν μπορούν να υπάρχουν αναλογίες.
Τώρα, από το g 1, με ανανεωμένο σθένος, επιστρέφουμε στην επίθεση στον αριθμό Graham. Έχετε παρατηρήσει πώς η κλιμάκωση μεγαλώνει από βέλος σε βέλος;
33 = 27
33 = 7 625 597 484 987
33 = πύργος, από τη Γη στον Άρη.
33 = αριθμός που δεν μπορεί ούτε να φανταστεί ούτε να περιγραφεί.

Και φανταστείτε τι ψηφιακός εφιάλτης συμβαίνει όταν ο σκοπευτής είναι πέντε; Πότε είναι έξι; Μπορείτε να φανταστείτε τον αριθμό όταν ο σκοπευτής θα είναι εκατό; Αν μπορείτε, επιτρέψτε μου να φέρω υπόψη σας τον αριθμό g 2 , στον οποίο ο αριθμός αυτών των βελών αποδεικνύεται ίσος με g 1 . Θυμηθείτε τι είναι το g 1, σωστά;

Όλα όσα έχουν γραφτεί μέχρι τώρα, όλοι αυτοί οι υπολογισμοί, οι μοίρες και οι πύργοι που δεν χωρούν στα πολυσύμπανα των πολυσύμπανων, χρειάζονταν μόνο για ένα. Για να εμφανίσετε τον ΑΡΙΘΜΟ ΤΩΝ ΒΕΛΩΝ στον αριθμό g 2 . Δεν χρειάζεται να μετρήσετε τίποτα, μπορείτε απλά να γελάσετε και να κουνήσετε το χέρι σας.
Δεν θα κρυφτώ, υπάρχει και το g 3 , το οποίο περιέχει βέλη g 2. Παρεμπιπτόντως, είναι ακόμα σαφές ότι το g 3 δεν είναι g 2 "στην ισχύ" του g 2 , αλλά ο αριθμός των πύργων χωρίς πύργους που καθορίζουν το ύψος των πύργων χωρίς πύργους που καθορίζουν το ύψος ... και ούτω καθεξής ολόκληρη αλυσίδα μέχρι τον θερμικό θάνατο του Σύμπαντος; Εδώ αρχίζεις να κλαις.

Γιατί να κλαίω; Γιατί πέρα για πέρα αληθινό. Υπάρχει επίσης ένας αριθμός g 4 , ο οποίος περιέχει g 3 βέλη μεταξύ τριπλών. Υπάρχει επίσης g 5 , υπάρχει g 6 και g 7 και g 17 και g 43 ...
Εν ολίγοις, υπάρχουν 64 από αυτά τα g. Κάθε προηγούμενο είναι αριθμητικά ίσο με τον αριθμό των βελών στο επόμενο. Το τελευταίο g 64 είναι ο αριθμός του Graham, από τον οποίο όλα έμοιαζαν να ξεκινούν τόσο αθώα. Αυτός είναι ο αριθμός των διαστάσεων του υπερκύβου, ο οποίος σίγουρα θα είναι αρκετός για να χρωματίσει σωστά τα τμήματα σε κόκκινο και μπλε. Ίσως λιγότερο, αυτό είναι, ας πούμε, το ανώτατο όριο. Είναι γραμμένο ως εξής:
και γράψε το ως εξής:

Όλα, τώρα μπορείτε να χαλαρώσετε ειλικρινά. Δεν χρειάζεται πλέον να φανταστείς και να υπολογίσεις τίποτα. Εάν έχετε διαβάσει μέχρι αυτό το σημείο, όλα θα πρέπει ήδη να μπουν στη θέση τους. Ή μη σηκωθείς. Ή όχι μόνοι τους.

Αλλά ξέρετε, υπάρχει μια τέτοια θεωρία, επίσης πολύ εφήμερη και φιλοσοφική, μπορεί να έχετε ακούσει - όλα όσα θα μπορούσε να φανταστεί ή να φανταστεί ένας άνθρωπος σίγουρα θα γίνει πραγματικότητα κάποια μέρα. Γιατί η ανάπτυξη ενός πολιτισμού καθορίζεται από το πόσο μπόρεσε να μεταφράσει τις φαντασιώσεις του παρελθόντος σε πραγματικότητα.

Κανείς δεν ξέρει τι μας επιφυλάσσει το μέλλον. Ο ανθρώπινος πολιτισμός έχει χίλιους τρόπους να τελειώσει: πυρηνικοί πόλεμοι, περιβαλλοντικές καταστροφές, θανατηφόρες πανδημίες, τι είδους αστεροειδής μπορεί να πετάξει, οι δεινόσαυροι δεν θα σε αφήσουν να πεις ψέματα. Αλλά η φύση έχει έναν ακλόνητο νόμο, γνωστό σε εμάς από την αρχαιότερη αρχαιότητα. Ό,τι κι αν γίνει, ό,τι κι αν γίνει, ό,τι σκεφτόμαστε μέσα μας, αλλά ο χρόνος δεν θα πάει πουθενά, θα περάσει. Είτε το θέλουμε είτε όχι, με ή χωρίς εμάς, θα περάσουν χίλιες 10 χιλιάδες χρόνια.

Κι αν περάσουν ένα εκατομμύριο χρόνια; Αλλά θα πάει εκεί που θα πάει. Ο αριθμός του Γκράχαμ και γενικά όλα όσα μπορεί να σκεφτεί, να φανταστεί, να βγάλει από την ανυπαρξία και να κάνει ένας άνθρωπος, αν και όχι απτή, αλλά τουλάχιστον μια οντότητα που έχει κάποιο νόημα, σίγουρα θα γίνει πραγματικότητα αργά ή γρήγορα. Απλά επειδή σήμερα είχαμε τη δύναμη να αναπτύξουμε την ικανότητα να το συνειδητοποιήσουμε αυτό.

Σήμερα, αύριο, όταν υπάρχει ευκαιρία - ρίξτε το κεφάλι σας πίσω στον νυχτερινό ουρανό. Θυμάστε εκείνη τη στιγμή που αισθάνεστε τη δική σας ασημαντότητα; Νιώθεις πόσο μικροσκοπικός άνθρωπος είναι; Ένας κόκκος σκόνης, ένα άτομο σε σύγκριση με το απέραντο σύμπαν, το οποίο είναι γεμάτο αστέρια, των οποίων δεν υπάρχουν αριθμοί, καλά, και η άβυσσος, αντίστοιχα, δεν είναι επίσης μικρή.

Την επόμενη φορά, προσπαθήστε να νιώσετε πόσο το Σύμπαν είναι ένας κόκκος άμμου σε σύγκριση με αυτό που συμβαίνει στο κεφάλι σας. Τι άβυσσος ανοίγει, τι αμέτρητες έννοιες γεννιούνται, τι κόσμοι χτίζονται, πώς το Σύμπαν ανατρέπεται με μία μόνο κίνηση σκέψης, πώς και πόσο η ζωντανή, ευφυής ύλη διαφέρει από τη νεκρή και την παράλογη.

Πιστεύω ότι μετά από κάποιο χρονικό διάστημα ένα άτομο θα πιάσει τον αριθμό του Γκράχαμ, θα τον αγγίξει με το χέρι του ή ότι άλλο θα έχει μέχρι τότε αντί για ένα χέρι. Αυτή δεν είναι μια τεκμηριωμένη, επιστημονικά αποδεδειγμένη σκέψη, αυτό είναι πραγματικά απλώς μια ελπίδα, κάτι που με εμπνέει. Όχι Πίστη με κεφαλαίο γράμμα, όχι θρησκευτική έκσταση, όχι διδασκαλία και όχι πνευματική άσκηση. Αυτό περιμένω από την ανθρωπότητα. Σε αυτό που προσπαθώ, στο μέτρο των δυνατοτήτων μου, να βοηθήσω. Αν και, από επιφυλακτικότητα, συνεχίζω να αυτοκατατάσσομαι στους αγνωστικιστές.

Η μεγαλύτερη μαθηματική σταθερά
Είναι δύσκολο να αναπαραστήσετε σωστά το Infinity χωρίς να εισάγετε πρώτα πραγματικά μεγάλους αριθμούς. Δεν μιλάω για μικροσκοπικούς αριθμούς που είναι κοντά στο μηδέν, όπως ο αριθμός των ατόμων στο σύμπαν ή ο αριθμός των ετών που χρειάζεται ένας πίθηκος για να αντιγράψει τα έργα του Σαίξπηρ. Σας προσκαλώ να εξετάσετε ποιος ήταν, γύρω στο 1977, ο μεγαλύτερος αριθμός που χρησιμοποιήθηκε ποτέ σε μια σοβαρή μαθηματική απόδειξη. Αυτή η απόδειξη, από τον Ronald Graham, παρέχει ένα ανώτερο όριο στις απαντήσεις σε μια συγκεκριμένη ερώτηση στη θεωρία του Ramsey. Για να κατανοήσει κανείς την απόδειξη, πρέπει να εισαγάγει μια νέα έννοια από το έργο του Donald Knuth «η μελέτη των πεπερασμένων αριθμών». Αυτή η έννοια συνήθως υποδηλώνεται με ένα μικρό βέλος που δείχνει προς τα πάνω, το οποίο θα συμβολίσουμε εδώ ως ^

3^3 = 3 * 3 * 3 = 27. Αυτός ο αριθμός είναι αρκετά μικρός για να φανταστεί κανείς.

3^^3 = 3^(3^3) = 3^27 = 7.625.597.484.987. Περισσότερα από 27, αλλά αρκετά μικρά ώστε να μπορώ να εκτυπώσω. Κανείς δεν μπορεί να φανταστεί επτά τρισεκατομμύρια, αλλά μπορούμε εύκολα να κατανοήσουμε αυτόν τον αριθμό, ο οποίος, κατά σειρά, αντιστοιχεί περίπου στον όγκο του ΑΕΠ.

3^^^3 = 3^^(3^^3) = 3^(3^(3^(3^...^(3^3)...))). Το διάστημα "..." αποτελείται από 7.625.597.484.987 τριάδες. Με άλλα λόγια, το 3^^^3 ή το βέλος (3, 3, 3) είναι ένας εκθετικός πύργος τριών 7.625.597.484.987 επιπέδων. Αυτός ο αριθμός είναι πέρα από την ανθρώπινη σύλληψη, αλλά η διαδικασία για τη δημιουργία του μπορεί να οπτικοποιηθεί. Ας πάρουμε x=1. Ορίστε το x σε 3^x. Επαναλάβετε αυτό επτά τρισεκατομμύρια φορές. Αν και τα περισσότερα πρώιμα στάδιααπό αυτόν τον αριθμό είναι πολύ μεγάλοι για να περιέχονται σε ολόκληρο το σύμπαν, ο ίδιος ο εκθετικός πύργος, γραμμένος ως "3^3^3^3...^3" είναι αρκετά μικρός για να περιέχεται σε έναν σύγχρονο υπερυπολογιστή.

3^^^^3 = 3^^^(3^^^3) = 3^^(3^^(3^^...^^(3^^3)...)). Τώρα τόσο ο αριθμός όσο και η διαδικασία δημιουργίας του είναι πέρα από την ανθρώπινη ικανότητα για αναπαράσταση, αν και η διαδικασία μπορεί να γίνει κατανοητή. Πάρτε x=1. Εκχωρήστε x την τιμή ενός εκθετικού πύργου μήκους x. Επαναλάβετε αυτό 3^^^3 φορές, που ισοδυναμεί με έναν εκθετικό πύργο επτά τρισεκατομμυρίων τριπλών.

Και ως αποτέλεσμα, σύμφωνα με τα λόγια του Martin Gardner, "3^^^^3 είναι αφάνταστα μεγαλύτερο από 3^^^3, αλλά εξακολουθεί να είναι μικρό, αφού οι περισσότεροι πεπερασμένοι αριθμοί είναι μεγαλύτεροι."

Και μετά ο αριθμός του Γκράχαμ. Έστω x ίσο με 3^^^^^3, τον αφάνταστα μεγάλο αριθμό που περιγράφηκε παραπάνω. Στη συνέχεια, αντιστοιχίστε στο x την τιμή 3^^^^^^^(x βέλος)^^^^^^^3. Κάντε το ίδιο ξανά, αλλά αντικαταστήστε το x για το (3^^^^^^^(x βέλος)^^^^^^^^3) Επαναλάβετε αυτό 63 φορές ή 64 φορές, λαμβάνοντας υπόψη την αρχική ακολουθία 3^^ ^^^3.

Ο αριθμός Graham είναι πολύ πέρα από την ικανότητά μου να καταλάβω. Μπορώ να το περιγράψω, αλλά δεν μπορώ να το καταλάβω σωστά. (Ίσως ο Γκράχαμ μπορεί να το πάρει, αφού έγραψε μια μαθηματική απόδειξη χρησιμοποιώντας το.) Αυτός ο αριθμός είναι πολύ μεγαλύτερος από την ιδέα των περισσότερων ανθρώπων για το άπειρο. Ξέρω ότι ήταν κάτι περισσότερο από τη φαντασία μου.

Η πραγματική απάντηση στο πρόβλημα του Ramsey, που οδήγησε σε αυτόν τον αριθμό ως άνω όριο, ήταν πιθανώς ο αριθμός 6.

P.s Εκτός από τη δεισιδαιμονική φρίκη, αυτός ο αριθμός δημιούργησε ένα μικρό αστείο για μένα: Ο Onotole Wasserman τετραγωνίζει εύκολα τον αριθμό του Graham σε λίγα δευτερόλεπτα.

Υπάρχουν αριθμοί που είναι τόσο απίστευτα, απίστευτα μεγάλοι που θα χρειαζόταν ολόκληρο το σύμπαν ακόμη και να τους γράψει. Αλλά εδώ είναι τι είναι πραγματικά τρελλό... μερικοί από αυτούς τους ακατανόητα μεγάλους αριθμούς είναι εξαιρετικά σημαντικοί για την κατανόηση του κόσμου.

Όταν λέω «ο μεγαλύτερος αριθμός στο σύμπαν», εννοώ πραγματικά τον μεγαλύτερο με νοημααριθμός, ο μέγιστος δυνατός αριθμός που είναι χρήσιμος κατά κάποιο τρόπο. Υπάρχουν πολλοί διεκδικητές για αυτόν τον τίτλο, αλλά σας προειδοποιώ αμέσως: υπάρχει όντως ο κίνδυνος να προσπαθήσετε να καταλάβετε όλα αυτά να σας ρίξει το μυαλό. Και επιπλέον, με πάρα πολλά μαθηματικά, έχεις λίγη πλάκα.

Googol και googolplex

Έντουαρντ Κάσνερ

Θα μπορούσαμε να ξεκινήσουμε με δύο, πολύ πιθανόν τους μεγαλύτερους αριθμούς που έχετε ακούσει ποτέ, και αυτοί είναι πράγματι οι δύο μεγαλύτεροι αριθμοί που έχουν κοινά αποδεκτούς ορισμούς στο αγγλική γλώσσα. (Υπάρχει μια αρκετά ακριβής ονοματολογία που χρησιμοποιείται για αριθμούς τόσο μεγάλους όσο θα θέλατε, αλλά αυτοί οι δύο αριθμοί δεν βρίσκονται αυτή τη στιγμή στα λεξικά.) Η Google, αφού έγινε παγκοσμίως γνωστή (αν και με λάθη, σημειώστε. στην πραγματικότητα είναι googol) στο η μορφή της Google, γεννήθηκε το 1920 ως ένας τρόπος να ενδιαφερθούν τα παιδιά για μεγάλους αριθμούς.

Για το σκοπό αυτό, ο Edward Kasner (στη φωτογραφία) πήρε τους δύο ανιψιούς του, Milton και Edwin Sirott, σε μια περιοδεία στο New Jersey Palisades. Τους κάλεσε να βρουν ιδέες και στη συνέχεια ο εννιάχρονος Μίλτον πρότεινε το «googol». Από πού πήρε αυτή τη λέξη είναι άγνωστο, αλλά ο Κάσνερ το αποφάσισε ή ένας αριθμός στον οποίο εκατό μηδενικά ακολουθούν το ένα θα ονομάζεται στο εξής googol.

Αλλά ο νεαρός Milton δεν σταμάτησε εκεί, βρήκε έναν ακόμη μεγαλύτερο αριθμό, το googolplex. Είναι ένας αριθμός, σύμφωνα με τον Milton, που έχει πρώτα το 1 και μετά όσα μηδενικά μπορείς να γράψεις πριν κουραστείς. Ενώ η ιδέα είναι συναρπαστική, ο Kasner ένιωσε ότι χρειαζόταν ένας πιο επίσημος ορισμός. Όπως εξήγησε στο βιβλίο του το 1940 Mathematics and the Imagination, ο ορισμός του Milton αφήνει ανοιχτή την επικίνδυνη πιθανότητα ο περιστασιακός μπουφόν να γίνει μαθηματικός ανώτερος από τον Albert Einstein απλώς και μόνο επειδή έχει περισσότερη αντοχή.

Έτσι ο Kasner αποφάσισε ότι το googolplex θα ήταν , ή 1, ακολουθούμενο από ένα googol με μηδενικά. Διαφορετικά, και με συμβολισμό παρόμοια με αυτή με την οποία θα ασχοληθούμε με άλλους αριθμούς, θα πούμε ότι το googolplex είναι . Για να δείξει πόσο συναρπαστικό είναι αυτό, ο Carl Sagan παρατήρησε κάποτε ότι θα ήταν φυσικά αδύνατο να γράψουμε όλα τα μηδενικά ενός googolplex επειδή απλά δεν θα υπήρχε αρκετός χώρος στο σύμπαν. Εάν ολόκληρος ο όγκος του παρατηρήσιμου σύμπαντος είναι γεμάτος με λεπτά σωματίδια σκόνης μεγέθους περίπου 1,5 μικρομέτρων, τότε ο αριθμός διάφορους τρόπουςη θέση αυτών των σωματιδίων θα είναι περίπου ίση με ένα googolplex.

Από γλωσσική άποψη, το googol και το googolplex είναι πιθανώς οι δύο μεγαλύτεροι σημαντικοί αριθμοί (τουλάχιστον στα αγγλικά), αλλά, όπως θα διαπιστώσουμε τώρα, υπάρχουν άπειροι τρόποι για να ορίσουμε τη «σημασία».

Πραγματικό κόσμο

Αν μιλάμε για τον μεγαλύτερο σημαντικό αριθμό, υπάρχει ένα εύλογο επιχείρημα ότι αυτό σημαίνει πραγματικά ότι πρέπει να βρείτε τον μεγαλύτερο αριθμό με μια τιμή που υπάρχει πραγματικά στον κόσμο. Μπορούμε να ξεκινήσουμε με τον σημερινό ανθρώπινο πληθυσμό, που σήμερα είναι περίπου 6920 εκατομμύρια. Το παγκόσμιο ΑΕΠ το 2010 εκτιμήθηκε ότι ήταν περίπου 61.960 δισεκατομμύρια δολάρια, αλλά και οι δύο αυτοί αριθμοί είναι μικροί σε σύγκριση με τα περίπου 100 τρισεκατομμύρια κύτταρα που αποτελούν το ανθρώπινο σώμα. Φυσικά, κανένας από αυτούς τους αριθμούς δεν μπορεί να συγκριθεί με τον συνολικό αριθμό των σωματιδίων στο σύμπαν, που συνήθως θεωρείται ότι είναι περίπου , και αυτός ο αριθμός είναι τόσο μεγάλος που η γλώσσα μας δεν έχει λέξη για αυτόν.

Μπορούμε να παίξουμε λίγο με τα συστήματα μέτρησης, κάνοντας τους αριθμούς όλο και μεγαλύτερους. Έτσι, η μάζα του Ήλιου σε τόνους θα είναι μικρότερη από ό,τι σε λίβρες. Ένας πολύ καλός τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι να χρησιμοποιήσετε τις μονάδες Planck, οι οποίες είναι οι μικρότερες πιθανά μέτρα, για την οποία παραμένουν σε ισχύ οι νόμοι της φυσικής. Για παράδειγμα, η ηλικία του σύμπαντος στον χρόνο Planck είναι περίπου . Αν επιστρέψουμε στην πρώτη μονάδα χρόνου Planck μετά τη Μεγάλη Έκρηξη, θα δούμε ότι η πυκνότητα του Σύμπαντος ήταν τότε . Παίρνουμε ολοένα και περισσότερα, αλλά δεν έχουμε φτάσει ακόμη σε googol.

Ο μεγαλύτερος αριθμός με οποιαδήποτε εφαρμογή στον πραγματικό κόσμο - ή, σε αυτήν την περίπτωση, εφαρμογή στον πραγματικό κόσμο - είναι πιθανώς μια από τις πιο πρόσφατες εκτιμήσεις για τον αριθμό των συμπάντων στο πολυσύμπαν. Αυτός ο αριθμός είναι τόσο μεγάλος που ο ανθρώπινος εγκέφαλος θα είναι κυριολεκτικά ανίκανος να αντιληφθεί όλα αυτά τα διαφορετικά σύμπαντα, αφού ο εγκέφαλος είναι ικανός μόνο για κατά προσέγγιση διαμορφώσεις. Στην πραγματικότητα, αυτός ο αριθμός είναι ίσως ο μεγαλύτερος αριθμός με οποιοδήποτε πρακτικό νόημα, αν δεν λάβετε υπόψη την ιδέα του πολυσύμπαντος στο σύνολό του. Ωστόσο, υπάρχουν ακόμα πολύ μεγαλύτεροι αριθμοί που κρύβονται εκεί. Αλλά για να τους βρούμε, πρέπει να πάμε στη σφαίρα των καθαρών μαθηματικών και δεν υπάρχει καλύτερο μέρος για να ξεκινήσουμε από τους πρώτους αριθμούς.

Mersenne primes

Μέρος της δυσκολίας είναι να καταλήξεις καλός ορισμόςτι είναι ένας «σημαντικός» αριθμός. Ένας τρόπος είναι να σκεφτόμαστε με όρους πρώτων και σύνθετων. Ένας πρώτος αριθμός, όπως ίσως θυμάστε από τα σχολικά μαθηματικά, είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός(σημ. όχι ίσο με ένα), το οποίο διαιρείται μόνο από τον εαυτό του. Έτσι, και είναι πρώτοι αριθμοί, και και είναι σύνθετοι αριθμοί. Αυτό σημαίνει ότι οποιοσδήποτε σύνθετος αριθμός μπορεί τελικά να αναπαρασταθεί από τους πρώτους διαιρέτες του. Κατά μία έννοια, ο αριθμός είναι πιο σημαντικός από, ας πούμε, γιατί δεν υπάρχει τρόπος να τον εκφράσουμε με το γινόμενο μικρότερων αριθμών.

Προφανώς μπορούμε να πάμε λίγο παραπέρα. , για παράδειγμα, είναι στην πραγματικότητα just , πράγμα που σημαίνει ότι σε έναν υποθετικό κόσμο όπου οι γνώσεις μας για τους αριθμούς περιορίζονται σε , ένας μαθηματικός μπορεί ακόμα να εκφράσει . Αλλά ο επόμενος αριθμός είναι ήδη πρώτος, πράγμα που σημαίνει ότι ο μόνος τρόπος να τον εκφράσουμε είναι να γνωρίζουμε άμεσα για την ύπαρξή του. Αυτό σημαίνει ότι οι μεγαλύτεροι γνωστοί πρώτοι αριθμοί παίζουν σημαντικό ρόλο, αλλά, ας πούμε, ένα googol - που είναι τελικά απλώς μια συλλογή αριθμών και πολλαπλασιαζόμενοι μαζί - στην πραγματικότητα δεν παίζει. Και δεδομένου ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι ως επί το πλείστον τυχαίοι, δεν υπάρχει γνωστός τρόπος να προβλέψουμε ότι ένας απίστευτα μεγάλος αριθμός θα είναι πραγματικά πρώτος. Μέχρι σήμερα, η ανακάλυψη νέων πρώτων αριθμών είναι μια δύσκολη υπόθεση.

Οι μαθηματικοί της αρχαίας Ελλάδας είχαν την ιδέα των πρώτων αριθμών τουλάχιστον ήδη από το 500 π.Χ., και 2000 χρόνια αργότερα οι άνθρωποι γνώριζαν ακόμη ποιοι ήταν οι πρώτοι αριθμοί μέχρι περίπου το 750. Οι στοχαστές του Ευκλείδη είδαν τη δυνατότητα απλοποίησης, αλλά μέχρι την Αναγέννηση οι μαθηματικοί μπορούσαν Δεν το χρησιμοποιώ πραγματικά στην πράξη. Αυτοί οι αριθμοί είναι γνωστοί ως αριθμοί Mersenne και ονομάζονται από τη Γαλλίδα επιστήμονα του 17ου αιώνα Marina Mersenne. Η ιδέα είναι αρκετά απλή: ένας αριθμός Mersenne είναι οποιοσδήποτε αριθμός της φόρμας . Έτσι, για παράδειγμα, και αυτός ο αριθμός είναι πρώτος, το ίδιο ισχύει και για το .

Οι πρώτοι πρώτοι του Mersenne είναι πολύ πιο γρήγοροι και ευκολότεροι να προσδιοριστούν από οποιοδήποτε άλλο είδος πρώτου, και οι υπολογιστές προσπαθούν σκληρά να τους βρουν τις τελευταίες έξι δεκαετίες. Μέχρι το 1952, ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός ήταν ένας αριθμός — ένας αριθμός με ψηφία. Την ίδια χρονιά, υπολογίστηκε σε έναν υπολογιστή ότι ο αριθμός είναι πρώτος και αυτός ο αριθμός αποτελείται από ψηφία, γεγονός που τον κάνει ήδη πολύ μεγαλύτερο από ένα googol.

Οι υπολογιστές βρίσκονται στο κυνήγι από τότε και ο αριθμός Mersenne είναι σήμερα ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που γνωρίζει η ανθρωπότητα. Ανακαλύφθηκε το 2008, είναι ένας αριθμός με σχεδόν εκατομμύρια ψηφία. Αυτός είναι ο μεγαλύτερος γνωστός αριθμός που δεν μπορεί να εκφραστεί με όρους μικρότερους αριθμούς και αν θέλετε να βοηθήσετε να βρείτε έναν ακόμη μεγαλύτερο αριθμό Mersenne, εσείς (και ο υπολογιστής σας) μπορείτε πάντα να συμμετέχετε στην αναζήτηση στη διεύθυνση http://www.mersenne. org/.

Αριθμός Skewes

Stanley Skuse

Ας επιστρέψουμε στους πρώτους αριθμούς. Όπως είπα πριν, συμπεριφέρονται θεμελιωδώς λάθος, πράγμα που σημαίνει ότι δεν υπάρχει τρόπος να προβλέψουμε ποιος θα είναι ο επόμενος πρώτος αριθμός. Οι μαθηματικοί αναγκάστηκαν να στραφούν σε μερικές μάλλον φανταστικές μετρήσεις προκειμένου να βρουν κάποιον τρόπο να προβλέψουν τους μελλοντικούς πρώτους αριθμούς, ακόμη και με κάποιο νεφελώδη τρόπο. Η πιο επιτυχημένη από αυτές τις προσπάθειες είναι πιθανώς η συνάρτηση του πρώτου αριθμού, που εφευρέθηκε στα τέλη του 18ου αιώνα από τον θρυλικό μαθηματικό Carl Friedrich Gauss.

Θα σας απαλλάξω από τα πιο περίπλοκα μαθηματικά - ούτως ή άλλως, έχουμε ακόμα πολλά να έρθουμε - αλλά η ουσία της συνάρτησης είναι η εξής: για οποιονδήποτε ακέραιο, είναι δυνατό να υπολογίσουμε πόσοι πρώτοι είναι λιγότεροι από . Για παράδειγμα, εάν , η συνάρτηση προβλέπει ότι πρέπει να υπάρχουν πρώτοι αριθμοί, εάν - πρώτοι αριθμοί μικρότεροι από και αν , τότε υπάρχουν μικρότεροι αριθμοί που είναι πρώτοι.

Η διάταξη των πρώτων είναι πράγματι ακανόνιστη και είναι μόνο μια προσέγγιση του πραγματικού αριθμού των πρώτων. Στην πραγματικότητα, γνωρίζουμε ότι υπάρχουν πρώτοι μικρότεροι από , πρώτοι μικρότεροι από , και πρώτοι μικρότεροι από . Είναι μια μεγάλη εκτίμηση, σίγουρα, αλλά είναι πάντα απλώς μια εκτίμηση... και πιο συγκεκριμένα, μια εκτίμηση από πάνω.

Σε όλες τις γνωστές περιπτώσεις μέχρι το , η συνάρτηση που βρίσκει τον αριθμό των πρώτων αριθμών υπερβάλλει ελαφρώς τον πραγματικό αριθμό των πρώτων αριθμών μικρότερου από . Οι μαθηματικοί κάποτε πίστευαν ότι αυτό θα συνέβαινε πάντα, επ' άπειρον, και ότι αυτό ισχύει σίγουρα για ορισμένους αφάνταστα τεράστιους αριθμούς, αλλά το 1914 ο John Edensor Littlewood απέδειξε ότι για κάποιον άγνωστο, αφάνταστα τεράστιο αριθμό, αυτή η συνάρτηση θα αρχίσει να παράγει λιγότερους πρώτους αριθμούς. και μετά θα εναλλάσσεται μεταξύ υπερεκτίμησης και υποεκτίμησης άπειρες φορές.

Το κυνήγι ήταν για την αφετηρία των αγώνων και εκεί εμφανίστηκε ο Stanley Skuse (βλ. φωτογραφία). Το 1933, απέδειξε ότι το ανώτερο όριο, όταν μια συνάρτηση που προσεγγίζει τον αριθμό των πρώτων για πρώτη φορά δίνει μικρότερη τιμή, είναι ο αριθμός. Είναι δύσκολο να καταλάβουμε πραγματικά, ακόμη και με την πιο αφηρημένη έννοια, τι είναι αυτός ο αριθμός, και από αυτή την άποψη ήταν ο μεγαλύτερος αριθμός που χρησιμοποιήθηκε ποτέ σε μια σοβαρή μαθηματική απόδειξη. Από τότε, οι μαθηματικοί μπόρεσαν να μειώσουν το άνω φράγμα σε έναν σχετικά μικρό αριθμό, αλλά ο αρχικός αριθμός παρέμεινε γνωστός ως αριθμός Skewes.

Λοιπόν, πόσο μεγάλος είναι ο αριθμός που κάνει ακόμη και το πανίσχυρο googolplex νάνο; Στο The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, ο David Wells περιγράφει έναν τρόπο με τον οποίο ο μαθηματικός Hardy μπόρεσε να κατανοήσει το μέγεθος του αριθμού Skewes:

«Ο Χάρντι σκέφτηκε ότι ήταν «ο μεγαλύτερος αριθμός που εξυπηρετούσε ποτέ κάποιον συγκεκριμένο σκοπό στα μαθηματικά» και πρότεινε ότι αν το σκάκι παιζόταν με όλα τα σωματίδια του σύμπαντος ως κομμάτια, μια κίνηση θα συνίστατο στην εναλλαγή δύο σωματιδίων και το παιχνίδι θα σταματούσε όταν η ίδια θέση επαναλήφθηκε για τρίτη φορά, τότε ο αριθμός όλων των πιθανών παιχνιδιών θα ήταν περίπου ίσος με τον αριθμό των Skuse''.

Κάτι τελευταίο πριν προχωρήσουμε: μιλήσαμε για τον μικρότερο από τους δύο αριθμούς Skewes. Υπάρχει ένας άλλος αριθμός Skewes, τον οποίο βρήκε ο μαθηματικός το 1955. Ο πρώτος αριθμός προκύπτει με το σκεπτικό ότι η λεγόμενη Υπόθεση Riemann είναι αληθινή - μια ιδιαίτερα δύσκολη υπόθεση στα μαθηματικά που παραμένει αναπόδεικτη, πολύ χρήσιμη όταν πρόκειται για πρώτους αριθμούς. Ωστόσο, εάν η υπόθεση Riemann είναι ψευδής, ο Skewes διαπίστωσε ότι το σημείο εκκίνησης του άλματος αυξάνεται σε .

Το πρόβλημα του μεγέθους

Πριν φτάσουμε σε έναν αριθμό που κάνει ακόμη και τον αριθμό του Skewes να φαίνεται μικροσκοπικός, πρέπει να μιλήσουμε λίγο για την κλίμακα γιατί διαφορετικά δεν έχουμε τρόπο να εκτιμήσουμε πού πάμε. Ας πάρουμε πρώτα έναν αριθμό - είναι ένας μικρός αριθμός, τόσο μικρός που οι άνθρωποι μπορούν πραγματικά να κατανοήσουν διαισθητικά τι σημαίνει. Υπάρχουν πολύ λίγοι αριθμοί που ταιριάζουν σε αυτή την περιγραφή, αφού οι αριθμοί μεγαλύτεροι από έξι παύουν να είναι ξεχωριστοί αριθμοί και γίνονται «πολλοί», «πολλοί» κ.λπ.

Τώρα ας πάρουμε, δηλ. . Αν και δεν μπορούμε πραγματικά διαισθητικά, όπως κάναμε για τον αριθμό, να καταλάβουμε τι, φανταστείτε τι είναι, είναι πολύ εύκολο. Μέχρι στιγμής όλα πάνε καλά. Τι γίνεται όμως αν πάμε στο ; Αυτό είναι ίσο με ή . Απέχουμε πολύ από το να μπορούμε να φανταστούμε αυτήν την αξία, όπως και οποιαδήποτε άλλη πολύ μεγάλη - χάνουμε την ικανότητα να κατανοούμε μεμονωμένα μέρη κάπου γύρω στο ένα εκατομμύριο. (Αλήθεια, τρελό ένας μεγάλος αριθμός απόΘα χρειαζόταν χρόνος για να μετρήσουμε πραγματικά σε ένα εκατομμύριο οτιδήποτε, αλλά το θέμα είναι ότι είμαστε ακόμα σε θέση να αντιληφθούμε αυτόν τον αριθμό.)

Ωστόσο, αν και δεν μπορούμε να φανταστούμε, είμαστε τουλάχιστον σε θέση να καταλάβουμε σε γενικές γραμμές τι είναι τα 7600 δισεκατομμύρια, ίσως συγκρίνοντάς τα με κάτι σαν το ΑΕΠ των ΗΠΑ. Έχουμε περάσει από τη διαίσθηση στην αναπαράσταση στην απλή κατανόηση, αλλά τουλάχιστον εξακολουθούμε να έχουμε κάποιο κενό στην κατανόηση του τι είναι ένας αριθμός. Αυτό πρόκειται να αλλάξει καθώς ανεβαίνουμε ένα ακόμη σκαλί στη σκάλα.

Για να γίνει αυτό, πρέπει να μεταβούμε στη σημειογραφία που εισήγαγε ο Donald Knuth, γνωστή ως σημειογραφία βέλους. Αυτές οι σημειώσεις μπορούν να γραφτούν ως . Όταν πάμε στη συνέχεια στο , ο αριθμός που θα λάβουμε θα είναι . Αυτό είναι ίσο με το πού βρίσκεται το σύνολο των τριδύμων. Έχουμε πλέον ξεπεράσει κατά πολύ και πραγματικά όλους τους άλλους αριθμούς που έχουν ήδη αναφερθεί. Άλλωστε, ακόμη και το μεγαλύτερο από αυτά είχε μόνο τρία ή τέσσερα μέλη στη σειρά ευρετηρίου. Για παράδειγμα, ακόμη και ο σούπερ αριθμός του Skuse είναι "μόνο" - ακόμα και με το γεγονός ότι τόσο η βάση όσο και οι εκθέτες είναι πολύ μεγαλύτεροι από , δεν είναι τίποτα σε σύγκριση με το μέγεθος του πύργου αριθμών με δισεκατομμύρια μέλη.

Προφανώς, δεν υπάρχει τρόπος να κατανοήσουμε τόσο τεράστιους αριθμούς... και όμως, η διαδικασία με την οποία δημιουργούνται μπορεί ακόμα να γίνει κατανοητή. Δεν μπορούσαμε να καταλάβουμε τον πραγματικό αριθμό που δίνει ο πύργος των δυνάμεων, ο οποίος είναι ένα δισεκατομμύριο τριπλάσια, αλλά μπορούμε βασικά να φανταστούμε έναν τέτοιο πύργο με πολλά μέλη, και ένας πραγματικά αξιοπρεπής υπερυπολογιστής θα μπορεί να αποθηκεύσει τέτοιους πύργους στη μνήμη, ακόμα κι αν δεν μπορούν να υπολογίσουν τις πραγματικές τους τιμές.

Γίνεται όλο και πιο αφηρημένο, αλλά θα χειροτερέψει. Μπορεί να νομίζετε ότι ένας πύργος δυνάμεων του οποίου το μήκος εκθέτη είναι (επιπλέον, σε μια προηγούμενη έκδοση αυτής της ανάρτησης έκανα ακριβώς αυτό το λάθος), αλλά είναι απλώς . Με άλλα λόγια, φανταστείτε ότι έχετε τη δυνατότητα να υπολογίσετε την ακριβή τιμή ενός πύργου ισχύος τριπλών, που αποτελείται από στοιχεία, και μετά παίρνετε αυτήν την τιμή και δημιουργείτε έναν νέο πύργο με τόσα πολλά μέσα ... που δίνει .

Επαναλάβετε αυτή τη διαδικασία με κάθε διαδοχικό αριθμό ( Σημείωσηξεκινώντας από τα δεξιά) έως ότου το κάνετε αυτό μία φορά και, στη συνέχεια, τελικά θα λάβετε . Αυτός είναι ένας αριθμός που είναι απλά απίστευτα μεγάλος, αλλά τουλάχιστον τα βήματα για να τον αποκτήσετε φαίνεται να είναι ξεκάθαρα αν όλα γίνονται πολύ αργά. Δεν μπορούμε πλέον να κατανοήσουμε τους αριθμούς ή να φανταστούμε τη διαδικασία με την οποία λαμβάνονται, αλλά τουλάχιστον μπορούμε να κατανοήσουμε τον βασικό αλγόριθμο, μόνο σε αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα.

Τώρα ας προετοιμάσουμε το μυαλό να το ανατινάξει πραγματικά.

Ο αριθμός του Graham (Graham).

Ρόναλντ Γκράχαμ

Έτσι παίρνετε τον αριθμό του Γκράχαμ, ο οποίος κατατάσσεται στο βιβλίο των ρεκόρ Γκίνες ως ο μεγαλύτερος αριθμός που χρησιμοποιήθηκε ποτέ σε μαθηματική απόδειξη. Είναι απολύτως αδύνατο να φανταστεί κανείς πόσο μεγάλο είναι και είναι εξίσου δύσκολο να εξηγήσει τι ακριβώς είναι. Βασικά, ο αριθμός του Γκράχαμ εμφανίζεται όταν έχουμε να κάνουμε με υπερκύβους, οι οποίοι είναι θεωρητικοί γεωμετρικά σχήματαμε περισσότερες από τρεις διαστάσεις. Ο μαθηματικός Ronald Graham (βλ. φωτογραφία) ήθελε να ανακαλύψει ποιος ήταν ο μικρότερος αριθμός διαστάσεων που θα κρατούσε σταθερές ορισμένες ιδιότητες ενός υπερκύβου. (Συγγνώμη για αυτήν την αόριστη εξήγηση, αλλά είμαι βέβαιος ότι όλοι χρειαζόμαστε τουλάχιστον δύο πτυχία μαθηματικών για να το κάνουμε πιο ακριβές.)

Σε κάθε περίπτωση, ο αριθμός Graham είναι μια ανώτερη εκτίμηση αυτού του ελάχιστου αριθμού διαστάσεων. Πόσο μεγάλο είναι λοιπόν αυτό το άνω όριο; Ας επιστρέψουμε σε έναν αριθμό τόσο μεγάλο που μπορούμε να κατανοήσουμε τον αλγόριθμο για την απόκτησή του μάλλον αόριστα. Τώρα, αντί απλώς να πηδήξουμε ένα ακόμη επίπεδο στο , θα μετρήσουμε τον αριθμό που έχει βέλη μεταξύ του πρώτου και του τελευταίου τριπλού. Τώρα είμαστε πολύ πέρα από την παραμικρή κατανόηση του τι είναι αυτός ο αριθμός ή ακόμα και του τι πρέπει να γίνει για να τον υπολογίσουμε.

Τώρα επαναλάβετε αυτή τη διαδικασία φορές ( Σημείωσησε κάθε επόμενο βήμα, γράφουμε τον αριθμό των βελών ίσο με τον αριθμό που λήφθηκε στο προηγούμενο βήμα).

Αυτός, κυρίες και κύριοι, είναι ο αριθμός του Graham, ο οποίος είναι περίπου μια τάξη μεγέθους πάνω από το σημείο της ανθρώπινης κατανόησης. Είναι ένας αριθμός που είναι πολύ μεγαλύτερος από οποιονδήποτε αριθμό μπορείτε να φανταστείτε - είναι πολύ μεγαλύτερος από οποιοδήποτε άπειρο που θα μπορούσατε ποτέ να ελπίζετε να φανταστείτε - απλώς αψηφά ακόμη και την πιο αφηρημένη περιγραφή.

Αλλά εδώ είναι το περίεργο. Δεδομένου ότι ο αριθμός του Γκράχαμ είναι βασικά απλώς τρίδυμες πολλαπλασιασμένες μαζί, γνωρίζουμε μερικές από τις ιδιότητές του χωρίς να τις υπολογίσουμε πραγματικά. Δεν μπορούμε να αναπαραστήσουμε τον αριθμό του Γκράχαμ με οποιαδήποτε σημειογραφία που γνωρίζουμε, ακόμα κι αν χρησιμοποιήσαμε ολόκληρο το σύμπαν για να τον γράψουμε, αλλά μπορώ να σας δώσω τα τελευταία δώδεκα ψηφία του αριθμού του Γκράχαμ αυτή τη στιγμή: . Και δεν είναι μόνο αυτό: γνωρίζουμε τουλάχιστον τα τελευταία ψηφία του αριθμού του Γκράχαμ.

Φυσικά, αξίζει να θυμόμαστε ότι αυτός ο αριθμός είναι μόνο ένα ανώτερο όριο στο αρχικό πρόβλημα του Graham. Είναι πιθανό ότι ο πραγματικός αριθμός των μετρήσεων που απαιτούνται για την εκπλήρωση της επιθυμητής ιδιότητας είναι πολύ, πολύ μικρότερος. Στην πραγματικότητα, από τη δεκαετία του 1980, οι περισσότεροι ειδικοί στον τομέα πιστεύουν ότι υπάρχουν στην πραγματικότητα μόνο έξι διαστάσεις - ένας αριθμός τόσο μικρός που μπορούμε να τον κατανοήσουμε σε διαισθητικό επίπεδο. Το κάτω όριο έχει αυξηθεί από τότε σε , αλλά εξακολουθεί να υπάρχει μια πολύ καλή πιθανότητα η λύση στο πρόβλημα του Graham να μην βρίσκεται κοντά σε έναν αριθμό τόσο μεγάλο όσο αυτός του Graham.

Στο άπειρο

Υπάρχουν δηλαδή αριθμοί μεγαλύτεροι από τον αριθμό του Γκράχαμ; Υπάρχουν, φυσικά, για αρχή υπάρχει ο αριθμός Graham. Όσον αφορά τον σημαντικό αριθμό... λοιπόν, υπάρχουν κάποιες διαβολικά δύσκολες περιοχές των μαθηματικών (ιδίως της περιοχής που είναι γνωστή ως συνδυαστική) και της επιστήμης των υπολογιστών, στους οποίους υπάρχουν αριθμοί ακόμη μεγαλύτεροι από τον αριθμό Graham. Αλλά έχουμε σχεδόν φτάσει στο όριο αυτού που μπορώ να ελπίζω ότι μπορώ ποτέ να εξηγήσω εύλογα. Για όσους είναι αρκετά απερίσκεπτοι για να προχωρήσουν ακόμη περισσότερο, προσφέρεται πρόσθετη ανάγνωση με δική σας ευθύνη.

Λοιπόν, τώρα ένα καταπληκτικό απόσπασμα που αποδίδεται στον Ντάγκλας Ρέι ( ΣημείωσηΓια να είμαι ειλικρινής, ακούγεται πολύ αστείο:

«Βλέπω συστάδες αόριστων αριθμών να κρύβονται εκεί έξω στο σκοτάδι, πίσω από το μικρό σημείο φωτός που δίνει το κερί του μυαλού. Ψιθυρίζουν ο ένας στον άλλο. μιλάμε για ποιος ξέρει τι. Ίσως δεν μας αρέσουν πολύ που αιχμαλωτίζουμε τα αδερφάκια τους με το μυαλό μας. Ή ίσως απλώς οδηγούν έναν ξεκάθαρο αριθμητικό τρόπο ζωής, εκεί έξω, πέρα από την κατανόησή μας».